2026高考数学复习高效培优专题01 集合与常用逻辑用语、复数（高频考点专练）（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语、复数

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）

题型一集合关系与最值问题（）

题型二集合的新定义问题（）

题型三充要关系的判断（）

题型四由充要关系求参数（）

题型五复数的概念与运算（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

在高考中高频出现的考点及高考核心要求，必备知识体系如下：

1.集合：运算为核，规范为基

核心运算：熟练掌握元素与集合的从属关系（、）、集合间的包含关系（、、），以及交

集（∩）、并集（）、补集（ᵤA）的代数运算∈与∉图形求解法——数轴法（适⊆用于⊇数⫋集运算，如专

练中不等式解集的∪交并补）、V∁enn图法（适用于有限集计数，如专练中元素个数计算）。

符号规范：避免基础失误，如空集的表示（不可写为{}）、区间端点的虚实（如x≥2表示为[2,+∞)）、

补集运算的全集限定（需明确U的∅范围）。∅

专练适配点：重点掌握“集合与不等式融合”题型（如专练中含一元二次不等式、绝对值不等式的集

合运算），这是高考最高频的命题载体。

2.常用逻辑用语：聚焦关联，强化推理

核心判断：充要条件判断为绝对核心（占该部分80%分值），需掌握“集合映射法”（小集合推大集

合，如AB则A是B的充分条件）和“反例法”（否定必要性常用），且必须结合主干知识（如专

⊆

练中与函数单调性、不等式成立的结合题型）。

命题否定：精准掌握全称量词命题与存在量词命题的否定规则

xM,pxxM,px

——“改量词、否结论”，避免否定时只改结论不改量词的错误（如专练中命题否定辨析题）。

隐性逻辑：关注“逻辑与不等式恒成立”的融合（如专练中“不等式恒成立的充要条件”题型），这是

近年隐性考查的重点。

3.复数：运算为纲，兼顾意义

基础运算：四则运算中除法为绝对重点（5年5考），必须掌握“分母实数化”技巧（分子分母同乘

分母的共轭复数）；加法、减法、乘法运算遵循多项式运算法则，注意i²=-1的化简。

核心概念：明确复数（）的实部（）、虚部（）、模（）、共轭复数（）

a+bia,bRaba2b2a-bi

∈

的定义，能根据概念求解参数（如专练中“复数为实数、纯虚数的条件”题型）。

几何意义：掌握复数与复平面内点（a,b）、平面向量的对应关系，能解决“复数模的几何意义”题型

（如求|z-1+2i|的最小值，即点到(1,-2)的距离），这是近年上升趋势考点。

2026高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026年主

要考向；

常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；

复数侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……

1.核心技巧方法：锚定应用，破解创新

集合：以交并补运算为基础，熟练运用数轴法（数集运算）、Venn图法（有限集计数）；重点突破跨

模块应用（如结合函数定义域、概率统计元素计数），应对新定义题型时紧扣“定义本质+举例验证”核心技

巧。

常用逻辑用语：充要条件判定优先用“定义法+集合法”（小集合推大集合），复杂场景需结合函数单调

性、数列通项等主干知识化简命题；全称/存在量词命题否定严格遵循“改量词、否结论”规则。

复数：聚焦除法“分母实数化”核心运算，兼顾乘法、加减法的多项式化简规则；提升几何意义应用能力

（复平面点与向量对应），强化概念与运算的衔接（如由实虚部条件求参数）。

2.易错避坑指南：精准规避，提升效率

集合：避免空集遗漏（如含参数集合包含关系讨论）、区间端点虚实混淆（如x>2与x≥2的表示）、

补集运算忽略全集限定；运算结果需用规范集合符号表示，不可直接写不等式。

常用逻辑用语：严防充分与必要条件颠倒（可通过“谁推谁”明确）、命题否定漏改量词（如“x”误改

为“x”却不否结论）；恒成立问题需挖掘隐性逻辑关系。

∀

复数：明确虚部是“实数b”（非bi），模的计算需化简为最简二次根式；几何意义应用时准确对应复平

∃

面点坐标（a+bi对应(a,b)）。

题型一集合关系与最值问题结合

方法点拨：看到A∩B=需转化为两集合无公共元素，数集用数轴分析，点集结合函数图像，含参数

时优先验证空集和区间端点

∅

【典例01】（2025·福建厦门·三模）已知集合Axe2xax，Bxx2x0，若AB，则a的

取值范围是（）

2

A．,2B．,2eC．,4D．,e

【分析】先解一元二次不等式求出集合B，然后由AB可得在x(0,1)时，e2xax恒成立，将问题

e2x

转化为求f(x)在(0,1)上的最小值，从而可求出a的取值范围.

x

【详解】由x2x0，得x(x1)0，解得0x1，

所以Bxx2x0x0x1，

因为Axe2xax，AB，

e2x

所以当x(0,1)时，e2xax恒成立，即a恒成立，

x

2x2x2x1

e2exe2x

令f(x)，x(0,1)，则2xe(4x1)，

xf(x)

x2xx

11

当0x时，f(x)0，当x1时，f(x)0，

44

11

所以f(x)在0,上递减，在,1上递增，

44

1

2

1e4

所以f(x)minf()2e，

41

4

所以a2e，即a的取值范围是,2e.故选：B

x

【典例02】（2025·山东济南·二模）已知集合Ax,yye,xR，Bx,yyxa,xR，AB

有且只有2个子集，则实数a（）

A．eB．1C．1D．e

x

【分析】构造函数gxex，根据aexx只有一个实数根即可求解.

xx

【详解】令exxa，则aexx，记gxex，则gxe1，

当x0,gx0,gx在0,单调递增，当x0,gx0,gx在,0单调递减，

且当x,gx,x,gx，g01,

因此aexx只有一个实数根时，则ag01，

由于AB有且只有2个子集，则AB只有一个元素，故ag01，

故选：C

a

【变式01】（25-26高三上·安徽合肥·期末）已知关于x的方程ex的解集有2个子集，则a的取值范

x1

围是（）

111

A．,0B．0,C．0,D．0,

e2e2e2

【答案】D

【分析】首先根据集合的子集个数确定方程解的个数，再通过分析函数图像的交点情况来确定参数a的取值

范围.

a

【详解】因为关于x的方程ex的解集有2个子集，

x1

a

所以方程exx1恰有一个实数解，

x1

即x1exax1恰有一个实数解，

令fxx1exx1，

则直线ya与函数yfx的图象有一个交点，

又因为fxx2ex，

所以当x,2时，fx0恒成立，fx单调递减；

当x2,1时，fx0恒成立，fx单调递增；

当x1,时，fx0恒成立，fx单调递增；

1

所以当x2时，函数yfx取得最小值，最小值为f2，

e2

且当x1时，fx0，当x1时，fx0，

作出函数yfx的图象，如图所示：

1

由此可得当a或a0时，直线ya与函数yfx的图象有一个交点，所以a的取值范围是

e2

1

0,．

e2

故选：D

2

【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）已知a0且a1，若集合Ax2xlogax，

1

Bxylnxlnx，且AB，则实数a的取值范围是（）

2

1111

A．0,1,e4eB．0,e4e,

44

1111

C．,11,e2eD．,1e2e,

44

答案：B

【分析】求出集合B，再由给定条件，对a分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函数

最小值求解作答.

12

【详解】依题意，B{x|0x}，Ax|2xlogax，且AB，

2

2

当0a1时，作出函数y2x与ylogax的大致图象，

2

11111111

则，即2，所以2，即；

2logalogalogaaa0a

222224

2

当a1时，设f(x)2xlogax，

若0x1，logax0，则f(x)0恒成立，A，满足AB，

于是当a1时，AB，当且仅当A，即不等式f(x)0对x(0,)成立，

1111111

f(x)4x，由f(x)0得x，当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

xlna2lna2lna2lna

1111

则函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增，

2lna2lna

111111ln(4lna)

所以f(x)f()log，

min2lna2lna2a4lna2lna2lna

1ln(4lna)11

于是得0，即1ln(4lna)0，变形得lna，解得4e，

2lna2lna4eae

1

从而得当时，恒成立，，满足；

ae4ef(x)0AAB

11

综上，实数a的取值范围是0a或4e.故选：B.

4ae

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决

问题.

【变式03】已知集合Axxxm0，Bx3x1xm10，CAB，若集合C有3个真子

集，则实数m的值可能为（）

1133

A．B．C．D．

2342

【答案】C

【分析】由集合C有3个真子集可得B中有两个不同的元素，故求出m的范围后可得正确的选项.

【详解】因为C有3个真子集，所以C中有2个元素，故B中有两个元素，

11

m0

33

1

故B,m1且BA，则m12m10，

3

1

m1

3

12

解得m1且m.

23

故选：C.

题型二集合的新定义问题

方法点拨：新定义问题关键是"翻译"定义，把抽象表述转化为熟悉的集合关系或几何意义，可通过

特殊值、举例验证辅助理解

【典例01】（2025·上海·三模）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a,bE,t0,1，均有

ta1tbE，则称集合E是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（）

A．x,y∣yexB．x,y∣ylnx

C．x,y∣x2y10D．x,y∣x2y21

答案：B【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.

【详解】设OAa，OBb，OCta1tb，则C为线段AB上一点，

因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，

四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：

AB

CD

观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的.

故选：B

【变式01】（24-25高三上·浙江·月考）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意

思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言

行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.

【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；

又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，

综合知“身正”是“令行”的充要条件，

故选：C．

【变式02】（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这

些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为2,3,4的“同族函数”包含的函数个数为（）

A．3B．6C．9D．27

【答案】D

【分析】已知函数的值域取值情况结合题目条件求出函数定义域取值的集合，再由集合非空子集个数及分

步计数求“同族函数”个数即可得．

【详解】由题可知yx2的值域为2,3,4，则x2或3或2，

结合“同族函数“的定义，

则函数定义域分别从2,2,3,3,2,2中各取至少一个数，

所以共有22122122127种．

故选：D

【变式03】（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是

的中心，集合，则的取值范围为（）

P1P2P3SPPD,PP0PPi,i1,2,3P1P2P1P

315

A．3,15B．,C．2,12D．1,6

22

【答案】B

【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解.

【详解】如图，设A,B,C,D,E,F为各边三等分点，

根据等边三角形可知，BE,AD,CF相交于中心点P0，

根据等边三角形可知：四边形P1AP0F是菱形，

则由菱形的对角线互相垂直平分可得：AF是线段P1P0的垂直平分线，

所以当点PP0PP1时，动点P一定在AF上，

同理可得：动点P一定在BC上，动点P一定在ED上，

所以当PP0PPi，i1,2,3时，结合点P在三角形的内部，

可得集合S为正六边形ABCDEF及其内部区域，

π33

所以当P与F重合时，PPPP31cos，即可取到最小值，

121322

2π315

当与重合时，，

PCP1P2P1PP1P2P1CP1P2P1P2P2C3331cos9

322

15

即可取到最大值.

2

故选：B.

题型三充要关系的判断

方法点拨：先化简前后两个命题（转化为集合或函数条件），优先用"小集合推大集合"的集合法，

否定条件常用反例法

【典例01】（2025·湖北黄冈·二模）设abc0，“曲线ax2by2c为椭圆”是“ac0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据ac0判断必要性是否成立，进而确定“曲线

ax2by2c为椭圆”与“ac0”之间的条件关系.

x2y2

1

【详解】若曲线ax2by2c为椭圆，则椭圆的标准方程为cc（ab）.

ab

cc

因为椭圆中分母须大于0，所以0且>0，又因为abc0，那么ac0且bc>0，所以由“曲线ax2by2c

ab

为椭圆”可以推出“ac>0”，充分性成立；

当ac>0时，比如ab1，c1，此时曲线方程为x2y21，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“ac>0”

不能推出“曲线ax2by2c为椭圆”，必要性不成立；

所以“曲线ax2by2c为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件.

故选：A.

1x2

【变式01】（2025·北京门头沟·一模）“k”是“直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点”的

24

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算,即可得到k

的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.

ykx3

2222

【详解】法一：由题意，联立方程x2可得14kx24kx36k40，

y21

4

1

当14k20时，即k时，方程有一解，即只有一个公共点；

2

当14k20时，80k2160，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.

x21

所以，直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点时，k.

42

1x2

所以“k”是“直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点”的充要条件.

24

法二：因为直线ykx3过定点D3,0，双曲线的右顶点为A2,0，如图，

1

根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线yx平行时，直线与双曲线只有交点.

2

1x2

所以“k”是“直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点”的充要条件.

24

故选：C.

【变式02】.（2025·江西萍乡·三模）记x，y为实数，设甲：yx0；乙：xcosyycosx，则甲是乙

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】构造函数fxxcosx，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据fxfy可得必要

性.

【详解】令函数fxxcosx，求导得fx1sinx0，故fx在R上单调递增，

由yx0，得fyfx，即xcosyycosx，即充分性成立；

由xcosyycosx，得xcosxycosy，即fxfy，可得yx，故必要性不成立，

综上可知，甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

π3π

【变式03】.（25-26高三上·江西赣州·期中）“a1”是“函数fxaxsinx在区间,上单调递增”的

44

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

π3π

【分析】先根据函数fxaxsinx在区间,上单调递增可得fxacosx0恒成立，进而求得

44

2

a，再根据充分、必要条件的定义判断即可.

2

π3π

【详解】由函数fx在区间,上单调递增，

44

则fxacosx0恒成立，即acosx恒成立，

π3π222

因为x,，所以cosx,，则a.

44222

π3π

所以“a1”是“函数fxaxsinx在区间,上单调递增”的充分不必要条件.

44

故选：A

题型四由充要关系求参数

方法点拨：先将充要关系转化为集合包含关系（必要不充分q对应集合p对应集合），列不等式组

时注意端点虚实，避免遗漏空集情况⇨⊆

x

,x2,

【典例01】（2025·黑龙江·一模）已知函数fxxm，gx2x若p:fx是

且

logax1,x2a0,a1,

0,上的增函数，q:gm0，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

11

A．0,11,2B．0,12,C．,11,2D．,12,

22

【答案】B

【分析】由集合的包含关系，分类讨论m≥2时，logam1的解集即可求解；

【详解】p:fx是0,上的增函数，得m0，

考虑q:gm0

m

当m2时，gm0等价于0得：0m2.

2m

当m≥2时，gm0等价于logam1，

当0a1时，由logam1，可得：ma，又m≥2，此时解集为，

也即gm0的解集为0,2符合题意；

当1a2时，由logam1，可得：ma，又m≥2，此时解集为2,，

也即gm0的解集为0,，不符合题意；

当a2时，由logam1，可得：ma，又m≥2，此时解集为a,，

也即gm0的解集为0,2a,，符合题意；

综上可知：a的取值范围是0,12,.

故选：B

【变式01】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合Ax∣x2m22m1x2m3m20，集合

1

Bx2x16，若xB是xA的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）

32

A．[2,2]B．(2,2]

C．[2,2)D．(2,2)

【答案】B

【分析】解不等式，确定集合B，通过讨论m的范围，确定集合A，根据题意推出集合A是集合B的真子

集，由此列出不等式组，即可求得答案．

【详解】由题可知Bx∣5x4，A{x|(xm2)(x2m1)0}，

若m1，则A{1}，

若m1时，则Ax∣2m1xm2.

因为xB是xA的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集，显然m1时成立，

52m1

当m1时，则2，且这两个不等号不能同时取到，故解得2m2且m1，

m4

综上所述：m(2,2].

故选：B.

【变式02】.（2025·江西萍乡·三模）记x，y为实数，设甲：yx0；乙：xcosyycosx，则甲是乙

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】构造函数fxxcosx，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据fxfy可得必要

性.

【详解】令函数fxxcosx，求导得fx1sinx0，故fx在R上单调递增，

由yx0，得fyfx，即xcosyycosx，即充分性成立；

由xcosyycosx，得xcosxycosy，即fxfy，可得yx，故必要性不成立，

综上可知，甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

题型五复数的概念与运算

方法点拨：复数模长问题优先用几何法（转化为复平面内点的距离），求参数时先将复数化为标准形

式，避免混淆虚部（虚部是实数b而非bi）

【典例01】（2025·湖北黄冈·一模）已知zC，且z11，i为虚数单位，则z2i的最大值是（）

A．51B．51C．2D．5

【答案】A

【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求z2i的最大值即可.

【详解】z11表示以C1,0为圆心，r1为半径的圆，

则圆心C到点M0,2的距离d22125，

则z2i的最大值为dr51.

故选：A

【变式01】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足z3i1（i为虚数单位），则z的最大值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果.

【详解】设zxyix,yR，若z满足z3i1，即x3y1i1，

2222

所以x3y11，即x3y11，

则点x,y在以3,1为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，

2

又圆心到坐标原点的距离为3122，所以z的最大值为213，

故选：C．

【变式02】．函数f(x)x3(k1)x2(k5)x2在区间(0,3)上单调递减的必要不充分条件是（）

A．k(,2]B．k(5,2)C．k(5,1)D．k(2,1)

【答案】A

【分析】利用导数求出函数f(x)x3(k1)x2(k5)x2在区间(0,3)上单调递减的等价条件为

k,5，再根据包含关系判断即可.

【详解】函数f(x)x3(k1)x2(k5)x2，

求导得f'(x)3x22(k1)x(k5)，

函数f(x)x3(k1)x2(k5)x2在区间(0,3)上单调递减，

等价于f'(x)3x22(k1)x(k5)0在区间(0,3)上恒成立，

f(0)k50

则，等价于k,5，

f(3)7k260

(5,2)与,5，(5,1)与,5，(2,1)与,5不具有包含关系，

所以k(5,2)，k(5,1)，k(2,1)不是函数f(x)x3(k1)x2(k5)x2在区间(0,3)上单调递减的

必要不充分条件，

因为,5是(,2]的真子集，所以(,2]是函数f(x)x3(k1)x2(k5)x2在区间(0,3)上单调

递减的必要不充分条件，

故选：A.

32

【变式03】.（25-26高三上·安徽·月考）设函数fxxaxbxa,bR，则“a23b”是“fx有三个

不同的零点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先证a23b是fx有三个不同零点的必要条件，再举特例说明a23b不是fx有三个不同零点

的充分条件.

【详解】因为fxx3ax2bx.所以fx3x22axb，x,

因为fx有三个不同的零点，fx必有两个极值点，

所以fx3x22axb0有两个不同的根，

所以4a212b0，所以a23b，

又因为fx有两个极值点，但fx的两个极值不一定异号，

2

例如ab4时，a23b，fxx34x24xxx2，此时fx只有两个不同零点，

所以a23b是fx有三个不同零点的必要不充分条件；

故选：B.

（限时训练：15分钟）

11

1．（2025·浙江·一模）已知正数a,b，则“lnalnb”是“ab”的（）

ab

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及对数函数的性质判断即可.

【详解】若lnalnb，则ab，

11

从而ab，

ab

11

因此“lnalnb”是“ab”的充分条件；

ab

11

若ab，

ab

化简得abab10，

即ab或ab1，

即lnalnb或者lnalnb0，

11

因此“lnalnb”是“ab”的不必要条件.

ab

故选：A.

2．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程x2y22mx2y50表示的曲线是圆”是“m2”

的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可.

【详解】x2y22mx2y50化成标准方程(xm)2(y1)2m24，

所以m240，解得m2或m2，

因为m2或m2推不出m2，m2可以推出m2或m2，

所以方程x2y22mx2y50表示圆是m2的必要不充分条件.

故选：B.

1

3.（2025·广西河池·三模）“x,2，a4x0”的一个充分不必要条件可以是（）

2

A．a4B．a16C．a16D．a2

【答案】A

【分析】根据存在性问题的求解方法求得a的范围，进一步判断即可.

【详解】不等式a4x0可化为:a4x,

1

x,2时，24x16，所以a16，

2

故a4是a16的一个充分不必要条件，其他选项不合题意.

故选：A.

11

4．（2025·天津·一模）设a0,b0，则“ab1”是“8”的（）

a2b2

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断．

【详解】a0,b0，若ab1，

11(ab)2(ab)22a2ba2b22a2ba2b2

则22228，

a2b2a2b2bab2a2bab2a2

1

当且仅当ab时等号同时成立，充分性满足，

2

11111

若8，ab1不一定成立，例如a1，b时，8，

a2b24a2b2

但ab1，必要性不满足，

故选：B．

ax4,x5

（湖南湘潭一模）已知函数，数列满足，*，则

5.2025··fx2ananfnnN“an

x2ax19,x5

为递增数列”是“4a5”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】B

ax4,x5

【分析】已知函数，数列满足*，结合分段函数的性质讨论，

fx2ananfn,nN

x2ax19,x5

77

若a为递增数列，则a5，与4a5矛盾，不满足充分性；若4a5，满足4a5，可以

n22

推出an为递增数列，故满足必要性，所以“an为递增数列”是“4a5”的必要不充分条件.

ax4,x5

【详解】已知函数，数列满足*

fx2ananfn,nN.

x2ax19,x5

充分性：

①*

若an为递增数列，则对于所有nN，满足an1an，即fn1fn.

当n5时n1,2,3,4，fn1fn2a2n10成立，即

3

n1：2a30a，

2

5

n2：2a50a，

2

7

n3：2a70a，

2

n4：需要满足f4f5，即428a19a54a5，

当n5，fnan4，要使fn在n5时单调递增，则a1.

7

综上，若数列a递增，则a5，

n2

所以“数列an递增”不能推出“4a5”，不满足充分性.

必要性：

77

若②4a5，则4a5，由知当a5时a为递增数列，

22n

①

所以“4a5”能满足“数列an递增”，

即“数列an递增”是“4a5”的必要条件.

所以“an为递增数列”是“4a5”的必要不充分条件.

故选：B.

6.（2025·河北秦皇岛·一模）已知0，集合Axx25x60,Bxxx20，若xA是

xB的必要不充分条件，则的取值范围为（）

A．0,3B．0,3C．0,2D．0,2

【答案】B

【分析】由题意得到B是A的真子集，比较区间端点，即可求解.

【详解】Axx25x60x1x6，

Bxxx20xx2，

因为xA是xB的必要不充分条件，

所以B是A的真子集,

1

可得，等号不同时成立，结合0，解得03，

26

所以的取值范围为0,3，

故选：B

22

7.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知p:“x2m3xm3m0”是q：“x2x60”成立的必要不充

分条件，则实数m的取值范围为（）

A．,53,B．,53,

C．5,3D．5,3

【答案】B

【分析】解二次不等式分别求出p和q的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可.

【详解】因为p:(xm)23xm，即xmxm30，

则xm或xm3,q:x2x60，即2x3，

又p是q的必要不充分条件，则m3或m32，即m3或m5.

则m的取值范围为,53,.

故选：B

8.（2025·广东·模拟预测）若复数z满足|