2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）=x2+x,则f′（1）=（）A.-4 B.-3 C.3 D.42.二项式的展开式中常数项为（）A.6 B.12 C.15 D.303.函数f（x）=8lnx-x2的单调递增区间为（）A.（-∞，-2）∪（2，+∞） B.（-2，2）

C.（0，2） D.（2，+∞）4.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=alnx+x2的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0，则a+b=（）A.-2 B.-1 C.0 D.16.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球!其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：

①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；

②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，90%能站稳；

③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳.

则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.937.“（ax+1）6的展开式中x2的系数为60”是“a=2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f′（x）＞0，则不等式e2f（x）＜ex的解集为（）A.（-∞，1） B.（1，e） C.（1，+∞） D.（e,+∞）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列求导正确的有（）A.（x2+sin2）′=2x+cos2 B.

C. D.（sinx+cosx）′=cosx-sinx10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法

B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法

C.若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有480种排法

D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有384种排法11.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A.n=11 B.展开式的二项式系数和为211

C.展开式的各项系数和为 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算的值为

.（用数字作答）13.函数y=x2-5在区间[1，2]上的平均变化率为

.14.已知随机事件A，B互相独立，且满足，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：

（1）抽取的3件产品全部是一级品的概率；

（2）抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率.16.(本小题15分)

已知.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求函数y=f（x）的极值.17.(本小题15分)

在的展开式中，二项式系数和为64

（1）求n的值并求展开式中的常数项；

（2）求展开式中x4的系数.18.(本小题17分)

某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：

（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；

（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；

（3）记甲第n（n∈N*）天选择羽毛球的概率为Pn，请写出Pn与Pn-1（n≥2）的关系.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=a2x2-3axlnx,a＞0.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论f（x）的零点个数；

（3）当时，证明：f（x）＞2sinx.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】6．

13.【答案】3

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】y=2

函数y=f（x）的极小值为2，无极大值

17.【答案】6，160

72

18.【答案】

19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=x2-3xlnx,f（1）=1，

f′（x）=2x-3lnx-3，f′（1）=-1，

所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=-1（x-1），即x+y-2=0，

曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-2=0；

（2）因为a＞0，x＞0，令f（x）=a2x2-3axlnx=0得ax-3lnx=0，即，

令，所以f（x）的零点个数等价于y=g（x）与y=a的图象交点的个数，

又因为，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，

所以函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，

且g（1）=0，有极大值也是最大值，

如图：

由图可知，当时，函数y=g（x）与y=a的图象无交点；

当时，函数y=g（x）与y=a的图象有1个交点；

时，函数y=g（x）与y=a的图象有2个交点，

综上，时，f（x）的零点个数为0；时，f（x）的零点个数为1；

时，f（x）的零点个数为2；

（3）证明：①当x≥1时，f'（x）=2a2x-3a（lnx+1）=a（2ax-3lnx-3），

令h（x）=2ax-3lnx-3，，

因为x≥1，a＞0，所以2ax≥2a,而，即2ax≥2a＞3，2ax-3＞0，h'（x）＞0，

所以h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）=2a-3＞0，即f'（x）＞0，

所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．所以f（x）≥f（1）=；

②当0＜x＜1时，令u（x）=x-sinx,μ（x）=1-cosx＞0，所以u（x）单调递增，

所以u（x）＞u（0）=0，即x＞sinx,

又因为f（x）-2x=a2x2-3axlnx-2x=x（a2x-3alnx-2），

令m（x）=a2x-3alnx-2，，

当时，m'（x）＜0，m