2019-2020学年安徽省马鞍山市高一下期末理科数学试卷

2019-2020学年安徽省高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.sincos＝（）A. B. C.1 D.2.等差数列中，，，则（）A B. C. D.3.已知，且，则（）A. B. C. D.4.在中，，，，则（）A.2 B. C. D.45.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（）A.1 B.﹣1 C.﹣3 D.﹣96.周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则（）A. B. C. D.7.已知数列的前项和为，则（）A.13 B.15 C.17 D.198.在中，，则（）A. B. C. D.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（）A.1 B.2 C.3 D.410.已知数列{an}满足a1＝，an+1＝，（n∈N*），则a2020＝（）A B. C. D.11.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（）A. B. C. D.12.如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A.13 B.14 C.15 D.16二、填空题（共4小题）.13.的值是___________14.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝_____.15.函数f（x）＝2sinx+3cosx的最小值为_____.16.在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则的面积为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a6＝16，S21＝441.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.18.已知，，其中（1）求的值；（2）求的值.19.在中，角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.20.已知数列，是其前项和，且满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和.21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求取值范围.22.已知数列{an}的前n项和Sn，满足a2＝﹣4，2Sn＝n（an﹣7）.（1）求a1和数列{an}的通项公式；（2）若bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.

2019-2020学年安徽省含山中学、和县中学高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.sincos＝（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查二倍角公式应用，属于基础题.2.在等差数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由等差中项的性质可得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，且，可以求出的值，结合两角和的正弦公式即可得到答案．【详解】因为，且，所以，则，，故，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，通过两角和的正弦公式求值计算，属于基础题4.在中，，，，则（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即可求出．【详解】因为，所以．由正弦定理可得，，即，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，已知两角及一边，解三角形，属于基础题．5.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（）A.1 B.﹣1 C.﹣3 D.﹣9【答案】C【解析】【分析】根据等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，分别求得a1，a2，a3，再利用等比中项求解.【详解】因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，则有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及前n项和公式，属于基础题.6.周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设三边长分别为，根据周长可求出，然后利用余弦定理求出，即可求出，利用和的正弦公式可求出.【详解】由题可设三边长分别为，因为三角形周长为9，，解得，所以三边长分别为2，3，4，由余弦定理可得，，同理，，.故选：D.【点睛】本题考查等差数列和余弦定理解三角形的综合应用，属于基础题.7.已知数列的前项和为，则（）A.13 B.15 C.17 D.19【答案】A【解析】【分析】利用即可得答案.【详解】，故选：【点睛】本题主要考查了求数列某项的值，属于基础题.8.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用降幂公式得，又由化简可得，所以，从而可得答案【详解】解：由，得，因为,所以,,，所以，因为，所以，所以，故选：B【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于基础题9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理求解.【详解】由余弦定理得bcosC+ccosB＝+＝＝a＝3，故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.10.已知数列{an}满足a1＝，an+1＝，（n∈N*），则a2020＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据递推式得出是周期为6的周期数列，进而可得结果.【详解】∵数列{an}满足a1＝+1，an+1＝，（n∈N*），∴a2＝＝﹣1，a3＝＝＝，＝＝，＝1，＝，＝＝，∴{an}是周期为6的周期数列，∵2020＝336×6+4，∴a2020＝a4＝.故选：D.【点睛】本题主要考查了由递推式求数列中的项，得到数列的周期是解题的关键，属于中档题.11.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题先用表示出，，，再在三角形、三角形中表示出、，最后建立方程求解即可.【详解】解：由题意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，，，，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，∴，解得：.故选：B.【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际求高度问题，是基础题.12.如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】第i行第j列的数记为Aij，先利用等差数列通项公式得到第一行第j列的数A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，再得到第i行第j列的数Aij＝（j+1）+（i﹣1）×j＝ij+1，然后令Aij＝ij+1＝145求解.【详解】第i行第j列的数记为Aij，那么每一组i与j的组合就是表中的一个数，因为第一行数组成的数列（j＝1，2…）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列（i＝1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij＝（j+1）+（i﹣1）×j＝ij+1，令Aij＝ij+1＝145，则ij＝144＝24×32，所以145出现的次数为（4+1）（2+1）＝15.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.二、填空题（共4小题）.13.的值是___________【答案】【解析】【分析】因为，利用两角差的正切公式即可求出结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.14.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝_____.【答案】24【解析】【分析】设从上向下每一层的灯的数记为{an}，根据相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，得到数列{an}是以2为公比的等比数列，然后根据一座7层塔共挂了381盏灯，利用S7＝381求解.【详解】根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{an}，则数列{an}是以2为公比的等比数列，且S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解得a1＝3，塔的最中间一层有n盏灯，则n＝a4＝a1q3＝24，故答案为：24【点睛】本题主要考查等比数列的定义和前n项和公式，通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.函数f（x）＝2sinx+3cosx的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】先利用辅助角法将函数转化为f（x）＝2sinx+3cosx＝sin（x+φ），其中tanφ＝，再利用正弦函数的性质求解.【详解】因为函数f（x）＝2sinx+3cosx＝sin（x+φ），其中tanφ＝，又函数x∈R，所以f（x）∈[]，所以f（x）的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及辅助角法的应用，属于基础题.16.在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则的面积为_____.【答案】【解析】【分析】设AD＝CD＝x，BD＝9﹣x，在中，利用余弦定理可得x＝6，再利用余弦定理求出cosB，进而求出sinB，根据三角形的面积公式即可求解.【详解】∵AB＞BC，∴C＞A，作CD＝AD，则∠DCA＝∠A，则∠BCD＝C﹣A，即cos∠BCD＝cos（C﹣A）＝，设AD＝CD＝x，则BD＝9﹣x，在中，由余弦定理得：BD2＝CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD，即（9﹣x）2＝x2+49﹣2×7x＝x2+49﹣，整理解得：x＝6，∴AD＝6，BD＝3，CD＝6，在中，由余弦定理得cosB＝＝＝.则sinB＝＝，则△ABC的面积S＝×7×9×＝12，故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a6＝16，S21＝441.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）.【解析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，根据a3+a6＝16，S21＝441，利用“”法求解.（2）由bn＝＝＝，利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{an}的公差为d，∵a3+a6＝16，S21＝441，∴，解得a1＝1，d＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1.（2）bn＝＝＝，∴Tn＝++……+，＝＝.【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知，，其中（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意计算，的值，再根据，即可得到答案.（2）首先根据得到，再根据即可得到.【详解】（1）因为及，所以因为，，所以，又，所以.所以所以.（2）.又，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19.在中，角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由正弦定理边角互化结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理可得出关于的二次方程，进而可求得的值.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，即,整理可得，，，则，又，因此，；（2）由余弦定理得，所以，即，，解得.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.20.已知数列，其前项和，且满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知，可知，相减后再构造即可得证.（2）先求出通项公式，利用乘公比错位相减即可得.【详解】（1）由得，，两式相减得，，即，所以，即，故数列为等比数列.（2）在中，令，得，所以，由（1）知数列的公比为3，所以，所以，所以，，两式相减得，，整理得：.【点睛】本题主要考查了由递推关系式利用定义证明数列是等比数列，以及乘公比错位相减求数列的和，属于中档题.21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理的变形式即可求出，从而得到角；（2）根据正弦定理可得，，将化成角的函数形式得，再根据第一问的结果可知，消元，然后利用两角和与差的正弦公式即可将函数式化成，最后利用三角函数的值域求法即可得到的取值范围．【详解】（1）由，得，由余弦定理得．又为的内角，所以.（2）由正弦定理得，即有，.