5椭圆运动星体机械能守恒问题新解

第8页共10页椭圆运动星体机械能守恒问题新解摘要：重新解答了椭圆周运动的星体机械能守恒问题，得出了在直线匀速远离太阳的飞船上，环绕太阳椭圆周运动星体机械能守恒的新结论.关键词：椭圆周运动星体；动能；势能；机械能守恒中图分类号：O313.1文献标识码：A文章编号：1问题提出“古代的自然运动是一个被广泛注意并做了很多研究的题目”.清华郭奕玲教授在《物理学史》中告诉我们，两千多年前亚里士多德就“把运动分为自然运动和强迫运动：重物下落是自然运动，天上星辰围绕地心做圆周运动也是自然运动.”亚里士多德认为：“被自身推动的运动者是自然地运动的.”牛顿在《自然哲学之数学原理》第三版的“总释”中写到：“迄此为止我们以引力作用解释了天体及海洋的现象，但还没有找出这种作用的原因.它当然必定产生于—个原因……但我迄今为止还无能为力于从现象中找出引力的这些特性的原因，我也不构造假说……”.牛顿说“我用引力解释了天体运行和海洋潮汐，但我还不知引力自身的原因.我把物理考虑置于一边，用所熟悉的表达方式，使我所要说的更易于为数学读者理解.”R.P.Feynman在讲到牛顿引力定律时说，“而真的就是这样一条简单的定律吗？它的机制是什么？我们做过的一切，只是描写了地球怎样绕太阳转，可没有说过其缘由何在，牛顿对此无假设，他只满足于找出引力都干了些什么，而未能深入下去.”自然界中的许多力，例如重力﹑弹性力﹑静电力等都是保守力，摩擦力﹑流体的粘性力等都是非保守力.质量为m的地球（视为质点），在质量为M的太阳引力作用下，环绕太阳做长短半轴分别为a，b的椭圆周运动，有一宇宙飞船相对于太阳以恒速量值u沿直线远离太阳．在理想情况下，试问在太阳（太阳质量视为充分大，忽略其他星体的引力，故稳定地保持为惯性系）和宇宙飞船上观察，地球的机械能是否守恒，并说明理由.uuo图1椭圆运动星体机械能守恒问题新解x地球θvθJ○◌Frvvrbay宇宙飞船α2问题解析由于本题假定太阳质量充分大，忽略太阳能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.以太阳为参照系时，以椭圆中心o为原点，直线Jo为x轴，垂直于x轴的直线oy为y轴，建立平面直角坐标系．设太阳位于椭圆左焦点J处，以J为极点，射线Jo为极轴，从太阳到地球的矢量r为极径，极径和极轴的夹角θ为极角建立平面极坐标系.极坐标系和直角坐标系如图1所示.设地球的运动周期为T，θ对于时间t的导数为，则：由天文学知识可以得到椭圆运动星体的运行周期为T=，r22r22.设以太阳为参照系时，地球从t=0时刻在极轴与椭圆的右交点处开始运动，t时刻的径向线速度、横向线速度、线速度、动能、势能、机械能分别为：，，v，Ek(t)，Ep(t)，E(t)；在宇宙飞船上观察时，t时刻的径向线速度、横向线速度、线速度、动能、势能、机械能分别为：，，v1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t)；则在太阳上观察时有：r，1ecosθ，(0esinθ)；r2esinθ；r(1ecosθ)；θ(1ecos(θ12ecosθθ)(12ecosθ)(22ecosθ1)2(1ecosθ)(1)；Ek(t)=Ek′(θ)=mv2(1ecosθ)(1)；Ep(t)Ep′(θ)=(1ecosθ)；E(t)Ek(t)Ep(t)Ek′(θ)Ep′(θ)=(1ecosθ)(1)(1ecosθ)(1)所以，以太阳为参照系时，地球的机械能守恒，守恒值为-.在宇宙飞船上观察时：引理：力的保守性具有伽利略变换的不变性.在两个相对匀速运动的惯性系o，O1中，如果o系中力f是保守力，那么在O1系中该力Ff也是保守力.证明：设0时刻惯性系o，O1完全重合，且O1系相对于o系以正常数u的匀速开始运动．设t时刻，质量为m的质点在惯性系o的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r，v，a，f，w，在O1系中分别为：R，V，A，F，W，则据微分运算有Rrut，Vvu，Aa0a，FmAmaf；dRVdtvdtudtdrudtdWFdRf(drudt)fdrumadtdwmudvdwmd(uv)，（1）d(uv)，Wwmuvmuv0.（2）由dvadt和drvdt知，Wwmuvmuv0w1(t)muq(t)muv0j(t)，由于Rrut=r(t)ut=φ(t)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此Rφ(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ-1(R)，在区间D上W=j(t)=j1(R)是位置的函数，对时间的偏导数等于0，F是保守力.由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，FmAmaf是O1系中的保守力.力的保守性具有伽利略变换的不变性，有时表达式中含有时间t，但是通过伽利略变换可以消去，对时间的偏导数等于0，此时不是显含时间的力，纠正某些文献和力学教材中错误的表述.v1xvxu，uvx；v1yvy，；u（cosθsinθ）v2u2u(cosθsinθ)E1k(t)E1k′(θ)=mmv2mu2mucosθmusinθEk′(θ)mu2muesinθcosθmu(1ecosθ)sinθ(1ecosθ)(1)mu2musinθ；r2，dtr2.在宇宙飞船坐标系比太阳参照系增加的位移微分为(u)dt，此时万有引力多做的功为(cosθ)(u)dt(cosθ)r2E1p′(t)cosθdθmusinθE1p(t)E1p′(θ)(1ecosθ)musinθ（当u=0时，E1p(t)=Ep(t)，符合对应原理的要求.在宇宙飞船坐标系测量地球的每一个位置只能有一个θ，因此在宇宙飞船坐标系测量的势能依然不显含时间，万有引力也不是显含时间的力.弹力类似，不文不再分析.）E1(t)E1k(t)E1p(t)E1k′(θ)E1p′(θ)=(1ecosθ)(1)mu2musinθ(1ecosθ)musinθ(1)mm所以在宇宙飞船上观察时，地球的机械能守恒，守恒值为—mu2.当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合对应原理的要求.两坐标系“守恒量”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加mu2mu.v0，其中v0为t=0时静止系测量的质点初速度（因为在原点处势能相等，动能之差等于mu2mu.v0，在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为mu2mu.v0），上面的计算只是一个特例.选择势能零点为无穷远点的情况下，在相对于物体引力源速度为水平匀速u的参照系中观察，在物体引力源系中，沿椭圆轨道做曲线运动的质点的物体引力势能公式的普遍形式为Ep(t)ep(t)mu.或者说，在相对于物体引力源的所有的不同的水平匀速u的参照系中，上述的质点的物体引力势能公式都有相同的形式Ep(t)ep(t)mu．在物体引力源系中，沿椭圆轨道做曲线运动的质点的物体引力势能公式ep(t)是普遍形式在u0时的特例．1911年卢瑟福提出了原子的核式结构理论,宣告了原子基本结构的确立，但是卢瑟福的原子模型有一个致命的缺陷,它是直接由经典理论推演出来的，却无法由经典理论解释原子的稳定性、同一性和再生性等一系列问题.Bohr在研究这一问题时意识到有核模型理论不但在说明粒子大角度散射之类的实验上是有用的，而且也为建立一种有关原子的各种属性的系统理论奠定了基础.以此为研究目标，1913年Bohr分三部分在英国《哲学杂志》上发表了划时代的论文《论原子和分子构造》，此文被后人称为玻尔理论伟大的三部曲.文中把量子化的概念引入到原子结构之中,不仅从理论上解释了氢原子的光谱规律,并且精确地计算出里德伯常数.玻尔理论揭示了亚原子层次的量子特性,它和经典理论在本质上是有区别的.在考察其理论与经典理论之间的关系时，玻尔发现，随着量子数的不断增大,按照两种理论求得的谱线将趋于一致,在极限情况下(当量子数时)原子的能量趋于连续,同时氢原子光谱线的频率等于电子绕核运动的频率,而这些正是经典物理学的结论，对于这种渐近一致性，部分学者认为这是玻尔对应原理的最初萌芽.从玻尔1913年发表原子结构的论文开始,玻尔其实就是在用对应原理指导他的研究，对应原理这个思想体系的建立是一个长期研究形成的过程，而不是哪一天的工作.直到1920年,玻尔才在正式场合使用“对应原理”一词，这是他对前面研究工作的一种总结，是对类比、对应思想的一种更确切的表述方式.3经典万有引力势能公式的局限性分析当u=0时，E1p(t)=Ep(t)，符合玻尔的对应原理，这说明万有引力势能和重力势能一样具有相对性.周衍柏《理论力学教程》（1979年第一版，人民教育出版社）第47页“由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能.”这里势能应该是指内势能，具有伽利略变换的不变性，在内势能中如果二者质量差别极大，例如本文中的太阳和地球（质量相差悬殊），此时可以把质量较大的物体的质量视为无穷大，可以认为是质量较小物体的外势能，外势能不具有伽利略变换的不变性，但是机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性.对于势能属于系统应该全面理解，特殊情况下认为外势能存在(这是一种数学处理方法)，量变引起了质变.多年来人们一直认为外势能具有伽利略变换的不变性，这是机械能守恒定律与力学相对性原理关系争论的根源所在.如果我们这样认识经典力学，去除了一些错误的认识，经典力学便显得更加和谐.如果考虑到这一点，原来各家杂志上对于这个问题的争议便全部迎刃而解.引力场是数量场的梯度场，因此常称为引力势.质量为的粒子在中心引力势作用下如何运动，其中，是万有引力常数，为中心天体的质量.在平面极坐标下粒子的哈密顿量径向动能其中；是横向动能，.由总能量守恒和角动量守恒又即于是取,则讨论：1）双曲线轨道；2）抛物线轨道；3）椭圆轨道，其中，；4），圆轨道；上述推导不适用于所有参照系，仅仅适用于静止系.4.结论按照外场计算，势能属于质点，一个保守力的功等于势能的减少，势能是坐标的函数，势能不是伽利略变换的不变量[1～2]；按照内场计算，势能属于系统，一对保守力的功等于势能的减少，势能是相对位置的函数，势能是伽利略变换的不变量.二者有着本质的区别，建议力学教材明确指出.本题中地球和太阳的质量相差极其悬殊，按照内场计算，不具有可操作性.把证明的严格化与简单化绝然对立起来是错误的.严格的方法同时也是比较简单、比较容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻找比较简单的推理方法,这还常常会引导到一些比严格性较差的老方法更有发展前途的方法.说明：上面是以太阳和地球为例说明引力机械能满足力学相对性原理，因为地球的质量和太阳质量相去甚远，因此太阳可以视为惯性系（近似成立）.当两个星体的质量差别不是很大时，可以以较大星体为参照系，较小星体的质量用它们的折合质量代替即可，就可以得到与上面类似的结论，此时严格讲应该为内势能.如果坚持适用于所有情况，由于两点间的距离是伽利略变换不变量，因此参考文献[3～5]坚持认为引力势能对于不同的观察者不变，才出现了机械能不守恒的错误结论，可是我们又找不出能量的来源和消失的途径.这个问题在国际上也比较纠结[6].分析力学必须严格按照定义进行计算，避免受到弹簧和支架之类的干扰，例如太阳与地球组成的双星系统也是如此.如果考虑整个系统的拉格朗日量，作伽利略变换时，要把太阳和地球的坐标和速度同时变换，因此拉格朗日量也是与时间无关的，总的能量也是守恒的.由于没有支架之类的外力作用，系统的总的机械能也是守恒的.如果把太阳简化为处于椭圆焦点上的约化质量，系统相当于一个质点的平面运动，此时和谐振子的情况一样，必须考虑系统在诺特意义下的总能量，简单的动能和势能相加可能会导致概念错误.对于刚体和流体运动，情况更为复杂.在没有现成结论时，必须依据质点系统的牛顿力学结合约束条件来建立分析力学理论.这也相当于从经典力学的第一性原理出发，构建复杂系统的完整动力学.日本著名的生物学家、诺贝尔奖金获得者本庶佑认为：“在年轻人中间，有一种倾向，认为文章发表在有名的刊物上就是一流的工作.确实，以前日本的学者在顶级刊物上发表的文章不多.但是，与许多人的想象不同，真正一流的工作往往没有在顶级刊物上发表.这是因为，一流的工作往往推翻了定论，因此不受人待见，评审员会给你提很多负面的意见，你的文章也上不了顶级刊物.迎合时代风向的文章比较容易被接受，否则的话，需要花费较长时间才能获得认可.如果你的研究不能推翻定论，科学也就不能进步.当然，你的研究也不会载入史册.学术的世界是保守的.如果你不按现有的定论来写论文，你的论文就很难获得肯定，你也会吃到不少苦头，但能够载入史册的研究都是这种研究.”参考文献[1]张小溪.也谈力学相对性原理与机械能[J]．怀化师专学报,1994(13)1：112～114．[2]张景春,韩淑梅．浅析物体系的势能[J]．辽宁大学学报（自然科学版）,1989(4)：33～36．[3]白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律［J］.大学物理，1997（16）3:11～14.[4]蔡伯濂.关于力学相对性原理与机械能守恒的来稿综述.大学物理，1994（13）1:20～22.[5]易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：18～22.[6]SantosFC，SoaresVandTortAC.AnoteontheconservationofmechanicalenergyandtheGal