全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第57讲随机抽样【正文】听课手册

第九单元统计第57讲随机抽样【课标要求】1.知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.

2.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.

3.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.

4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.1.总体、个体与样本(1)总体与样本的概念:调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为,简称样本量.

(2)总体与样本的均值总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则总体均值Y==.

从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则样本均值y==.

2.简单随机抽样(1)抽取方式:逐个不放回地抽取.(2)每个个体被抽到的概率相等.(3)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法.(4)适用条件:个体间差异不大,抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于个体数较多的情况.(5)实施注意点:抽签法的关键是;随机数法要注意剔除的编号.

3.分层随机抽样(1)概念:按一个或多个变量把总体划分成,每个个体属于且仅属于一个子总体(层),在每个子总体(层)中独立地进行抽样,再把所有子总体(层)中抽取的样本合在一起作为总样本.

(2)适用条件:从某一个变量的角度看,个体间差异大,根据该变量分层后,每一层内个体差异不大.(3)实施注意点:为保证样本的代表性,常用比例分配的分层随机抽样:某层个体数总体个体数=该层入样个体数(4)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为x1,方差为s12;第二层的样本量为n2,均值为x2,方差为s22.则总的样本均值x=分层随机抽样方差公式还可以为s2=n1n1+n2(s12+x12-x常用结论在比例分配的分层随机抽样中,总体数是N,样本容量为n,每一层的总体数分别是N1,N2,…,Nm,每一层中抽取的样本数分别为n1,n2,…,nm,则满足关系:①nN=n1N②n1∶n2∶…∶nm=N1∶N2∶…∶Nm;③n1=nN1N,…,nm题组一常识题1.[教材改编]完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标.此调查宜采用的抽样方法是.②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.此调查宜采用的抽样方法是.

2.[教材改编]某学校有教师200人,男学生1600人,女学生1200人.现用比例分配的分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,若女学生一共抽取了60人,则n的值为.

3.[教材改编]高二年级有男生490人,女生510人,张华按性别进行分层,采用比例分配的分层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.如果样本量为100,那么估计高二年级全体学生的平均身高为.(结果保留1位小数)

题组二常错题◆索引:不了解总体与样本的概念;不理解简单随机抽样中每个个体入样是等可能的;比例分配的分层随机抽样中找不准比例标准.4.为确保食品安全,某市质检部门检查1000袋方便面的质量,抽查总量的2%.在此次检查中,总体是指,个体是指,样本是指,样本容量为.

5.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中抽取一个样本量为2的样本,某一个个体a“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是、、.

6.某学校高二年级选择“物化生”“物化地”和“物化政”组合的同学人数之比为5∶2∶3.现采用比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取n位同学进行某项调查研究,若“物化地”组合中选出的同学人数为60,则n=.

简单随机抽样例1(1)(多选题)下列抽样方法是简单随机抽样的有 ()A.从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动B.从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验C.某班45名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动D.中国福利彩票30选7,得到7个彩票中奖号码(2)利用简单随机抽样的方法,从n(n>15)个个体中抽取15个个体,若第二次抽取时,每个个体被抽到的概率为14,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为总结反思(1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况);(2)简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的.变式题(1)总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成,从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下,则选出来的第5个个体的编号为 ()660658615435024235489621143252415248A.54 B.14C.21 D.32(2)用抽签法从学号为1到50的50名学生(其中含学生李华)中不放回抽取5名学生进行问卷调查,每次抽取一个号码,共抽取5次,设李华第一次被抽到的概率为a,第五次被抽到的概率为b,则 ()A.a=150,b=110 B.a=150,C.a=110,b=146 D.a=110,分层随机抽样角度1比例分配的分层随机抽样例2(1)[2025·山东青岛、淄博检测]某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究,按区域划分为核心区、开发区、远郊区,各区的人口比例为2∶3∶4.现采用比例分配的分层随机抽样方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区抽取的人数为300,则从核心区抽取的人数为 ()A.90 B.120 C.180 D.200(2)某商场开通三种平台销售商品,五一期间这三种平台的数据如图①所示.该商场为了解消费者对各平台销售方式是否满意,用比例分配的分层随机抽样方法抽取了6%的顾客进行调查,得到的数据如图②所示,则下列说法正确的是 () A.样本中对平台一满意的消费者人数为700B.样本中对平台二满意的消费者人数为20C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60D.若样本中对平台三满意的消费者人数为120,则m=90%总结反思进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时,常用到以下两个关系:第1层第2层…第k层总计总体数N1N2…NkN样本数n1n2…nkn(1)n1N1=n2N(2)n1∶n2∶…∶nk=N1∶N2∶…∶Nk.变式题(1)(多选题)[2025·重庆一诊]某科研院所共有科研人员200人,统计得到如下数据:单位:人性别研究学科合计数学物理化学生物女1510243180男45401817120合计60504248200欲了解该科研院所科研人员的创新能力,决定抽取40名科研人员进行调查,那么 ()A.若按照研究学科进行分层随机抽样(比例分配),则数学学科科研人员被抽取12人B.若按照性别进行分层随机抽样(比例分配),则男性科研人员被抽取20人C.若采用简单随机抽样,则女性科研人员一定被抽取了10人D.若采用简单随机抽样,则可能抽出的均为数学学科科研人员(2)某校高三年级学生共有2000人,其中男生1200人,女生800人,某次考试结束后,学校按性别分层,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,已知样本中男生人数比女生人数多8,则n=.

角度2比例分配的分层随机抽样的样本均值与样本方差例3(1)某中学高二(1)班共有50名同学,其中男生30名,女生20名,采用比例分配的分层随机抽样方法,从全班学生中抽取20人测量其身高(单位:cm).已知在抽取的样本中,男生的平均身高为acm,女生的平均身高为bcm,由此估计该班全体学生的平均身高为 ()A.a+b2cm BC.2a+3b5cm (2)为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量,按年级分层,采用比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一年级学生25人,其每周阅读课外书籍数量(单位:本)的均值为3,方差为3.2;抽取高二年级学生25人,其每周阅读课外书籍数量(单位:本)的均值为2,方差为2.3.则该校高一、高二年级学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是.

总结反思比例分配的分层随机抽样中的有关计算(1)抽样比=该层抽取的个体数该层的个体数(2)在比例分配的分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为x,方差为s12,第二层的样本量为n,平均值为y,方差为s22,则样本的平均值z=mx+nym+n,方差s2=1m+n{m[s12+(x变式题(1)为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学,某地区教育局对该地区的A,B,C三所高中的高二年级学生进行了抽样调查,采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试,其中A校、B校、C校的学生人数分别为300,500,200,考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计,得知A,B,C三所学校