辽宁省铁岭市2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省铁岭市2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.下列是离散型随机变量的是（）A.车载大灯使用寿命X1B.从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2C.某次物理实验测量所得的实验误差X3D.某培养皿上的细菌个数X4【答案】BD【解析】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量；对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量；对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量；对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量．故选：BD．2.若服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意可得，解得.故选：C.3.直线与圆的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由圆的方程可得圆心坐标为，代入直线方程得，故圆心在该直线上，于是二者相交，有两个公共点.故选：C.4.已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意那么它们的法向量，是共线向量，于是，即解之可得.故选：D.5.已知抛物线的焦点为F，，点P在抛物线上，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为Q，则，当且仅当A，P，N三点共线时，等号成立.故选：C.6.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由题意，l与所成角的正弦值为，于是，即，解得.故选：B.7.已知双曲线的右焦点为，右顶点为，一条渐近线为，过点作的垂线，垂足为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，，故，显然，，不妨设斜率为正，则直线，不妨设：，由垂直得，故：，联立，得，设，显然，，故，可得.故选：D.8.已知椭圆的左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】不妨设E的半焦距为c，记右焦点为T，易知，，由定义知，记，显然其为锐角，故由，解得，在中由余弦定理得，于是，即，可得离心率或.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知双曲线E：（，）的渐近线方程为，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（）A.B.E的离心率为C.当时，F1到渐近线的距离为4D.当时，【答案】ACD【解析】对于A，双曲线的渐近线方程为，故E的渐近线方程为，由得，故A正确，对于B，E：，当时，，其半焦距，实半轴长为，可得离心率为，故B错误，对于C，此时E：，半焦距为，由对称性不妨设，其到渐近线的距离，故C正确，对于D，此时E：，由定义知，故D正确.故选：ACD.10.已知空间向量，，，则（）A. B.当时，C. D.【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，当时，，，此时，故B正确；对于C，当时，，则，故C错误；对于D，，故，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，其展开式中x项的系数为，则（）A.当时，B.当时，C.其展开式中所有项的系数之和为D.当，时，【答案】AC【解析】对于A，当时，可得，则展开式中的项为，所以，所以A正确；对于B，当时，可得，则，此时，所以B错误；对于C，由，令，可得，所以展开式中所有项的系数之和为，所以C正确；对于D，当，时，可得，则，，令，则，则，因为，所以，即，所以D错误.故选：AC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.圆：与圆：的公切线条数为________.【答案】0【解析】由题意可知两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为4，10，由于，所以两圆内含，其公切线条数为0.故答案为：0.13.将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为________.【答案】36【解析】从另外人中选人与小明、小红同组，再将形成的个小组分配到、、三个不同位置，方法数为种，当小明，小红一组，剩余三人分另外2组，一组人，另一组人，则共种排法，故最终总数为种．故答案为：36．14.某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为________.【答案】50【解析】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品，为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2），X为抽到的4个零件中一级品的总数量，且，则，故易有，又，，则.，，故，解得或（舍），即.此时甲批次总体，样本；乙批次总体未知，样本，根据题意，抽样方法为按比例分层抽样，则，代入解得.故答案为：50.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8.（1）求A，B两位员工均能完成工作的概率；（2）证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立；（3）求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率.（1）解：设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”，则，，因为两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件，所以.根据概率的加法公式，，解得，所以两位员工均能完成工作的概率为0.3.（2）证明：由（1）得，且因为，所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立.（3）解：由（1）知：，.根据条件概率公式，可得，故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为.16.如图，为圆柱的母线，为圆柱的底面直径，点在底面圆周上（不与重合），为中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：由平面几何知识知，由平面，平面，知，由，平面，平面，知平面，由平面，得平面平面.（2）解：取中点，以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，则，，，记平面的法向量为，，即，可取.记直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.17.已知抛物线E：焦点为，其上两点P，Q满足.（1）求E的方程；（2）若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标；（3）求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时△PQF的面积.解：（1）显然，，所以E：.（2）不妨设：，，，联立，有，，此时，，故，即.当PQ斜率时，，于是，解得，故交点坐标为.（3）求最大值不妨考虑.因为，所以，令，所以，易知在上随着的增大而减小，故，故PQ与x轴交点横坐标的最大值为，此时，所以，所以：.注意到此时F到PQ的距离，故△PQF的面积.18.现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球.（1）若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率；（2）若抽完球记录后不放回口袋.（ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率；（ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列.解：（1）易知抽到黑球次数服从二项分布，于是，，故所求概率；（2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽取.记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球，则，，，可得；（ⅱ）由题意X的取值可以是，则，，，，故可得分布列为X12345678P19.在直角坐标系xOy中，，点P到l：的距离为，记P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足，，直线MN与E交于C，D两点.（ⅰ）证明：直线CD过定点；（ⅱ）若直线AB斜率存在且不