2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区高一下期末数学试卷

2019—2020学年度第二学期高一年级期末教学质量检测数学试卷合肥市第十一中学教科室命题中心命制（满分：150分考试时间：120分钟考试范围：必修三、必修五）温馨提示：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，組用2B铅笔把对应的准考证号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上．3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求．）1.设，，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球3.已知中，，，＝1，则等于()A.2 B.1 C. D.4.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A. B. C. D.5.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生6.内角、、的对边分别为、、.已知，，，则（）A. B. C. D.7.若关于的不等式的解集为，则等于（）A. B.1 C.2 D.38.等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则面积的最大值为（）A.8 B.4C.2 D.11.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A. B. C.5 D.612.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（）A.斗 B.斗C.斗 D.斗二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13.一组数据：3，4，6，7，10，其方差_____________．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.15.已知，之间的一组数据：24681537则与的线性回归方程必过点_____________．16.对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤．）17.已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.18.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．19.某校为“全国数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数具有复赛资格，该校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，估计获得复赛资格应划定最低分数线；（2）根据频率分布直方图，估计本次初赛的平均成绩．20.已知集合，．（1）在区间上任取一个实数x，求“”的概率；（2）设为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“”的概率．21.某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围；（2）当矩形温室长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．22.已知数列满足，其中．（1）若数列为等差数列，求实数m的值及的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．

2019—2020学年度第二学期高一年级期末教学质量检测数学试卷合肥市第十一中学教科室命题中心命制（满分：150分考试时间：120分钟考试范围：必修三、必修五）温馨提示：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，組用2B铅笔把对应的准考证号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上．3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求．）1.设，，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对A，时不成立；对B，时不成立；对C，正确；对D，时不正确，故选C.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.【详解】A.“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B.“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C.“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D.“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3.已知中，，，＝1，则等于()A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理直接求解即可【详解】由正弦定理故选D【点睛】本题考查正弦定理，是基础题4.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果.【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共个甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共个甲站在中间的概率：本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题.5.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．点睛】本题主要考查系统抽样.6.的内角、、的对边分别为、、.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可得出关于的二次方程，进而可求得的值.【详解】由余弦定理得，整理可得，，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.7.若关于的不等式的解集为，则等于（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由题可得和是方程的两个根，利用根与系数关系解出，进而得答案．【详解】解：由题意知，和是方程的两个根，则由根与系数的关系，得，解得，所以．故选D．【点睛】本题考查不等式以及根与系数关系，属于简单题．8.等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，有，故为确定常数，再利用，可得出选项.【详解】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质，有，故为确定常数，由等差数列前项和公式可知也为确定的常数，故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查对等差数列前项和公式的理解和运用.等差数列前项和公式有两个，在不同的已知条件下，要学会选择合适的公式的来求解.本小题属于中档题.9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当不满足条件时，退出循环，输出S＝，利用裂项相消法求和.【详解】，；第1次循环：不成立，，；第2次循环：不成立，，；第3次循环：不成立，，；…；第次循环：不成立，，；第次循环：不成立，，，此时成立，输出，故选D．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，涉及到裂项相消法求和的方法，属于基础题．10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则面积的最大值为（）A.8 B.4C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，反凑余弦定理求得，再用余弦定理，借助基本不等式求得的最大值，再利用面积公式即可求得结果.【详解】由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cosC＝＝＝．由C∈(0，π)，所以sinC＝．又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，当且仅当时，取得最大值.所以＝absinC≤×16×＝4．故Smax＝4．故选：B．【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求面积的最大值，属基础题.11.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．12.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（）A.斗 B.斗C.斗 D.斗【答案】B【解析】【分析】直接根据等比数列的求和公式求解即可．【详解】由题意可知，每人所得玉米数构成公比为的等比数列；且数列的前项和为；设首项为；则；∴.故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13.一组数据：3，4，6，7，10，其方差为_____________．【答案】6【解析】分析】由方差公式求解即可【详解】由题知，则故答案为：6【点睛】本题考查方差公式的使用，属于基础题14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.【答案】【解析】由正弦定理，得，结合可得，则.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.15.已知，之间的一组数据：24681537则与的线性回归方程必过点_____________．【答案】【解析】【分析】要求与的线性回归方程为必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出和的平均值，得到样本中心点，得到结果．【详解】解：，，本组数据的样本中心点是，与的线性回归方程为必过点.故答案为：.【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点.16.对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】分，，两种情况分类讨论，利用判别式法求解.【详解】当时，不等式为成立.当时，则有，解得.综上：.实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤．）17.已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.【答案】(1)(2)=2【解析】【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面积==,故=4，而故=8，解得=218.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19.某校为“全国数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，该校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，估计获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）根据频率分布直方图，估计本次初赛的平均成绩．【答案】（1）100分；（2）97.【解析】【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图求出的频率为0.35，的频率为0.3，由知：最低分数线在之间，进而求出中位数，即可估计出本次考试复赛资格最低分数线；（2）利用频率分布直方图计算出各组的频率，即可估计本次初赛的平均成绩．【详解】解：（1）由题意知的频率为：，由题意知的频率为：，由知：最低分数线在之间，设最低分数线为x，且．由得：，故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分．（2）由题意可知：初赛分数在区间，，，，，频率分别为：，，，，，，所以本次初赛的平均分为：．【点睛】本题考查频率分布直方图的频率、中位数、平均数的求法，考查解题分析和计算能力.20.已知集合，．（1）在区间上任取一个实数x，求“”的概率；（2）设为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“”的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先通过解不等式化简集合B，然后求出，从而利用几何概型概率公式求解；（2）首先列出所有的可能的结果，然后列出“”的所有可能的结果，从而利用古典概型概率公式求解．【详解】解：（1）由已知得：，故，设事件“”的概率为P，这是一个与长度相关的几何概型，求得；（2），由，，得：基本事件有，，，，，，，，，，，共12个．设事件E为“”，则事件E中包含基本事件：，，，，，，，，，共9个，事件E的概率．【点睛】本题考查几何概型和古典概型，属于中档题.求解几何概型与古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，关键是求得“事件包含的基本事件所占图形长度（面积或体积）”与“试验的基本事件所占的图形长度（面积或体积）”之比来表示．几何概型问题，常与其他几何知识结合，要注意相应知识的运用．21.某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（