2019-2020学年安徽省六安市舒城县舒城中学高二下期末文科数学试卷

舒城中学2019-2020学年度第二学期期末考试高二文数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.2.已知，且，则A. B. C. D.3.在下列四个命题中，①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；②若，则；③“”是“”的必要不充分条件；④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题，为假命题．正确个数为（）A.1 B.2 C.3 D.44.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A. B. C.4 D.25.已知，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C三点共线 D.三点共线6.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（）A.如果那么 B.如果,那么C.对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 D.对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立7.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. B. C. D.8.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（）A. B. C. D.9.双曲线，过虚轴端点且平行轴直线交于两点，为双曲线的一个焦点，且有，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.11.如图,三棱锥中,,,且,则三棱锥的外接球表面积为A. B. C. D.12.已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.14.已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，则这条直线的方程为______15.如图，正方体中，异面直线与所成角为__________．16.设椭圆的两个焦点是，过的直线与椭圆交于，若，且，则椭圆的离心率为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？，．18.记为等比数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.19.三棱锥中，分别为棱的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．20.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不过点、不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．21.己知函数．（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；（2）若方程的两个根分别为，求证：.22.在直角坐标系中，已知曲线：，将曲线经过伸缩变换得到曲线；以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线的极坐标方程；（2）若，分别是曲线上的两点，且，求证：为定值.23.己知函数（1）求不等式的解集；（2）若有解，求实数的取值范围.

舒城中学2019-2020学年度第二学期期末考试高二文数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求出，即可求得.【详解】由题：，所以=.故选：C【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于根据描述法表示的集合准确得出集合中的元素.2.已知，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可以先通过得出的值，再通过的取值范围得出是一个正值，最后得出结果．【详解】因为所以因为，所以是一个正值，所以，故选A．【点睛】在进行和的值的相互计算的时候，一定要考虑到计算结果的正负．3.在下列四个命题中，①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；②若，则；③“”是“”的必要不充分条件；④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题，为假命题．正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】根据充要条件的包含关系可知①正确.如，，故②错误.解得，与没有包含关系，故③错误.对于④，有可能为假命题，为真命题，故④错误.综上所述，只有个正确，故选.4.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A. B. C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列通项公式、前n项和公式列方程即可得解.【详解】数列为等差数列，，设数列的公差为，，解得.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题.5.已知，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可.【详解】因为,所以,因为,所以由平面向量共线定理可知,与为共线向量,又因为与有公共点,所以三点共线.故选:B【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（）A.如果,那么 B.如果,那么C.对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 D.对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立【答案】C【解析】【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,故选C【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题7.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；跳出循环，则输出的值为72，故选C.8.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设正方形边长为，则，故选A.9.双曲线，过虚轴端点且平行轴的直线交于两点，为双曲线的一个焦点，且有，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】令代入双曲线方程，解得，不妨设，依题意有，即，化简得.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查垂直关系的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法.题目中首先叙述了一条直线和双曲线相交与两点，所以我们根据题意，先求出这两个点的坐标，然后利用两个向量垂直，数量积为零建立方程，将方程化为离心率的形式即可求得离心率.10.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理求得代入已知等式可得，，可得，再利用正弦定理可得，消元得，然后根据锐角可得，利用三角函数值域的求法即可得到的取值范围，从而求得周长的取值范围.【详解】，，即，而，所以．由正弦定理可得，即有，所以．因为为锐角三角形，所以，解得，所以，即，，所以．故的周长的取值范围是．故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，以及利用三角函数值域求三角形中的范围问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.11.如图,三棱锥中,,,且,则三棱锥的外接球表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】∵面，面，∴，∵，，∴面，∵面，∴，取的中点，则，∴为球心，∵，∴，∴球半径为，∴该三棱锥的外接球的表面积为，故选B.12.已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对任意，不等式恒成立，即，参变分离，得，令，求函数在给定的区间上的最大值，解得．【详解】解：由题意，对任意，不等式恒成立，即，参变分离，得，令，则令解得可知在上递增，上递减，所以，故选B．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.【答案】5【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.14.已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，则这条直线的方程为______【答案】或【解析】【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解即可.【详解】圆心为，半径，弦长，设弦心距为d，则由勾股定理得.若斜率不存在，则直线方程为，圆心距直线距离为1，满足题意；若斜率存在，设直线方程为即，，，解得，直线方程为.故答案为：或【点睛】本题考查求直线方程，与圆相关的弦长问题，涉及点到直线的距离公式，属于基础题.15.如图，正方体中，异面直线与所成角为__________．【答案】【解析】分析】首先确定线面垂直，据此确定异面直线所成的角即可.【详解】如图所示，连结，由正方体的性质可知平面，则，底面为正方形，则，由于，直线在平面内，结合线面垂直的判断定理可得：平面，故，据此可得异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，异面直线夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.设椭圆的两个焦点是，过的直线与椭圆交于，若，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设椭圆由椭圆的定义可得，可得①

取的中点，连接，则

由勾股定理可得即为化简即为，可得：6a+6c=15a-5c

即则离心率即答案为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？，．【答案】(1)x﹣3；(2)可靠【解析】【分析】（1）由数据求出,代入求解,再求得,即可求出线性回归方程；（2）分别将和代入求出,判断即可【详解】（1）由表中数据,求得,,由公式,可得,,所以y关于x的线性回归方程为x﹣3（2）当x＝10时,10﹣3＝22,|22﹣23|＜2；同样,当x＝8时,8﹣3＝17,|17﹣16|＜2；所以,该研究所得到的回归方程是可靠的【点睛】本题考查求线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查运算能力18.记为等比数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前n项和.【答案】(1).；(2).【解析】【分析】（1）根据等比数列的基本量，列方程求解即可；（2）由（1）可知数列，再用错位相减法即可求前项和.【详解】（1）该数列的公比为，公比显然不等于零，根据题意可得：解得，故.（2）因为，故故两式相减可得：.【点睛】本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及用错位相减法求前项和，属综合基础题.19.三棱锥中，分别为棱的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用勾股定理有，利用等腰三角形中点，有，故平面，所以平面平面；（2）利用等体积法，，即，所以.试题解析：（1）由题意：，∵，∴，即．又∵在中，为的中点，∴．∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知平面，的面积为，又∵在中，，得，∴．∵，即，∴，∴点到平面的距离为．考点：1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法.20.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不过点、不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，说明不符合题意，故直线的斜率存在，设直线方程为与联立得，利用韦达定理转化求解，求解直线方程．法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为，与联立得，设，，利用韦达定理以及距离公式，转化求解即可．（2）设，，设直线方程为与联立得：，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线系方程，即可推出结果．【详解】解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，，此时，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线方程为与联立得，当时，方程只有一根，不符合题意，故.，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，所以方程为或.法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,与联立得，设，，，.，由，解得，所以方程为或.（2）设，，设直线方程为与联立得：，可得，.由得，即.整理得，即，整理得，即，即.故直线方程为过定点.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.己知函数．（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；（2）若方程的两个根分别为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由在上是减函数，可知对恒成立，然后分离参数得，所以只要即可；（2）由已知得，即，两式相减得，由知，设，可得，再利用导数研究其单调性可得结论【详解】（1）∵在上递减，∴对恒成立.