2019-2020学年江苏省苏州市虎丘区高二下期中数学试卷

高二数学期中考试正卷满分：150分时间：120分钟一、单选题：（共8题，每题5分）1.等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的加、减运算即可求解.【详解】.故选：B2.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）X0123PaA. B. C. D.【答案】A【解析】分析：离散型随机变量的各概率和为1，即可求出的值．详解：根据离散型随机变量概率分布的特征，所以求得所以选A点睛：本题考查了离散型随机变量分布列及其特征，主要是各概率和为1的应用，属于简单题．3.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【详解】∵，

∴对应的复数为：，

∴点对应的复数为．

故选D．【点睛】本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.，则方程表示的曲线不可能是（）．A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】D【解析】【分析】对的取值进行讨论即可得出结果.【详解】由方程，，当时，表示椭圆；当时，表示圆；当，表示双曲线.故选：D5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【答案】C【解析】【分析】【详解】解：由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．

故选：C．6.六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种【答案】C【解析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.7.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B．8.已知在上递增，则实数的范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】转化为导函数在给定区间上大于等于0恒成立，然后利用不等式恒成立的意义和二次函数的性质得解.【详解】由已知可得在上满足，即在上恒成立，由于在上的最小值为时取得，最小值为3，，故选：D.【点睛】本题考查利用导数判定函数的单调性问题，属基础题，关键是将函数的单调性问题转化为导数在给定区间上大于等于0恒成立问题.二、多选题：（共4题，每题5分，多选或错选不给分）9.已知双曲线上的点到和的距离之差的绝对值为，则下列结论正确的是（）A.的标准方程为 B.的渐近线方程为C.的焦点到渐近线的距离为 D.圆与恰有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】根据定义求出曲线的标准方程，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程，可判断B选项的正误；求出的焦点到渐近线的距离，可判断C选项的正误；联立圆与曲线的方程，求出交点个数，可判断D选项的正误.【详解】根据双曲线的定义，，，得，，所以的方程为，A正确；双曲线C的渐近线为，B错误；双曲线的一个焦点为，到渐近线的距离为，C正确；联立，解得，圆与恰有个公共点，D错误.故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义、渐近线、以及圆与双曲线的公共点个数问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.10.如图是导数的图象，对于下列四个判断,其中正确的判断是（）A.在上是增函数；B.当时，取得极小值；C.在上是增函数、在上是减函数；D.当时，取得极小值.【答案】BC【解析】【分析】根据图像得到，时，函数单调递减，，时，函数单调递增，再依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故错误；故当时，取得极小值，正确；正确；当时，不是取得极小值，错误；故选：.【点睛】本题考查了根据导函数图像判断函数单调性，极值，意在考查学生的应用能力和识图能力.11.若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论【详解】解：直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题12.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的是（）．A.与平面所成角的大小为； B.是等边三角形；C.与所成的角为； D.二面角为．【答案】BC【解析】【分析】根据题意可判断与平面所成角为，是等边三角形，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解异面直线所成角与二面角即可.【详解】由题意设对角线交点为，则，所以平面，所以，又，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，A.与平面所成角为，，故A错误；B.因为，所以是等边三角形，故B正确；C.，所以，又因为与所成的角为锐角，所以与所成的角为，故C正确；D.，设平面的法向量为，则，即，所以；设平面的法向量为，则，即，所以；所以，所以二面角不为，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了立体几何中线面角，线线角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量或者直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解，同时需要注意各个角的范围.三、填空题：（共4题，每题5分）13.已知函数，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得：，代入自变量的值求解的值即可.【详解】由题意可得：，则.故答案为．【点睛】本题主要考查复合函数求导法则，导数的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.如果，那么等于______.【答案】8【解析】【分析】抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，故，由此易得弦长值．【详解】解：由题意，，故抛物线的准线方程是，

∵抛物线

的焦点作直线交抛物线于，两点，

∴，

又，

∴.

故答案为：8．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．15.若，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】令，求出，再令，代入即可求解.【详解】令等式中得；再令，则，所以．故答案为：16.定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】分析：由，构造单调递减函数，利用其单调性求解.详解：，设，则，是上的减函数，且，不等式，即为，即，得，解得，原不等式的解集为，故答案为.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.四、解答题：（共6题，共70分）17.已知z是复数，若为实数，为纯虚数，①求复数z；②求值．【答案】①；②【解析】【分析】①设复数，根据题意求出即可求解.②由①，利用复数的乘、除运算以及复数模的计算公式即可求解.【详解】①设复数，则，，因为为实数，为纯虚数，则，解得，，所以.②.18.已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.（1）求的值；（2）写出展开式中的所有有理项.【答案】（1）（2），，.【解析】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程可得结果；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令的幂指数为有理数，求得的值，即可求得展开式中有理项.详解：（1）因为（其中，）展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，.依题意得.可化为，化简得，解得或，∵，∴.（2）展开式的通项，所以展开式中的有理项当且仅当是6的倍数，又，，∴或或，∴展开式中的有理项共3项是，，.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用..19.世界博览会在意大利的米兰开幕，中国馆为了做好世界博览会期间的接待服务工作，从5名男大学生和3名女大学生中选出3人，参加博览会的志愿者服务活动，（解题过程中应有必要的文字叙述，结果以数字表示）（1）求选出的3人中至少1名女生的概率；（2）设所选3人中女生人数为，求的概率分布表及数学期望．【答案】（1）；（2）分布表（列）见答案，数学期望为.【解析】【分析】（1）通过求事件“选出的3人中至少1名女生”的对立事件的概率来求解；（2）由题意的可能取值分别为，分别求出对应概率，即可列出分布列，按期望公式计算数学期望.【详解】解：（1）设选出的3人中至少一名女生为事件，则事件的对立事件为选出的3人都是男生，所以.（2）的可能取值分别为，，，，，所以的分布列为：0123所以的期望【点睛】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：（1）求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解；（2）由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数方程(组)，解方程(组)即可求出参数值；（3）由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.20.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.（1）证明：∥平面；（2）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连结，易得∥，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据平面，为矩形，得到，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，利用，求得m，再利用锥体体积公式求解.【详解】（1）连接交于点，连结，因为为矩形，所以为的中点.又为的中点，所以∥，又平面,平面，所以∥平面.（2）因为平面，为矩形，所以，，两两垂直.如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则.设，则.设为平面的一个法向量，则即，可取.又为平面的一个法向量，由题意知：，即，解得.因为为的中点，所以三棱锥的高为.三棱锥的体积.【点睛】关键点点睛：本题第二问，由平面，为的中点，则三棱锥的高为，关键就是求得矩形ABCD中AB的长度，设，根据二面角为60°，由求解.21.已知椭圆经过点，离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值．【答案】(1);(2)1.【解析】试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．试题解析：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的标准方程为22.设函数．（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：【答案】（1）；（2）当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.【详解】（1），令，得因为当时；当时，所以当时，（2），①当时，恒有，在上是增函数；②

当时，令，得，解得；令，得，解得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在