辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A.45° B.30° C.60° D.120°【答案】C【解析】已知直线的斜率为，由于直线倾斜角的取值范围是，故该直线的倾斜角为60°.故选：C.2.若直线被圆：截得的弦长为，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】设圆心到直线的距离为，圆的半径，则弦长为，解得，，解得．故选：C．3.今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有A.210种 B.162种 C.720种 D.840种【答案】A【解析】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，所以共有••＝210．故选A.4.若的展开式关于的系数和为64，则展开式中含项的系数为A.26 B.18 C.12 D.9【答案】B【解析】令得，所以．所以展开式中含项为，所以展开式中含项的系数为18，故选B．5.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若对空间中任意一点，有，则P、A、B、C四点共面B.已知向量，，则在上的投影向量为C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D.点关于平面对称的点的坐标是【答案】B【解析】对于A项：因为，则，而，所以P、A、B、C四点不共面，A错误；对于B项：在上的投影向量为，故B正确；对于C项：因为，则，故C错误；对于D项：点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.故选：B.6.已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（）A.－5 B.－4 C.－3 D.－2【答案】B【解析】在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1，由椭圆的定义可得，所以，再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径，所以有，利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值，所以有故的最小值为－4.故选：B．7.如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，，，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（）A.B.是平面的一个法向量C.直线与平面夹角的正弦值为D.点C到平面的距离为【答案】C【解析】如图，对于A，，故，，故与不垂直，进而可得与不垂直，故A错误；对于B，由，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，因为（为实数），故B错误；对于C，，则，则直线CF与平面夹角的正弦值为，故C正确；对于D，，点到平面的距离为，故D错误.故选：C.8.已知双曲线C：的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为,因为左焦点,所以直线的方程为与，两式联立可得,设，因为，所以，即，所以，将点坐标代入双曲线方程得：，上式整理得，即，所以，所以渐近线方程为.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列有关说法错误的是（）A.在展开式中无常数项B.除以8的余数为1C.已知，则x的取值为7.D.甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有36种【答案】ABC【解析】对于A：在展开式中为常数项，A选项错误；，因为能被8整除，且，所以除以8的余数为7，B选项错误；当时，或，所以或，C选项错误；甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有种，D选项正确；故选：ABC.10.已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.直线与抛物线相切C.已知点，则的周长最小值为D.若，则的面积为【答案】BCD【解析】对于A，由，得抛物线的标准方程为，所以焦点为，故A错误；对于B，由，得，代入化简得，，所以直线与抛物线相切，故B正确；对于C，如图，，所以当最小时，的周长最小，过点向准线作垂线，垂足为，则，当三点共线时，最小，最小值为5，所以的周长的最小值为，故C正确；对于D，由题直线斜率一定存在，设直线，代入，整理得，，设，，则，由，得，解得或，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11.如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（）A.若到直线与直线距离相等，则的轨迹为抛物线B.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为C.若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆D.若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线【答案】ABD【解析】对于A，平面，即为到直线的距离，在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确；对于B，若，则,可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，其面积为，故B正确；对于C，与平面所成的角为，则，可得，∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故C错误；对于D，如图，建立空间直角坐标系，，设，则，，因为，化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；故选：ABD﹒三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.【答案】【解析】圆化成标准形式为圆，圆心，半径，直线过定点，并在圆内，最短时，点为弦的中点，即时，所以.故答案为：.13.如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____.【答案】【解析】因为，，可得，，又因为，，可得，，所以直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：.14.加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】对于椭圆，令，可得，令，可得，由，可知点在“蒙日圆”上，所以椭圆的“蒙日圆”的半径为，所以“蒙日圆”方程为，因为点在椭圆的“蒙日圆”上，又因为点在直线上，所以直线和“蒙日圆”有公共点.即圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，则，所以椭圆离心率，所以，即椭圆离心率的取值范围是.故答案为：.四、解答题（共77分）15.已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.（1）求展开式的所有二项式系数之和；（2）求的值；（3）判断的展开式中第几项系数的绝对值最大.解：（1）因为展开式中第6项二项式系数最大，所以，所以展开式的所有二项式系数之和为.（2）令，得.令，得，所以.（3）展开式的通项.由得.因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大.16.如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若点在上，且．（i）当时，求到平面的距离：（ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由平面平面，平面平面，平面，.得平面.因为，平面，所以．又四边形为直角梯形且，则，故两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，取，从而，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）因为，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，从而.（i）当时，，从而到平面的距离为.（ii）假设存在满足题意，与平面所成角为，则.化简得，解得或．故存在或，使得与平面所成角正弦值为.17.已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．①若的面积为，求直线的方程；②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．（1）解：椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3，，故，，椭圆的方程为；（2）①解：设过点的直线方程为，点，联立，得，则，则，又点到直线的距离，令，化简整理得，，，解得，直线的方程为．②证明：由①知，，直线，直线，联立直线，整理得，由①知，，，即，解得，点在直线上．18.如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且.（1）若，证明：平面；（2）当异面直线与所成角为时，求实数的值；（3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围.（1）证明：如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以；当时，为的中点，又为的中点，所以；所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：如图，连接，由正四棱锥可知两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，设，则，所以，所以，所以，；因为异面直线与所成角为，所以，解得，实数的值为.（3）解：由（2）知，，所以；设平面一个法向量为，则，即，取，则，所以；设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以；设平面与平面的夹角为，则，因为，所以函数，所以，即平面与平面夹角余弦值的取值范围是.19.已知双曲线：的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为.（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点(为坐标原点），求的面积的最小值；（3）设定点，过点T的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围.解：（1）因为双曲线的实轴长为，故，而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为，故双曲线的方程为：.（2）显然直线与轴不垂直，设：，由双曲线的对称性知的中点为，故，

联立故，由