2026年矩阵行列式测试题及答案

2026年矩阵行列式测试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1.设3阶矩阵A的行列式det(A)=3，对A进行如下变换：交换第1行与第2行，再将第3行乘以2，则变换后矩阵的行列式为（）A.-6B.6C.-12D.122.设分块矩阵M=(AB0C)A&B0&C\)，其中A为3阶矩阵且det(A)=2，C为2阶矩阵且det(C)=-1，B为3×2A.-2B.2C.-1D.13.设4阶矩阵A的行列式det(A)=2，其伴随矩阵为A，则det(A)=（）3.设4阶矩阵A的行列式det(A)=2，其伴随矩阵为A，则det(A)=（）A.2B.4C.8D.164.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A²-2A+I（I为单位矩阵），则det(B)=（）A.0B.1C.2D.65.设n阶矩阵A满足A+B=AB（B为n阶矩阵），则det(A-I)=（）（I为单位矩阵）A.0B.1C.-1D.非零二、填空题（每题5分，共25分）1.计算4阶矩阵A=(2345345645675678)2&3&4&53&4&5&64&5&6&75&6&7&8\)的行列式det(A)=______。2.设范德蒙德行列式D=|1111235722323.设3阶矩阵A=(11112314t)1&1&11&2&31&4&t\)4.设3阶矩阵A满足det(A)=2，记A为A的伴随矩阵，(2A)⁻¹为2A的逆矩阵，则det(A)·det((2A)⁻¹)=______。4.设3阶矩阵A满足det(A)=2，记A为A的伴随矩阵，(2A)⁻¹为2A的逆矩阵，则det(A)·det((2A)⁻¹)=______。5.设4阶多项式矩阵M(x)=(x1001x1001x1001三、计算题（每题15分，共45分）1.计算5阶行列式D=|1234521234321234321254321|1&2&3&4&52&1&2&3&43&2&1&2&34&3&2&1&25&4&3&2&1\)2.设3阶矩阵A满足det(A)=3，矩阵B满足AB=2BA+C，其中C=(000000006)0&0&00&0&00&0&6\)，且tr(BA)=5（tr表示迹），求det(B)。3.设4阶矩阵A的特征值为1,-1,2,3，多项式f(x)=x³-2x+1，求det(f(A))。四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：若n阶矩阵A为反对称矩阵（即Aᵀ=-A）且n为奇数，则det(A)=0。2.证明：对任意n阶矩阵A和B，有det(AB)=det(A)det(B)。答案一、选择题1.解析：交换两行行列式变号，乘以常数k行列式变为k倍原行列式。原det(A)=3，交换1、2行后det=-3，第3行乘2后det=-3×2=-6。答案：A。2.解析：分块上三角矩阵的行列式等于对角子块行列式的乘积，即det(M)=det(A)·det(C)=2×(-1)=-2。答案：A。3.解析：n阶矩阵伴随矩阵行列式满足det(A)=det(A)ⁿ⁻¹，n=4时det(A)=2⁴⁻¹=8？错误，应为n=4时det(A)=det(A)⁴⁻¹=2³=8？不，正确公式是det(A)=det(A)ⁿ⁻¹，n=4，det(A)=2，故det(A)=2³=8。答案：C（原解析有误，正确应为8，选项C）。3.解析：n阶矩阵伴随矩阵行列式满足det(A)=det(A)ⁿ⁻¹，n=4时det(A)=2⁴⁻¹=8？错误，应为n=4时det(A)=det(A)⁴⁻¹=2³=8？不，正确公式是det(A)=det(A)ⁿ⁻¹，n=4，det(A)=2，故det(A)=2³=8。答案：C（原解析有误，正确应为8，选项C）。4.解析：A的特征值λ对应B=A²-2A+I的特征值为λ²-2λ+1=(λ-1)²。λ=1时特征值为0，λ=2时为1，λ=3时为4，故det(B)=0×1×4=0。答案：A。5.解析：由A+B=AB得AB-A-B=0，即(A-I)(B-I)=I（两边加I），故(A-I)可逆，det(A-I)≠0。答案：D。二、填空题1.解析：对A进行行变换，R2=R2-R1，R3=R3-R2，R4=R4-R3，得：(2345111111111111)2&3&4&51&1&1&11&1&1&11&1&1&1\)，后三行全相同，行列式为0。答案：0。2.解析：范德蒙德行列式公式为∏1≤i<j≤4(xj3.解析：det(A)=0时矩阵不可逆。计算行列式：det(A)=1×(2t-12)-1×(t-3)+1×(4-2)=2t-12-t+3+2=t-7=0，故t=7。答案：7。4.解析：det(A)=det(A)³⁻¹=2²=4；det((2A)⁻¹)=1/det(2A)=1/(2³det(A))=1/(8×2)=1/16；故乘积为4×(1/16)=1/4。答案：1/4。4.解析：det(A)=det(A)³⁻¹=2²=4；det((2A)⁻¹)=1/det(2A)=1/(2³det(A))=1/(8×2)=1/16；故乘积为4×(1/16)=1/4。答案：1/4。5.解析：递推计算det(M(x))。设Dₙ为n阶行列式，D₁=x，D₂=x²-1，D₃=x·D₂-1·D₁=x³-2x，D₄=x·D₃-1·D₂=x⁴-3x²+1，故x³项系数为0。答案：0。三、计算题1.解析：对D进行行变换，R5=R5-R4，R4=R4-R3，R3=R3-R2，R2=R2-R1，得：(123451-1-1-1-111-1-1-1111-1-11111-1)1&2&3&4&51&-1&-1&-1&-11&1&-再对R3-R2，R4-R2，R5-R2，得：(123451-1-1-1-1020000220002220)1&2&3&4&51&-1&-1&-1&-10&2&0&0&00&2&2&0&00&2&2&2&0\)继续R4-R3，R5-R3，得：(123451-1-1-1-1020000020000220)1&2&3&4&51&-1&-1&-1&-10&2&0&0&00&0&2&0&00&0&2&2&0最后R5-R4，得：(123451-1-1-1-1020000020000020)1&2&3&4&51&-1&-1&-1&-10&2&0&0&00&0&2&0&00&0&0&2&0\)上三角矩阵行列式为对角线乘积，注意最后一列全为0（除第一行），故det(D)=0。2.解析：由AB=2BA+C，取迹得tr(AB)=2tr(BA)+tr(C)。已知tr(BA)=5，tr(C)=6，故tr(AB)=2×5+6=16。又tr(AB)=tr(BA)=5（矛盾），说明假设C的构造需调整。正确构造应为AB=2BA，此时det(AB)=det(2BA)，即det(A)det(B)=2³det(B)det(A)，因det(A)=3≠0，故det(B)=0。3.解析：f(A)的特征值为f(1)=1-2+1=0，f(-1)=-1+2+1=2，f(2)=8-4+1=5，f(3)=27-6+1=22，故det(f(A))=0×2×5×22=0。四、证明题1.证明：反对称矩阵满足Aᵀ=-A，故det(Aᵀ)=det(-A)，即det(A)=(-1)ⁿdet(A)。n为奇数时，(-1)ⁿ=-1，故det(A)=-det(A)，即2det(A)=0，得det(A)=0。2.证明：若A可逆，A可表示为初等矩阵乘积A=E₁