《复变函数和积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社_第1页
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称为的微分。显然：可导当且仅当可微。例：证明处处不可微。不存在证求导法则与实函数类似。例：求的导数。解若(曲线复数方程形式)则如2、解析函数若在区域D内可微，则称在区域D内解析。可微解析连续若在点的某邻域可微，则称在点解析。在区域D内有：但在一点处，可微和解析并不等价。如只在某直线上可微，则它并不在直线上解析。则称在D内满足C-R条件。若3、C-R条件在区域D内满足：例：求满足解C-R条件的区域。在整个复平面都满足C-R条件。因为解例：求满足C-R条件的区域。因为令只在直线上满足C-R条件。若定理1（可微或解析的必要条件）在区域D内可微（解析），则必有：(1)四个偏导数在D内存在；(2)在D内满足C-R条件。定理2（可微或解析的充要条件）在区域D内可微（解析）当且仅当：(1)四个偏导数在D内连续；(2)在D内满足C-R条件。定理3（用得最多最重要的充要条件）在区域D内可微（解析）当且仅当：(2)在D内满足C-R条件。(1)在D内可微分；此时例：证明在整个证复平面解析，并求其导数。所以在整个复平面解析，且有因为都可微分，且其实，与吻合。例：证明在整个证复平面解析，并求其导数。所以在整个复平面解析，且有因为都可微分，且其实，得到可微性(解析性)时，最重要的是C-R条件。在讨论的在哪个区域满足C-R条件，就在哪个区域可微(解析)。例如讨论的可微性只在直线上满足C-R条件，所以只在直线上可微。但在整个复平面上处处不解析。例：讨论的可微性解因为令只在直线上满足C-R条件。所以只在直线上可微。但在整个复平面上处处不解析。练习1、讨论的可微性与解析性2、证明在整个复平面解析，并求其导数。3、设在整个复平面恒成立，证明在整个复平面内为一常数。二、初等解析函数性质：1、指数函数即以为周期由2、三角函数有得于是定义出三角函数表达式：性质：均以为周期不成立。例：求的实部和虚部解类似可定义出其他三角函数表达式：它们的导数也和实变函数一致。设则3、根式函数设则其反函数记为4、对数函数(指数函数的反函数)称为对数函数。令代入看其运算结果，得即于是定义得称为多值解析函数。因为n个值无穷多个值

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