中考数学总复习《二次函数与特殊四边形的存在性问题》专项测试卷（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《二次函数与特殊四边形的存在性问题》专项测试卷（带答案）1．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点．(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线在第一象限内的点，连接，若的面积是面积的，求点P的坐标；(3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．(1)求抛物线解析式；(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下取最大值时点是轴上的一个动点点是坐标平面内的一点是否存在这样的点使得以四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．5．如图在平面直角坐标系中直线与轴交于点抛物线与直线交于两点顶点的坐标是过点作轴交抛物线于点D连接．(1)求该抛物线的表达式(2)求的正切值(3)点为抛物线上一点当以为顶点的四边形是梯形时请直接写出点的坐标．6．如图①在平面直角坐标系中直线交轴于点交轴于点抛物线经过两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点其横坐标为．(1)求抛物线的解析式(2)当时求线段的长度(3)当点在轴下方时抛物线在点点之间的部分（包括端点）记为图象图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时求点的坐标(4)以为对角线构造矩形边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时直接写出的值．7．如图1抛物线与x轴交于点与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式(2)P为第一象限内抛物线上一动点其横坐标为t过点P分别作轴于点D轴于点E过点C作轴交直线于点F若四边形的周长f为求t的值(3)如图2连接M为线段上一动点（不与点BC重合）其横坐标为m过点M分别作轴于点G轴交抛物线于一点N过点N作轴于点H若四边形为正方形求点M的坐标．8．如图在平面直角坐标系中抛物线经过点与轴交于点且关于直线对称．(1)求抛物线的函数表达式(2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点过点作轴的垂线交直线于点在轴上是否存在点使得以为顶点的四边形是菱形？若存在求出该菱形的边长若不存在说明理由．9．如图1二次函数的图象与轴相交于点和点与轴相交于点并且点的坐标为．(1)求的值(2)当时二次函数的最大值是3求的值(3)如图2点的坐标为点在轴正半轴上运动．过点作轴的垂线与直线相交于点与二次函数的图象相交于点连接将沿翻折的对应点为．问在点的运动过程中点能否落在轴上？若能请求出点的坐标若不能请说明理由．10．如图已知抛物线与一直线相交于两点与轴交于点．其顶点为．(1)求抛物线及直线的函数解析式(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点直接写出的面积的最大值及此时点P的坐标(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点点为直线上的任意一点过点作交抛物线于点以点BDEF为顶点的四边形能否为平行四边形？若能求点的坐标若不能请说明理由．11．如图在平面直角坐标系中抛物线与x轴的两交点分别是与y轴交于点C连接．(1)求该抛物线的解析式(2)点P为直线上方抛物线上的点过P作于点E交于点D为射线上的点连接且求的最大值以及此时点P的坐标(3)在（2）的条件下将抛物线沿射线方向平移个单位长度平移后的抛物线与y轴交于点Q点为平移后抛物线对称轴上的点N为平面内一点直接写出所有使得以点PQMN为顶点的四边形为菱形的点N的坐标．12．如图抛物线与x轴相交于与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式(2)连接点P为抛物线上第一象限内一动点当面积最大时求点P的坐标(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点在抛物线上是否存在点Q使以点BCDQ为顶点的四边形为平行四边形？若存在求出点Q的坐标：若不存在说明理由．13．如图在平面直角坐标系中二次函数的图象与轴交于点两点与轴交于点且顶点为点为该二次函数的图象上两点点横坐标为．(1)求二次函数解析式(2)如图1若点在轴左侧且求点的坐标(3)如图2若平行于轴过点作交于点设求与的函数关系式(4)若点位于点左侧两点间的水平距离为以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行若矩形的周长与抛物线上两点间纵坐标的最大值相等求的值．参考答案1．(1)(2)(3)点M的坐标为或或或【分析】（1）先求出点再将两个点的坐标代入可得答案（2）由点的坐标得再设然后根据得出方程求出解即可（3）先设再分两种情况：当为平行四边形的边时过M作x轴的垂线交抛物线于点N可得进而得出再根据时四边形是平行四边形即当时求出答案当为平行四边形的对角线时先确定点由得出方程再求出解可得坐标．【详解】（1）解：当时当时∴点将代入中得：解得：∴抛物线的解析式为（2）解：由得：设∴∴得：解得：（舍）∴（3）解：设①当为平行四边形的边时过M作x轴的垂线交抛物线于点N如图则则∵∴当时以OBMN为顶点的四边形是平行四边形∴当时即解得：此时当时即则∴②当为平行四边形的对角线时如图∵∴则即解得：∴或∴点M的坐标为或或或或．2．(1)(2)(3)存在【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标再利用待定系数法求解即可得（2）先根据求出从而可得再根据平行线的判定可得从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同即为3由此即可得（3）设点的坐标为分两种情况：①四边形是矩形②四边形是矩形先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标再根据矩形的性质求解即可得．【详解】（1）解：一次函数当时即当时解得即把代入得解得则抛物线的解析式为．（2）解：点的纵坐标与点的纵坐标相同即为3当时解得或（舍去）点的横坐标为2．（3）解：存在求解如下：设点的坐标为①当四边形是矩形时则直线的解析式为设在直线上根据勾股定理得：解得直线的解析式为联立解得或（即为点舍去）②当四边形是矩形时则设直线的解析式为将点代入得：解得则直线的解析式为联立解得或（即为点舍去）综上存在以为顶点且以为边的矩形此时点的坐标为或．3．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点和点即可得到关于ab的方程从而可以求得ab的值然后即可写出抛物线的解析式（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质分三种对角线情况列方程求解点（3）根据抛物线的解析式设点P的坐标然后再根据是等腰直角三角形得出是等腰直角三角形再分类讨论列出方程即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点解得∴抛物线的解析式为：将解析式配方得顶点式：∴顶点D的坐标为（2）存在令则∴设点根据平行四边形对角线互相平分的性质分三种情况讨论：情况1：以为对角线则中点与中点重合：解得：即．情况2：以为对角线则中点与中点重合：解得：即．情况3：以为对角线则中点与中点重合：解得：即．综上存在满足条件的点坐标为（3）存在理由如下：当时所以∴是等腰直角三角形以点PQE为顶点的三角形与相似∴是等腰直角三角形设点P的坐标为抛物线的对称轴为直线设BC的解析式为将代入得解得故BC的解析式为把代入得则E点坐标为如图当E为直角顶点时解得（舍去）把代入得则P点坐标为当Q为直角顶点时PQ=QE即解得（舍去）把代入得则P点坐标为当P为直角顶点时作PM⊥EQ于MPM=ME即解得（舍去）则P点坐标为综上P点坐标为或．4．(1)(2)取得最大值此时点的坐标为(3)存在满足条件的的坐标为或【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）过点作轴交直线于连接先求得直线的解析式设则可得再由根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得利用二次函数的性质解决问题即可（3）存在这样的点使得以四点组成的四边形是矩形分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．【详解】（1）解：抛物线经过点解得：该抛物线的解析式为（2）解：如图1过点作轴交直线于连接设直线的解析式为解得：直线的解析式为设则直线与轴交于点轴即当时取得最大值此时点的坐标为（3）解：存在这样的点使得以四点组成的四边形是矩形．①当是矩形的边时有两种情形a如图2﹣1中四边形是矩形时由（2）可知代入中得到直线的解析式为可得由可得,．根据矩形的性质将点向右平移个单位向下平移1个单位得到点即b如图2﹣2中四边形是矩形时直线的解析式为直线的解析式为根据矩形的性质可知将点D向右平移6个单位向下平移4个单位得到点N即．②当是对角线时设则是直角顶点整理得方程无解此种情形不存在综上所述满足条件的的坐标为或．5．(1)(2)(3)点的坐标为或或【分析】（1）先求出设抛物线的解析式为将代入解析式计算即可得出结果（2）先求出作于点则求出最后由正切的定义计算即可得出结果（3）先求出直线的解析式为再结合梯形的性质分三种情况：当时当时当时分别计算即可得出结果．【详解】（1）解：在中当时即∵抛物线顶点的坐标是∴设抛物线的解析式为将代入解析式可得解得：∴抛物线的解析式为（2）解：∵过点作轴∴当时解得：∴联立解得：或∴如图作于点则∴∴（3）解：设直线的解析式为将代入解析式可得解得：∴直线的解析式为∵以为顶点的四边形是梯形∴当时设直线的解析式为将代入解析式可得∴直线的解析式为联立解得：或∴此时点的坐标为当时此时点的纵坐标为在中令则解得：或∴此时点的坐标为当时设直线的解析式为将代入解析式可得解得：∴直线的解析式为联立解得：或∴此时点的坐标为综上所述：点的坐标为或或．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式求二次函数的解析式正切的定义二次函数综合—特殊四边形问题采用分类讨论的思想是解此题的关键．6．(1)(2)4(3)点的坐标为或者(4)或．【分析】（1）先由直线解析式求出点点坐标再用待定系数法求抛物线解析式．（2）由知点与点纵坐标相同代入抛物线求出点坐标即可求长．（3）抛物线开口向下顶点为点分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点根据纵坐标之差为列方程求解．（4）由矩形构造可知其四个顶点为直线经过点分与讨论它与矩形边的交点位置利用面积比为1:3列方程求．【详解】（1）解：对于直线令得令得．抛物线经过两点解得：抛物线的解析式为．（2）解：在轴上点与点的纵坐标相同均为．令得即解得：．．．（3）解：令得即．抛物线开口向下顶点坐标为对称轴为直线．点在轴下方或．①当时图象对应自变量取值范围是抛物线在上y随x增大而增大最高点为最低点为．由题意：即解得：．．此时．②当时图象对应自变量取值范围是包含顶点最高点为顶点纵坐标为．点在轴下方点在轴上最低点为纵坐标为．由题意：即解得：．．此时．综上点的坐标为或．（4）解：四边形为矩形为对角线且轴．矩形面积．当时直线与边交于点．由得解得：．当时直线与边交于点．由得解得：．当时直线不经过矩形内部不符合题意．综上的值为或．7．(1)(2)t的值为或(3)【分析】（1）将点AB的坐标分别代入列方程组求解即可．（2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论分别计算结果．（3）设点N的横坐标为n用含mn的式子分别表示出的长再根据列方程求解．【详解】（1）解：将分别代入得解得故抛物线的函数表达式为．（2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点∴其中．∵抛物线的函数表达式为∴．令解得∵轴∴当时点E与点C重合．∴．①当时如图1点E在点C上方此时∴．当时解得．②当时如图2点E在点C下方此时∴．当时解得（舍去）．综上可知t的值为或．（3）解：∵轴轴∴．又轴∴四边形是矩形∴．设点N的横坐标为n则∴．∵∴设直线的函数表达式为把代入得∴直线的函数表达式为∴∴∴①．要使四边形为正方形则要满足．点N的位置有以下两种情况．①当点N在点C左侧的抛物线上时如图3此时．若则整理得②把②代入①得解得（不符合题意舍去）∴∴∴．②当点N在点C右侧的抛物线上时．若则解得此时点与点重合不符合题意．综上可知点M的坐标为．8．(1)(2)存在以为顶点的四边形是菱形边长为或【分析】本题考查二次函数的综合应用菱形的性质正确的求出函数解析式利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．（1）根据对称轴求出把点代入函数解析式求出即可得到函数解析式（2）令得求出设直线的解析式为：根据待定系数法求出函数解析式设则得到分类讨论：①当为边时②当为对角线时求出即可得到菱形的边长．【详解】（1）解：对称轴为直线即．．将代入得解得．抛物线的函数表达式为．（2）解：存在．令得设直线的函数表达式为将代入得解得直线的函数表达式为设则当以为顶点的四边形是菱形时分为以下两种情况：①当为边时即解得（不合题意舍去）此时菱形的边长为②当为对角线时即解得（不合题意舍去）此时菱形的边长为综上所述存在以为顶点的四边形是菱形边长为或．9．(1)(2)或(3)点的坐标为或时点能否落在轴上．【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）先求得抛物线的对称轴为直线顶点坐标为再分两种情况讨论即可求解（3）利用折叠的性质平行线的性质求得推出再利用勾股定理分两种情况讨论即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点∴解得（2）解：由（1）得二次函数解析式为∴抛物线的对称轴为直线顶点坐标为∵当时二次函数的最大值是3且∴该区间不包含对称轴分两种情况讨论：①当区间在对称轴左侧时即此时函数在区间上单调递增最大值在处取得∴解得∵∴②当区间在对称轴右侧时即解得此时函数在区间上单调递减最大值在处取得∴解得∵∴综上或（3）解：能理由如下：令则∴∵点E的坐标为设直线的解析式为将代入得解得∴直线的解析式为设点P的坐标为∵轴点M的横坐标为m点N的横坐标为m∴若点Q落在y轴上∵点C在y轴上∴线段在y轴上∵轴y轴轴∴轴即∴(两直线平行内错角相等)由翻折的性质可知∴∴∴(等角对等边)∵∴∵∴①当点N在点M上方时(即)：∴由得：解得(舍去)∵∴符合题意此时②当点M在点N上方时(即)：∴由得：解得(舍去)∵∴符合题意此时综上点的坐标为或时点能否落在轴上．10．(1)抛物线的函数关系式为直线AC的函数关系式为(2)最大值为此时点P的坐标为(3)能E的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）过点作轴交于点交轴于点过点作轴于点设则求出根据得到据此可得答案（3）先求出点B和点D的坐标根据得到以点BDEF为顶点的四边形是平行四边形为该平行四边形的一组对边则设则则解方程即可得到答案．【详解】（1）解：将点代入得解得∴抛物线解析式为

设直线的解析式为将点代入得∴∴直线的解析式为（2）解：如图所示过点作轴交于点交轴于点过点作轴于点．设则∴当时的面积有最大值最大值为此时点P的坐标为．（3）解：∵抛物线解析式为当时∵∴以点BDEF为顶点的四边形是平行四边形为该平行四边形的一组对边如图∴设则∴∴或解方程得或（舍去）解方程得或当时当时当时综上满足条件的点的坐标为或或．11．(1)(2)当时的最大值为(3)或或【分析】（1）将代入二次函数求出的值即可（2）先求出直线的解析式为：设则过点作于点则根据正弦函数的定义可得由得可得则利用二次函数的性质可求出最值（3）先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式然后设出点分两种情况：①线段为菱形的对角线时②线段为菱形的边时利用菱形的性质求解．【详解】（1）解：与x轴的两交点分别是解得抛物线的解析式为：（2）解：当时设直线的解析式为：直线过点解得直线的解析式为：设则过点作于点轴当时的最大值为此时（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度即将抛物线向左移动个单位向上移动个单位平移后的抛物线的解析式为：平移后的抛物线的对称轴为直线平移后的抛物线与轴的交点设①当线段为菱形的对角线时解得②当线段为菱形的边时当时即无解当时即或或