4.机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性

机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性摘要：文章指明了力学相对性原理的基本内涵，回顾了机械能守恒定律与相对性原理关系研究的开端，说明了这个问题研究的意义，笔者在研究这个问题过程中发现经典力学存在的问题，指出了解决问题的方法.关键词：保守力；相对性原理；机械能守恒定律；协变性中图分类号：O313.1文献标识码：A1.能量守恒定律在现代物理学中的核心地位能量作为物理学中最核心的概念之一，贯穿了从经典力学到现代物理的各个分支.无论是宏观世界的机械运动，还是微观粒子的相互作用，能量始终扮演着关键角色.我们对能量的理解不仅仅是为了量化各种物理现象，更深层次地，能量反映了自然界中变化和过程的根本特征.然而，尽管能量的应用极其广泛且深刻，但它的本质是什么？我们能否通过理论和实验彻底揭示这一根本性问题？从最早期的科学研究开始，能量就以不同形式展现其特性.机械能、热能、电磁能、化学能、核能……这些形式互相转化，却始终遵循一个统一的守恒原则.能量守恒定律成为物理学的基石之一，它不仅揭示了世界运行的规律，还为各种技术应用提供了理论保障.但当我们问及能量的“本质”，这已不仅仅是守恒定律能够回答的问题，而是涉及到对物质、场、时空以及信息的根本理解.能量一词最早起源于希腊语“ἐνέργεια”，意指“活动”或“工作能力”.在物理学体系建立之前，人们对自然现象的变化已有基本的感知，但未将“能量”作为统一的量度标准.能量概念的正式确立，是随着牛顿力学的发展逐渐形成的.能量作为物理量，虽然可以直观理解为“做功的能力”或“物理系统的状态量”，但在物理理论体系中，其数学表达与物理角色远比常识更为丰富和深刻.特别是在经典力学的拉格朗日和哈密顿力学框架中，能量不仅仅是一个量值，更是描述系统动力学演化的核心函数，是生成系统时间演变的生成元.对能量数学结构的理解，有助于深化对动力学系统本质的把握.能量作为物理学的核心量，体现了宇宙中各种过程的基本属性.从经典机械的动能势能，到热力学的内能，再到电磁场的能量密度，乃至相对论的质能等价和量子能级的离散，能量的表现形式丰富且多样.它与时间对称性密不可分，是动力学生成元，也是守恒定律的体现.能量的本质不仅局限于数值大小，而是深刻关联着物理系统的对称性、时空结构、信息流动以及量子态的变化.尽管现代物理学提供了丰富的理论工具来描述能量，但在极端条件下的局限性和未解之谜提示我们，能量的真正本质仍需不断探索.通过跨领域的理论创新与实验验证，未来对能量本质的理解有望进一步深化，从而促进人类对自然界更根本规律的揭示与应用.动力论是物理学史上用来否定和批判运动论的物理学理论.它的创始人是牛顿和他的学生克拉克为代表，而运动论则以笛卡尔和莱布尼茨以及伽利略为代表.动力论认为，力是运动的原因，一切自然现象都要用力说明.牛顿在＜自然哲学的数学原理＞中说，自然哲学的全部任务就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，然后用这些力去论证其他现象.2.机械能守恒定律与力学相对性原理研究概况机械能守恒定律与力学相对性原理关系的研究，国内是从熊秉衡先生1964年、1965年在《物理通报》发表的《在不同惯性系中的机械能守恒定律》、《“在不同惯性系中的机械能守恒定律”一文的更正与补充》[1－2]两篇文章开始的，此后各家杂志纷纷讨论，一直没有定论，分为三个学派：㈠机械能守恒定律不满足力学相对性原理；㈡机械能守恒定律满足力学相对性原理，但是不具有单独的协变性，因为对于同一个物理过程在一个惯性系里满足机械能守恒的条件，在其他惯性系里可能不满足守恒条件（机械能守恒条件各个版本教材描述并不一致）；动能定理和功能原理都可由牛顿定律直接导出，是最基本的原理，都满足相对性原理，而机械能守恒定律不是最基本的原理，而是动能定理或功能原理的推论，只在特定条件下才成立，因此机械能守恒定律不一定满足相对性原理，必须对每个惯性系检验机械能守恒的条件是否满足.也就是说，在一个惯性系应用机械能守恒定律求解的问题，在另一个惯性系，须检验机械能守恒条件是否满足，如果不满足，就要从动能定理或功能原理出发求解.㈢机械能守恒定律满足力学相对性原理，对于同一个物理过程在一个惯性系里机械能守恒，在其他惯性系机械能一定守恒.力学相对性原理对于描述力学规律来说，所有惯性系都是等价的，亦称伽利略性相对性原理，它包括:①在任何两个惯性系中做同一个力学实验都会得到相同的实验结果；②用任何力学实验都无法将两个惯性系区分开；③对于描述力学现象，所有的惯性系都是平权的.对于非惯性系，则需要引入惯性力，牛顿定律才能成立：，计入惯性力做的功后，可以像在惯性系中那样导出动能定理和功能原理，并进而讨论机械能守恒的条件.动能定理：功能原理：机械能守恒定律成立的条件：对于普遍的能量守恒定律，它包含了一切形式的能量，在任何惯性系都是成立的，但不同惯性系中能量的数值可能不同.因此，普遍的能量守恒定律总是满足广义的相对性原理.在非惯性系中，要计入惯性力做的功，如果此功不为零，则普遍的能量守恒定律将不成立，即不满足相对性原理.教材中经常说机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例.但是，二者的含义有区别：机械能守恒定律中,只考虑机械能,不考虑其他形式的能量，若机械能转化为其他形式的能量,就认为能量损失了,不守恒了;而普遍的能量守恒定律,则考虑一切形式的能量,它只会转化,不会损失,能量永远守恒！这场争论类似于数学史上的第三次数学危机，罗素悖论使整个数学大厦动摇了.无怪乎弗雷格在收到罗素的来信之后，在他即将要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了.当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”，于是终结了近12年的刻苦钻研.对于集合论，Poincaré指出：我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭，但是很可能在围栅栏时就已经有一条狼被围在其中了.当知识以一种形式被创造之后，往往并不能立刻取得其逻辑一历史生成的理想完美知识形态.绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的，因而在绝对真理的长河中，人们在各个一定发展阶段上的具体认识只具有相对的真理性.3.修改经典力学部分表述，机械能守恒定律满足力学性原理笔者通过长期研究并查阅大量文献，认为只要修改经典力学个别表述，机械能守恒定律满足力学相对性原理，主要结论如下：1.势能分为外势能和内势能，外势能（单质点的势能）不具有伽利略变换的不变性，内势能具有伽利略变换的不变性；[3]2.“势能属于系统，势能是相对位置的函数”只适用于内势能，建议力学教材说明；[3]3.把地球看做惯性系的同时默认其质量充分大，忽略其能量、动量、角动量等物理量的变化，此时地球不再属于所研究的系统；[3]4.所有的稳定场都是保守力，力学中力可以分为保守力、非保守力——显含时间的力（耗散力可以等效视为显含时间的力），浮力、光滑约束中的约束力、惯性力、静摩擦力等都是保守力，不存在显含时间的惯性力，力的保守性具有伽利略变换的不变性；证明：因为所以机械能守恒定律是时间均匀性的体现.机械能守恒定律对于所有参照系都协变.[4－5]因为所以动量守恒定律是空间均匀性的体现.因为所以动量守恒定律是空间均匀性的体现.质点只要受到有势力，就具有势能.只要力场不显含时间，势能就不显含时间，机械能一定不显含时间，机械能一定守恒.保守力的定义可以简化为：只与空间位置有关的力或者说稳定场都是保守力场；[6]5.力的保守性具有伽利略变换的不变性；[7]6.动能、势能和机械能的计算公式一定体现能量与质量成正比.E=kx2与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性，这是物理学理论所不能允许的，正如爱因斯坦1905年在《论运动物体的电动力学》中指出的：“大家知道，麦克斯韦的电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的.由于发生弹性形变而产生的力叫做弹力，质点受到弹力而具有的势能叫做弹性势能，E=kx2并非弹性势能的一般公式.Ep=kx2适用于弹簧振子中质点的弹性势能，但是不适用于所有的惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，势能零点而且必须选在平衡位置，其他情况不成立.当考虑弹簧质量时，Ep=kx2可以认为是弹簧的机械能公式，弹簧静止时是弹簧的弹性势能，也不是适用于任何参照系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，势能零点而且必须选在平衡位置，该公式对于约束力等弹力的弹性势能也不成立，建议力学教材指明其局限性；E=kx2与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性，这是物理学理论所不能允许的，正如爱因斯坦1905年在《论运动物体的电动力学》中指出的：“大家知道，麦克斯韦的电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的.[3]7.引力势能仅仅适用于观察者在保守力方向上的分速度始终为0时，而且坐标原点必须选择在无穷远点，其他情况不成立，建议力学教材指明其局限性；[8]8.保守力的功是力与质点位移的数量积，力只能作用在有质量的点上，弹簧振子只需研究质点即可；势能不能直接对外做功，只有转化为动能才能对外做功；势能的一般定义——由于质点受到有势力而具有的能量叫做势能，因此由于质点受到弹力而具有的能量叫做弹性势能.[9]9.伯努利方程满足力学相对性原理；10.功能原理表述为：非保守力的功等于机械能的改变量，机械能守恒条件——研究系统里只有保守力（或者说没有显含时间的力），机械能守恒定律满足力学相对性原理，牛顿运动定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件，机械能守恒定律无条件服从力学相对性原理；对于同一个物理过程，只要在一个参照系机械能守恒（拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间），在其他任何参照系一定守恒（拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间）；[3]耗散力的功严格讲不能按照单质点对待，具有伽利略变换的不变性；如果简单按照单质点问题处理，耗散力可以作为显含时间的力处理.W=F.S⇔F为保守力⇔F为稳定场⇔。W=F.S不适用于耗散力，由于功的定义式W=F.S是对于保守力（稳定场）定义的，因此动能定理仅仅对于保守力（稳定场）成立，利用动能定理时如果存在耗散力，其实是在该时间段按照保守力处理，功不是伽利略变换的不变量，此时不考虑产生的内能。机械能守恒定律是动能定理的推论，此时不考虑耗散力的功，机械能守恒定律满足伽利略变换的不变性。功是一个过程量，滑动摩擦力对物体做功与路径有关。如果考虑运动过程中产生的内能，那么功是伽利略变换的不变量，由此可以验证能量守恒定律的一个推论：对于同一个物理系统，不同观察者（包括惯性系和非惯性系）测量的能量之差（对于保守力能量指的是机械能，不能单指动能或者势能）是一个定值。进一步我们可以得出热力学中功、热量、熵等物理量都具有伽利略变换的不变量，热力学定律也具有伽利略变换的不变性。11.相对性原理是内容，单独的协变性是形式，二者是形式和内容的关系，无需进行区别，不需要引入联合协变的概念，爱因斯坦和朗道对于相对性原理的表述是正确的，纠正了部分文献的错误；牛顿运动定律的所有推论（例如声波运动方程、欧拉方程等）都具有伽利略变换的不变性；[10]12.经典动量守恒定律和角动量（动量矩）守恒定律类似于机械能守恒定律中系统势能不变时，系统动能之和也不变，显然不是对于任何参照系都协变，例如经典的动量守恒定律对于惯性系协变，对于非惯性系不协变；经典角动量（动量矩）守恒定律对于惯性系和非惯性系都不协变.角动量（动量矩）守恒定律中需要引入角冲量（冲量矩）才满足力学相对性原理，角动量（动量矩）守恒定律（质点对于某一点（或某轴）的角动量与角冲量（冲量矩）可以相互转化，但是它们之差不变）、动量守恒定律（系统的动量与合外力冲量差是一个常数）、能量守恒定律适用于所有的参照系——对于同一个物理过程，只要一个坐标系守恒，其他坐标系一定守恒，符合爱因斯坦的科学思想——物理规律对于所有的参照系都相同.动量守恒定律和牛顿运动定律（包括第一定律、第二定律、第三定律）等价，可以构建以动量守恒定律为核心的牛顿力学体系；力学中三大守恒定律的比较描述质点的物理量蕴藏在场中的物理量诺特荷守恒条件适用的参照系机械能守恒定律动能保守力做功的相反数=势能E=动能+势能=const（动能—保守力的功=const）只有稳定场（保守力场）所有参照系，对于不同的观察者守恒量不同，满足协变性要求.动量守恒定律动量冲量的相反数T=动量—冲量=const恒成立角动量守恒定律角动量（动量矩）角冲量（冲量矩）的相反数R=角动量-角冲量（动量矩—冲量矩）=const恒成立当然动量守恒定律、角动量守恒定律也可以类似于机械能守恒定律的表述方法表示为之和的形式，只是形式的变化，没有实际的意义，例如把冲量的相反数叫做动量流（动量势），角冲量的相反数角动量流（角动量势），这样就可以统一为：动能+势能=const，动量+动量流=const，角动量+角动量流=const.三大守恒定律也都可以表示为差的形式：质点的动能与所受保守力功的差不变.13.日心说和地心说在本质上等价，只是由于太阳的质量巨大，以太阳为惯性系计算误差小的多；[11]14.无论是伽利略变换还是洛伦兹变换，所有协变量的测量都应当满足对应原理的要求.力学书籍最好明确指出这些问题，丰富和完善经典力学的表述形式，不要再使读者发生误解.[12]4.最小作用量原理与保守系统最小作用量原理表明，基本物理系统的演化遵循变分原理，使得系统的某个状态函数的积分取驻值，这个状态函数即系统的拉格朗日量或拉格朗日密度L。首先，我们需要明确“系统”的概念。物理系统指具有稳定属性的客观存在，如电子、恒星、时空、电磁场等，这与数学中的赋结构集合类似。显然，我们无法研究“半个电子”或孤立的“变化电场”，因为它们缺乏相对完整的结构或动力学意义。对于保守系统，拉格朗日密度L是其固有特征，完整概括了系统的动力学性质，并具有以下关键特征：1.系统性：L必须定义于明确的物理系统，其中每一项均对应客观物理量。2.实数性：L为实值标量，可以比较数值大小。3.协变性：L在不同坐标系下保持不变，反映系统的客观属性。4.量纲一致性：L的各项均具有能量或能量密度的量纲。5.叠加性：系统的总L是各部分拉格朗日量的线性组合。5.科学问题与科学发展“悬置”是胡塞尔现象学中的一个重要概念，借用这一概念来表述物理知识演化的某种曲折性，即一个物理概念在诞生之初因其内在逻辑尚不完善或与已有知识的不协调性所导致的物理共同体对于其知识合法性的存疑，进而将该概念搁置起来的现象.外势能就是这样一个概念.宇宙学家霍金谈到过在本世纪内解决统一问题.就必需向最广泛可能的听众解释构成物理学基础的基本物理绘景,他雄辩地写道:如果我们的确发现了一个完备理论,那么它在主要原则上最终应当被所有人而不仅仅被少数几个科学家所理解.接着,我们所有哲学家、科学家还有普通人都将参加我们和宇宙为什么存在这个问题的讨论.如果我们找到了这个问题的答案,那么它将是人类理性的最终胜利一一因为从此以后我们将了解上帝的心智.有些人通过个人所得、个人关系或者个人经历寻求生命的意义.然而,在我看来,有幸得到能领悟自然之最终奥秘的智慧,才赋予生命充分的意义.[5]为什么会有科学本身存在？自然界中为什么会存在那么多精美和谐的科学规律？宇宙中万事万物都永远绝对地遵守着，并行和谐地演化着！科学遵循的原则是，在充分必要的条件下越简单越好.卢瑟福认为“一个好的理论应该连酒吧女郎都能看懂.”伽利略把观察和实验作为科学研究的坚实基础.他在研究工作中，采取了下面一个对近代科学发展很有效的研究方法：对现象的一般观察→提出工作假想→运用数学和逻辑的手段得出特殊结论→通过物理的或理想的实验对推论进行验证→对假设进行修正和推广.伽利略所创设的实验方法、严格的逻辑与数学推理方法，对后世新科学思想的发展有着深刻的影响.美国物理学家L·斯莫林在认真梳理物理学发展史后，在《物理学的困惑》一书中总结道，“从18世纪80年代到20世纪70年代，我们关于物理学基础的认识，大概每10年就有一次大的进步.但自20世纪70年代以来，我们对基本粒子物理学的认识还没有一个真正的突破.弦理论、圈量子引力以及其他试图统一物理学的各种方法，它们都还没有到达那个前沿.通常的借口是说，那个尺度的实验还无法实现----但我们已经看到，事情不是这样的.因此一定还有其他原因.我相信我们还缺失某个基本的东西，我们还在做着错误的假定.那样的话，我们需要将错误的假定找出来，用新的思想来取代它.那个错误的假定会是什么呢？我猜它涉及两个因素：量子力学的基础和时间的本质.……我越来越觉到量子理论和广义相对论在深层次上都把时间的本质弄错了.但只结合它们是不够的，还有一个更深层次的问题，也许要追溯到物理学的起源.”一个科学家，不论是理论家还是实验家都提出陈述或陈述系统，然后一步一步检验它们.说得具体一些，在经验科学的领域里，他们构建假说或理论系统，然后用观察和实验，对照经验来检验它们.著名的理论物理学家、诺贝尔奖金获得者杨振宁曾经讲过：“美的追求是科学发展的一个动力，美的鉴赏是作出科学抉择的一个重要条件，在美的探索中形成了科研的不同风格，今天我们比以往任何时候都没有理由容许我们放弃这个奇妙的信念.做科学研究是有所谓风格的，每一个人对于规律的美和妙的地方会有不同的感受，他对于一切现象、结论、结构就有偏好，这就发展出他的风格，这个风格影响到他将来研究工作课题的研究方向，影响到他将来研究问题的方法，所以风格有决定性的作用”.最后引用《一只大象》一书中的段落作为结束：科学的精神是什么？那就是敢于质疑权威的勇气和对一切事物保持好奇的眼光，智慧从怀疑开始，真正的科学精神是理性、怀疑、批判和证实，终极理论不会是一个全新的理论，它就藏在现有的理论之中，当我们以客观逻辑为工具，就能在错综复杂的观点中找出宇宙真实的脉络.参考文献：[1]熊秉衡.在不同惯性系中的机械能守恒定律[J]．物理通报，1964(6)：261－264．[2]熊秉衡.“在不同惯性系中的机械能守恒定律”一文的更正与补充[J]．物理通报，1965(3)：116－117．[3]刘明成.对一道困扰中国力学教学40多年习题的思考.2025年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会论文集.清华大学出版社，2025年7月：20—27.[4]周筑文.物理学对称美和物理核心素养的培养.贵州师范学院学报，第35卷第12期，2019（12）：51－56．[5]周筑文.国外与国内大学物理对于伽利略变换不同描述的思考.物理与工程，2019（S1）：112.[6]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237－238.[7]李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318－319.[8]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，20