全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第23讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式【答案】听课手册

第23讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)sin2α+cos2α=1(2)tanα=sinαcosα,α≠kπ+π22.-sinαtanα【对点演练】1.35-34[解析]∵cosα=-45,且α为第二象限角,∴sinα=1-cos2α=352.54[解析]原式=3tanα-1tan3.-35[解析]∵cos(π+α)=-cosα=-35,∴cosα=∴sin32π+α=-cosα4.±12[解析]∵0<sinα=55<1,∴α为第一象限角或第二象限角.当cosα=1-sin2α=255,∴tanα=sinαcosα=∴tanα=sinαcosα=-12.综上,tan5.sinα[解析]原式=sinαcosα·cos6.3-12[解析]∵tanα=3,π2<α<32π,∴α=4π3,∴cosα=-∴cosα-sinα=-12--32●课堂考点探究例1[思路点拨](1)思路一:根据条件设出角θ终边上一点P的坐标为(2,1),进而利用三角函数的定义求出sinθ,cosθ即可得结果;思路二:根据商数关系与平方关系求sinθ与cosθ,进而可得结果;思路三:根据条件得到(sinθ-cosθ)2的值,缩小角θ的取值范围,进而得到sinθ与cosθ的大小关系,即可求解.(2)根据题意结合同角三角函数的基本关系可得tan2α-sin2α=tan2αsin2α,即可得结果.(1)-55(2)2[解析](1)方法一:因为θ∈0,π2,tanθ=12,所以可设θ终边上一点P的坐标为(2,1),则|OP|=22+12=5(O为坐标原点),所以sinθ=1故sinθ-cosθ=-55方法二:因为θ∈0,π2,tanθ=12所以sinθ-cosθ=-55方法三:(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-2sinθcosθsin2θ+cos2θ=1-2tanθ1+tan2θ=15,因为tanθ=12<1,0<(2)因为tan2α-sin2α=sin2αcos2α-sin2α=sin2α×1-cos2αcos2α=sin2α×sin2αco变式题0[解析]∵cosα=-513<0且cosα≠-1,∴α是第二或第三象限角①若α是第二象限角,则sinα=1-cos2α∴tanα=sinαcosα=1213-513=-125,此时13sinα②若α是第三象限角,则sinα=-1-cos2α=-1--5132=-1213时13sinα+5tanα=13×-1213+5×125=0.综上,13sinα+5tan例2[思路点拨](1)思路一:利用三角函数的定义求出sinθ与cosθ的值,再代入计算即可;思路二:利用正切函数的定义及齐次式法计算即可.(2)利用同角三角函数的基本关系将第一个式子化弦为切,进而求解,将第二个式子看作分母为1的分数,利用平方关系化为齐次式后再化弦为切,进而求解.(1)10(2)15310[解析](1)方法一:因为角θ的终边过点P(3,4),P到原点的距离r=5,所以sinθ=45,cosθ=35,故sin方法二:由角θ的终边过点P(3,4),得tanθ=43,所以sinθ+2cosθsinθ(2)因为tanα=-3,所以sinα+2cosαsinα-2cosα=tanα+2tanαsin2α+2sinαcosα变式题-53135[解析]由tanαtanα-1=-1得tanα=12,所以sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα例3[思路点拨]将sinα+cosα=15两边同时平方,结合平方关系得到sinαcosα结合sinαcosα的符号及α的取值范围判断即可.ABD[解析]∵sinα+cosα=15,∴(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα=125,解得sinαcosα=-1225,故B正确;∵α∈(0,π),sinαcosα=-1225<0,∴π2<α<π,cosαcosα-sinα<0,又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×-1225=4925,∴cosα-sinα=-75变式题1713[解析]∵0<θ<π,sinθcosθ=-60169<0,∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cos∴sinθ-cosθ=(sin1-2sinθcosθ=1例4[思路点拨](1)由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简,进而求目标式的值;(2)由已知利用诱导公式分别求出sin2π3-α,cos(1)-1(2)-43[解析](1)原式=-tanα·cos2α(2)sin2π3-α=sinπ-π3+α=sinα+π3=-2变式题(1)AC(2)1[解析](1)因为x∈π2,π,所以x+π4∈3π4,5π4,又sinx+π4=-55,所以x+π4∈π,5π4,所以cosx+π4=-1-sin2x+π4=-255,故A正确;tanx+5π4(2)原式=sin(-3×360°+9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(270°-9°)+tan(360°+225°)=sin9°cos9°+sin9°(-cos9°)+tan(180°+45°)=tan45°=1.例5[思路点拨](1)利用诱导公式和tanα=sinαcosαtanα=sinαcosα,将sin2α-3sinαcosα=sin2α-3sinαcosαsin2α+cos2α化为关于tanαtanθ=-13,再利用同角三角函数的基本关系求出sinθ,进而得解解:(1)由题意知f(α)=(-cos(-cosα)·si(2)由(1)得tanα=2,所以sin2α-3sinαcosα=sintan2α-3tan(3)由(1)得tanα+π3=3,令α-π6=θ,则α=θ+π6,则tanα+π3=tanθ+π2=sinθ+π2cos所以cosθ=-3sinθ,代入sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=±1010,故sinα-π6的值为变式题(1)B