离散数学 课件6.2 欧拉图_第1页
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文档简介

6.2欧拉图哥尼斯堡七桥问题要求边不重复地一笔画出整个图

定义

设G是无孤立结点的图，若存在一条通路(回路)，经过图中每条边一次且仅一次，则称此通路(回路)为该图的一条欧拉通路(回路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图。具有欧拉通路而没有欧拉回路的图称为半欧拉图。说明：

1上述定义对无向图和有向图都适用.2规定平凡图为欧拉图.3欧拉通路是简单通路,欧拉回路是简单回路.4环不影响图的欧拉性.欧拉图欧拉图半欧拉图半欧拉图不是不是

定理

无向图G=(V,E)具有欧拉通路，但无欧拉回路，当且仅当G是连通的且G恰好有两个奇度结点，这两个奇度结点是欧拉通路的端点。

推论

无向图G=(V,E)具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。例(设计区间公交车路线)某运输管理部门在设计一个新的区间公交系统，来运送城市商业区的顾客,具体如图所示，为了提高公交车的运行效率，他们希望能够设计一条恰好通过商业区每条道路一次的运行路线，并且最终回到初始位置。

解

首先将每一个道路交叉口用一个顶点表示，连接两个交叉口的道路用一条边表示，如图所示。

问题转化为在图中找到一条从顶点A出发，走遍图中每条边一次且仅一次的回路。由于图中无奇度结点，所以该图是欧拉图，存在欧拉回路。例(蚂蚁比赛问题)如图，甲、乙两只蚂蚁分别位于顶点A、B处。假设图中边的长度是相等的，甲、乙进行比赛，从它们所在顶点出发，走遍图中的所有边，最后到达顶点C。如果它们的速度相同，请问谁先到达目的地?

解

图中仅有两个奇度顶点A、C，存在从A到C的欧拉通路，蚂蚁甲走到C只需要走一条欧拉通路，边数为9条。而蚂蚁乙要想走完所有的边到达C，至少要先走一条边到达A，再走一条欧拉通路，故蚂蚁乙至少要走10条边才能到达C点，因此，在速度相同的情况下，蚂蚁甲先到达目的地。

定理

有向图G具有一条欧拉通路，但无欧拉回路，当且仅当G是连通的，且除了两个结点以外，其余结点的入度等于出度，而这两个例外的结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的出度比入度大1。

推论

有向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，且所有结点的入度等于出度。

哥尼斯堡七桥问题

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