中考数学总复习《二次函数与等腰直角三角形的存在性问题》专项测试卷（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《二次函数与等腰直角三角形的存在性问题》专项测试卷（带答案）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．(1)求抛物线的解析式；(2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；(3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；(4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．2．如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点．(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；(2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标．3．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为．①若，求的值；②若为等腰直角三角形，求的值；(3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标．4．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．(1)___________，___________．(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值．(3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积．(3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴．(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围；(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．7．已知抛物线（）与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形．（i）求的面积；（ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，当线段的长随p的增大而减小时，求p的取值范围．8．如图，抛物线，经过三点．(1)求抛物线的函数关系式并求出顶点坐标(2)若点在对称轴右侧的抛物线上的一点以为斜边作等腰直角三角形且直角顶点恰好在对称轴上求出点的坐标(3)在直线上方的抛物线上求一点使的面积最大并求出点的坐标．9．如图二次函数的图象与直线交于点和点对称轴是直线过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点其横坐标是m．(1)求抛物线的函数关系式(2)当点M在直线上方时若求m的值(3)设N是直线上的点是否存在点M和点N的位置使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在请求所有m的值若不存在请说明理由．10．如图在平面直角坐标系中抛物线与轴和轴分别交于点和点点是此抛物线上一点其横坐标为．(1)求抛物线的解析式．(2)若点在轴上方的抛物线上时请结合图象直接写出的取值范围．(3)过点作轴点的横坐标为点与点不重合．①当线段的长度随的增大而减小求的取值范围．②在的下方作等腰直角三角形且当时直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围．11．如图已知抛物线（ab为常数）经过与y轴交于点C．(1)求抛物线所对应的函数表达式．(2)在抛物线的对称轴上存在一点D连接．当最小时求点D的坐标．(3)点E是抛物线上的动点设点E的横坐标为m．①当点E在抛物线对称轴右侧时过点E作轴与抛物线交于点FG为x轴上一点当为以为斜边的等腰直角三角形时求m的值②以点E为中心构造正方形且轴当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时直接写出m的取值范围．12．如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且．直线与抛物线交于两点与轴交于点点是抛物线的顶点设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标．(2)连接直接写出线段与线段的数量关系和位置关系．(3)连接当为何值时？(4)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形？若存在请直接写出点的坐标若不存在请说明理由．13．如图在平面直角坐标系中抛物线顶点的坐标为与平行的动直线与抛物线交于两点（且点在点的左边）以为斜边向右下方做等腰直角三角形直角顶点为点直角边与抛物线交于点．(1)求抛物线的解析式(2)当点恰好与抛物线与轴的交点重合时求的值(3)当直线与抛物线的交点距离时是否存在点在抛物线上点在直线上使得为等腰直角三角形？若存在求出的面积若不存在请说明理由(4)连接当的面积被线段分为的两部分时直接写出点的坐标．参考答案1．(1)(2)且(3)或或(4)存在或【分析】（1）由待定系数法即可求解（2）抛物线的对称轴为直线则点B关于抛物线对称轴的对称点为当M在的左侧时抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升即可求解（3）点矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4当点M的纵坐标为时解得当点M的纵坐标为时即可求解（4）当点在点B的上方时证明得到即可求解当点在点B的下方时同理可解．【详解】（1）解：抛物线经过原点抛物线的表达式为将点代入上式得解得抛物线的解析式为（2）由（1）中抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为直线则点B关于抛物线对称轴的对称点为当M在的左侧时抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升即点BM不重合故即且（3）点矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4当点M的纵坐标为时解得当点M的纵坐标为时解得：或综上m的值为1或或（4）存在或理由如下：当点在点B的上方时如图设点过点BM分别作抛物线对称轴的垂线垂足分别为HG是以为斜边的等腰直角三角形则则点将点M的坐标代入抛物线表达式得

解得（舍去）或则当点在点B的下方时同理可得点将点M的坐标代入抛物线表达式得解得：（不合题意的值已舍去）则综上或．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用点的坐标的意义表示线段的长度从而求出线段之间的关系．2．(1)(2)(3)或【分析】（1）将点代入抛物线的解析式中求出解析式然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可（2）过点P作作轴交于点E设则．则然后依据列出的面积与x的函数关系式然后依据二次函数的性质求解即可（3）设点N的坐标为则点则进而得到解答即可得到m的值进而得到点M的坐标即可．本题属于二次函数综合题主要考查了二次函数的性质待定系数法求二次函数的表达式等腰直角三角形的判定等知识点分类讨论是解答本题的关键．【详解】（1）解：已知抛物线经过点将点A点B的坐标代入得：解得：∴设该抛物线解析式为联立方程组：解得(舍去)或即点D的坐标是（2）如图1：过点P作轴交于点E设则．∴．∴．∴当时的面积的最大值为．∴（3）如图2过点M作x轴的垂线交x轴于点N∵轴于N∴∵是等腰直角三角形∴∵点P在抛物线上∴设点N的坐标为则点∴∴∴或即或当时解得或(舍去)此时当时解得或(舍去)此时综上点M的坐标为或．3．(1)(2)①②或3(3)【分析】（1）将的坐标代入解析式即可求解（2）①由待定系数法得直线的解析式为可求即可求解②分类讨论：当时当时即可求解（3）过作交于过作轴交于由可判定由全等三角形的性质可求得待定系数法求出直线的解析式联立一次函数与二次函数解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得解得：抛物线的解析式为（2）解：①当时设直线的解析式为则有解得：直线的解析式为解得：（舍去）故②轴轴当时如图为等腰直角三角形解得：（舍去）当时为等腰直角三角形同理可求：解得：（舍去）综上所述：或3（3）解：过作交于过作轴交于如图在和中（）同理可求直线的解析式为联立得解得：或（舍去）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用待定系数法等腰三角形是判定全等三角形的判定及性质等能构建全等三角形及根据直角不同进行分类讨论是解题的关键．4．(1)(2)(3)或或【分析】（1）把点代入抛物线即可求解（2）对于抛物线为令得到运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q交于点E设（）则由得到根据二次函数的性质即可求解（3）设连接分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转得到以点N为直角顶点的等腰②将线段绕着点N顺时针旋转得到以点N为直角顶点的等腰．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点∴解得．故答案为：（2）解：∵∴抛物线为令则∴∴．设过点的直线的解析式为∴解得∴直线的解析式为．过点P作轴于点Q交于点E设（）则∴∵轴∴∴∴．∴当时有最大值为．（3）解：∵点N在抛物线上∴设．连接①将线段绕着点N逆时针旋转得到以点N为直角顶点的等腰过点N作x轴的垂线垂足为点F过点M作于点G∵∴∵轴∴∴∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形∴∴∴∴∴∴∵点M在直线上∴解得∴．②将线段绕着点N顺时针旋转得到以点N为直角顶点的等腰过点N作x轴的平行线分别过点A点M作该平行线的垂线垂足分别为点Q点H∵∴同①同理可得∴∴∵点M在直线上∴解得∴或．综上所述点N的坐标为或或．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式相似三角形的判定及性质二次函数的性质全等三角形的判定及性质综合运用相关知识是解题的关键．5．(1)(2)(3)存在【分析】（1）过点作轴于点则．证明则则得到点．把点代入解得即可求出答案（2）求出抛物线的顶点的坐标利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为得到点的坐标为则即可求出答案（3）延长至点使过点作轴于点证明进一步得到点．过点作为垂足且使连接则四边形为正方形．过点作轴于点证明进一步得到点．验证两点都在抛物线上即可得到结论．【详解】（1）解：如图过点作轴于点则．∴∵∴．在和中∵点．把点代入得解得抛物线的解析式为．（2）由点的坐标为．设直线的解析式为．将点代入得解得直线的解析式为．设直线和轴的交点为当时解得∴点的坐标为．（3）存在．如图延长至点使过点作轴于点∴∴∴∴点．过点作为垂足且使连接则四边形为正方形．过点作轴于点∴∴∴∴点．当时当时∴两点都在抛物线上在抛物线上存在两点使四边形为正方形．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质二次函数的图象和性质正方形的判定和性质一次函数的图象和性质等知识添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据抛物线的对称性可得再将三个点的坐标代入关系式求出答案即可（2）先求出直线的解析式再求出抛物线的顶点坐标是再求出当时抛物线顶点落在上当时抛物线顶点落在上然后结合题意可得答案先设点再分两种情况：当点P在x轴上方时点P作交于点M过点B作垂直于的延长线于点N然后根据等腰直角三角形的性质证明可得即可得出接下来结合得出方程求出解可得出答案当点P在x轴下方时过点P作于点M过点B作交延长线于点N同理可得再根据得出方程求出解即可得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是∴点．∵抛物线的图象经过点∴解得∴抛物线的解析式为（2）解：设直线的解析式为经过点解得∴直线的解析式为．∵∴抛物线的顶点坐标是．当时将抛物线L向下平移h个单位长度∴当时抛物线顶点落在上当时抛物线顶点落在上∴抛物线L向下平移h个单位长度使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界）则（3）解：设点当点P在x轴上方时过点P作交于点M过点B作垂直于的延长线于点N如图所示∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形∴∴∴．∵∴∴∴．根据点B的坐标可得且∴解得或∴或3∴点或当点P在x轴下方时过点P作于点M过点B作交延长线于点N同理可得∴∴则解得或∴或∴点或．综上所述符合条件的点P的坐标是或或或．7．(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）利用待定系数法将AC两点的坐标代入（）进行解答即可（2）先设的高为则进一步得点Q的坐标为代入抛物线的解析式求出的值最后利用三角形的面积公式即可解答先连接进一步得再分别求出直线和直线的表达式再根据和得出最后根据函数的图象与性质即可解答．【详解】（1）解：将AC两点的坐标代入（）得：解得∴．（2）解：（i）在等腰直角中以为底的高（也是中线）等于的长度的一半故设与x轴之间的距离即以为底的高为m（）则．又抛物线的对称轴为直线∴点Q的坐标为点的坐标为,将点Q的坐标代入得解得（舍去负值）∴（ii）如图连接为等腰直角三角形．又为等腰直角三角形．设直线的表达式为将代入得∴∴．设直线的表达式为将点的坐标代入得．且轴．且∴．∵线段的长随p的增大而减小∴综上p的取值范围为．8．(1)(2)或(3)【分析】（1）把点代入抛物线解析式中求解即可（2）根据题意画出图形设分别表示出和根据条件证明得出即可根据等于点的纵坐标绝对值计算即可（3）根据已知条件求出直线的解析式表示出则求出表示出的面积根据配方法配方求解即可．【详解】（1）把点代入中解得二次函数顶点坐标为顶点坐标为．（2）根据题意作图如下：则为等腰直角三角形过点作对称轴于点则在和中设则点可能在第一象限也可能在第四象限当点在第一象限时解得（舍去）当点在第四象限时记为解得（舍去）综上所述点的坐标为或．（3）点的位置如图所示过点作轴交于设直线的解析式为点在抛物线上面设轴且点在直线上面延长交轴于点过点作则当时的面积最大为．【点睛】本题主要考查了了二次函数的相关知识点包括求抛物线函数关系式顶点坐标利用等腰直角三角形的性质求点的坐标以及求三角形最大面积时点的坐标涉及到待定系数法等腰直角三角形的性质等知识．9．(1)(2)或(3)存在．【分析】（1）先求出点B的坐标再用待定系数法求解即可（2）在A点上方的y轴取点D连接求出使得的点D的坐标求出过点D且平行的直线的解析式再运用求交点横坐标的方法求解m即可（3）作于点E于点F根据题意可知当时是以为斜边的等腰直角三角形从而根据列出m的方程求解即可．【详解】（1）解：将代入得解得：∴点B坐标为由题意解得∴抛物线的函数关系式是．（2）当时∴∵点B坐标为抛物线对称轴为直线∴点C坐标为由题意在A点上方的y轴取点D连接设则即解得过点D作的平行线交抛物线于点M由题意该直线函数关系式为令解得或（3）存在．．作于点E于点F当时∴∴当时是以为斜边的等腰直角三角形．解得．10．(1)(2)(3)①②时有一个交点时有两个交点时有三个交点【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为求出时或由图可得的取值范围是求出当即时与重合即可得当即时随的增大而减小符合题意而当即时随的增大而增大不符合题意从而可得答案由知当时重合分种情况：当时当时当时分别画出图形可得答案．【详解】（1）解：把和代入得：解得抛物线的解析式为（2）解：在中令得：解得或由图可得点在轴上方的抛物线上时的取值范围是（3）解：轴点横坐标为点的横坐标为当即时与重合当即时此时随的增大而减小符合题意当即时此时随的增大而增大不符合题意综上所述当线段的长度随的增大而减小的取值范围是由知当时重合当时在的左侧如图：此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个抛物线的对称轴为直线当时在的右侧如图：由图可知此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个当时如图：此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个综上所述当时等腰直角三角形与抛物线的交点有个当时等腰直角三角形与抛物线的交点有个当时等腰直角三角形与抛物线的交点有个．【点睛】本题考查二次函数的应用涉及待定系数法二次函数图象与x轴交点二次函数与二次不等式的关系等腰直角三角形等知识解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用．11．(1)(2)(3)①或②或或【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可（2）连接交抛物线的对称轴于点D连接求出抛物线的对称轴为直线点C的坐标为根据线段垂直平分线的性质得出根据两点之间线段最短得出此时最小即最小然后求出直线的解析式再求出点D的坐标即可（3）①分两种情况讨论：当点E在轴上方时当点E在轴上方时分别画出图形列出方程解方程即可②分四种情况讨论：当时当时当时当时分别画出图形列出不等式组求出不等式组的解集即可．【详解】（1）解：∵抛物线（ab为常数）经过∴解得：∴抛物线的解析式为：（2）解：连接交抛物线的对称轴于点D连接如图所示：∵∴抛物线的对称轴为直线把代入得：∴点C的坐标为∵点AB关于抛物线的对称轴对称∴∴∵两点之间线段最短∴此时最小即最小设直线的解析式为：把代入得：解得：∴直线的解析式为：把代入得：∴点D的坐标为．（3）解：①∵点E在抛物线对称轴右侧时轴与抛物线交于点F∴点E与点F关于直线对称且∵点E在抛物线上∴当点E在轴上方时设交直线于点H如图所示：则∵为等腰直角三角形∴∵点G在x轴上∴∵∴解得：（舍去）当点E在轴下方时设交直线于点H如图所示：同理可得：∴解得：（舍去）综上或②当时如图所示：∵轴四边形为正方形∴轴∵∴∵以点E为中心构造正方形∴所在直线的横坐标为所在直线的横坐标为所在直线的纵坐标为所在直线的纵坐标为∵抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为∴抛物线与有交点∴整理得：解不等式组得：或∵此时∴此时当时如图所示：同理可得：整理得：解得：∵此时∴此时当时PQMN重合不存在正方形当时如图所示：同理可得：整理得：解得：或∵此时∴此时综上：或或．12．(1)点的坐标为(2)且(3)或(4)存在点的坐标为或【分析】（1）直线与抛物线交于两点可得点和点坐标再求出点的坐标分别为：利用待定系数法即可求解（2）分别求出和的长根据待定系数法求出直线的解析式即可求解（3）根据题意将的面积和的面积表示出来令即可解出的值（4）分三种情况分别求解即可．【详解】（1）解：直线与抛物线交于两点则点点．∵∴点的坐标为故抛物线的表达式为将点的坐标代入得解得∴抛物线的表达式为∴顶点的坐标为．（2）解：且理由：∵∴设直线的解析式为将代入得解得故直线的解析式为∵点∴故∵直线的解析式为直线的解析式为故将直线向上平移个单位得到直线∴故且．（3）解：∵解得∴点的坐标为．如图过点作轴的平行线交于点设点则点∴．解得或．（4）解：存在点的坐标为或．设点点而点①当时如图过点作轴的平行线过点点作轴的平行线交过点且平行于轴的直线于点∵∴∵∴∴即解得．当时解得（舍去）∴点．②当时如图：此时则点关于抛物线的对称轴对称点在抛物线上由抛物线的对称性可知点在抛物线上又点在直线上点与点重合此时纵坐标为3∴点．③当时当点在抛物线对称轴的右侧时如图点在的下方与题意不符舍去当点在抛物线对称轴的左侧时如图同理可得解得（舍去）．故点．综上可得点的坐标为或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用难度较大涉及到一次函数三角形全等图形的面积计算等要注意分类求解避免遗漏．熟练掌握这些性质判定二次函数的图象和性质是解题的关键．13．(1)(2)(3)存在的面积为(4)或【分析】（1）根据题意由抛物线的顶点式直接求解即可得到答案（2）根据题意作出图形由（1）中所求抛物线解析