全品高考备战2027年数学一轮学生用书08第19讲导数与不等式第2课时利用导数证明不等式【正文】听课手册_第1页
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/第2课时利用导数证明不等式/构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数的单调性、极值、最值加以证明.(1)求最值型证明不等式:证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x),求其最值即可;(2)主元思想证明不等式:对于多元不等式的证明,可以选择其中一个元为主元,其他的元统统视为参数(常数),构造主元函数,利用导数来证明;(3)构造双函数证明不等式:若直接构造函数求导,难以判断符号,导函数的零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.求最值型证明不等式例1[2025·山东烟台模拟]已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+a.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a<0时,f(x)≤-2a-2+

总结反思求最值型证明不等式一般分下面两种情况:(1)先构造再证明,即先直接利用左减右构造函数h(x)=f(x)-g(x),再证明h(x)>0(或h(x)<0)在区间D上恒成立;(2)利用端点效应构造证明,即先求出其中一个函数的最大值f(x)max,再证明f(x)max≤g(x),证明时可以构造函数h(x)=f(x)max-g(x).变式题已知函数f(x)=cosx+xsinx,x∈(-π,π).(1)求f(x)的单调区间和极小值;(2)证明:当x∈[0,π)时,2f(x)≤ex+e-x.

主元思想证明不等式例2[2024·全国甲卷]已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a≤2,证明:当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.

总结反思根据条件,巧妙地利用a的范围进行放缩,消去一个“元”,大大简化了问题的难度.选取适当的字母作为主元,往往可以起到化难为易的作用.变式题已知函数f(x)=(ax2+2ax+1)ex-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a≤-17,求证:当x≥0时,f(x)<0

构造双函数证明不等式例3设函数f(x)=aexlnx+bex-1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)>1.

总结反思当通过参变分离得到的函数直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行变形,构造两个都便于求导的函数,即转变为两个函数之间最值的比较,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的.变式题[2025·苏州模拟]已知函数f(x)=eln(x-1)-a

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