湖南省衡阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版版）

湖南省衡阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案AAAAAACABCDACD题号11答案ABD1．A【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得.【详解】，所以，其虚部为.故选：A.2．A【分析】解一元二次不等式可化简集合B，然后由并集定义可得答案.【详解】.则，从而.故选：A3．A【分析】利用指数函数的性质可判断，利用对数运算性质和对数函数的性质判断的范围以及大小关系即得答案.【详解】由题意可知，，又，，而，故，即，因为，所以.故选：A4．A【分析】设出公比，利用条件和等比数列性质求出公比，进而得到.【详解】设公比为，,则，又，故，解得，所以.故选：A5．A【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A.6．A【分析】分别考虑函数在每一段上的单调性，结合端点函数值列出不等式求解即得.【详解】当时，，其对称轴为，依题意，，即，此时当时，显然在上单调递减，且.综上可得.故选：A.7．C【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程得韦达定理，通过抛物线定义将条件转化为，联立韦达定理求解，再利用余弦定理得垂直关系，根据斜率关系设出直线，进而联立抛物线方程求出坐标，再利用数量积求，最后利用同角三角函数关系可求出正弦值.【详解】由抛物线的方程，则其焦点，直线l过点且斜率为，其方程为，联立直线与抛物线方程消得，设交点，则，,由抛物线定义可得，代入条件，得，结合解得，满足，可得；设，设，由，则由余弦定理得，故，则，则，即，联立直线与抛物线方程消得，则，解得，即，又，则，则，所以，则.故选：C.8．A【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．故选：A．9．BCD【分析】先利用降幂公式、和角公式与辅助角公式将化成正弦型函数，由正弦型函数的最小正周期判断A；利用代入检验法判断B：根据图象平移后的函数，结合偶函数特征求得，根据的范围求得的值，判断C；将方程的根的情况转化为两个函数图象的交点情况，利用正弦函数的图象求得m的取值范围判断D．【详解】对于A，因，故的最小正周期为，故A错误：对于B，因为时，，且，即函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，将的图象向右移个单位长度后，可得的图象，由的图象关于y轴对称，则，则，解得，又，故的最小值为，故C正确；对于D，由得，即，因，设，则，关于x的方程有两个实数根，等价于函数与的图象在上有两个交点，所以，解得，故D正确.故选：BCD．10．ACD【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.【详解】AB选项，事件＂零件为第台车床加工＂，事件＂零件为次品＂，则，，故A正确，B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确．故选：ACD．11．ABD【分析】利用求导转化为，再结合是偶函数，可证明周期性，然后赋值可得，，从而可计算各选项.【详解】由求导可得：，因为，所以，又因为是偶函数，所以，由上两式可得，又可得，又两式相减得：，所以是一个周期为的周期函数，故C错误；由可得，又由可得，故A正确；又由可得，因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确；由，由，结合是一个周期为的周期函数，可得，所以，即，故D正确；故选：ABD12．224【分析】利用分布乘法计数原理结合排列知识进行计算即可直接得答案.【详解】从四个数中任选一个数放在个位，有4种方法，再从其他八个数中任选2位数放在十位和百位，有种方法，故九个数组成没有重复的三位数且是偶数共有种方法，故答案为：224.13．【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数，因为在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其中，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故．因此，实数的取值范围是.故答案为：.14．【分析】设BD，AC交于Q，作于H，证明平面，所求截面为以H为圆心的小圆，求圆的面积即可.【详解】如图：设BD，AC交于Q，作于H，在正方体中，平面，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以，又，，且两直线在平面BMD内，所以平面，在中，求得，故所求截面为以H为圆心的小圆，半径为，故所求面积为．故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）根据题意利用倍角公式以及正弦定理即可得结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得面积最大值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，且，所以.（2）由余弦定理可得，即，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为.16．(1)1944(2)【分析】(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望．(2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可．【详解】（1）X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800；，，，即X的分布列为X1900220024002800P数学期望为：元（2）甲2026年参保的保费大于2000元的概率为甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括：2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0；2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为其概率，故所求的概率为17．(1)(2)①证明见解析②【分析】（1）根据离心率得出进而计算求解标准方程；（2）①先设直线再联立方程组结合斜率公式应用韦达定理计算求参；②应用弦长公式及点到直线距离公式化简求解面积，最后构造函数应用导函数求解最大值即可.【详解】（1）由题意得，得，因为，所以，得，.故的标准方程为.（2）①证明：由（1）可得，设直线的方程为，，，由得，，，.当直线，的斜率都存在时，则，解得，直线的方程为，所以直线过定点.②解：由①得，，.点到直线的距离，则的面积.令，函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以当的面积取得最大值时，.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据折叠图形的性质结合勾股定理逆定理得和，即可证得平面；（2）以点为坐标原点，、为轴和轴建立空间直角坐标系，由∥据题意得，进而得再求出平面的一个法向量的坐标，由直线与平面所成角的条件列式求出即可得点M的位置，从而，，，再利用棱锥的体积公式结合等体积法即可得解.【详解】（1）由题意得，，，所以，即，因为，所以，即，又平面，所以平面；（2）因为,平面,平面,所以平面,又平面,平面平面，所以以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则因为，所以,所以，设平面的法向量为，则即令得,所以，记直线与平面所成角为,则，化简得，解得，所以.由，得,即(三等分点)，又平面，所以，所以(三等分点)，因为，，所以四边形为平行四边形，所以即(四等分点)，所以又所以.19．(1)1，证明见解析(2)（i）,；（ii）【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可.【详解】（1），依据导数的定义：（2）（i）因为，定义域为R，所以，令，解之得：，所以的单调递减区间为，（ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立，所以，当时，原式可转化为恒成立，令，即，因为，令，，当时，，，在上单调递减，所以，即时，所以在上单调递减，，所以，当时，因为，所以，所以，所以，综上可知：实数a的取值范围为【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与