山东省部分学校2025-2026学年高二上学期1月诊断性练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省部分学校2025-2026学年高二上学期1月诊断性练习数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】已知数列可化为：，根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为.故选：B.2.不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（）A B. C. D.无法确定【答案】A【解析】由题可设的方程为，化简得，故的斜率为1，倾斜角为.故选：A.3.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（）A.2 B. C.1 D.4【答案】B【解析】点到轴的距离为.故选：B.4.数列满足，，则（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】数列中，由，，得，，，因此数列是周期数列，周期为3，所以.故选：A.5.过圆上一点作圆的切线，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为，则直线的斜率，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率，所以直线的方程为，即.故选：C.6.从3名男同学和2名女同学中随机选3名去参加校园科技大赛，则2名女同学都入选的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设2名女同学为，，3名男同学为1，2，3，从5名同学中随机选3名，有，，，，，，，，，这10种选法.其中，2名女同学都入选的选法有，，这3种，故所求概率.故选：D.7.已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即，所以，因为当时，最小，所以，故的最小值是.故选：B.8.在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，由，，…，，累加得，故，因为为单调递增数列，所以恒成立，则，，，因为，所以，解得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（）A.B.C.在平面上的投影向量的模长为D.在上的投影向量为【答案】AC【解析】因为直三棱柱所有棱长为1，分别是，中点，所以选项A：，A正确；选项B：因为底面是正三角形，所以与的夹角是，与的夹角是，所以；；又，故，所以，B错误；选项C：过作平面，垂足为，易知，过作平面，垂足为，易知，即在平面上的投影向量为，所以.C正确；选项D：过作，垂足为，易知，过作，垂足为，易知，即在上的投影向量为，因为，则：.D错误.故选：AC.10.记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列，则（）A.是等差数列 B.C. D.当时，的最小值为12【答案】ACD【解析】选项A：由题可知，则.当时，，也满足上式，故，即得，所以是等差数列，故A正确；选项B：由于，得，故B错误；选项C：由于，令，即，解得，即数列的前5项为负，第6项为0，第7项起为正，因此当时，单调递减，当时，单调递增，又，故的最小值为（或），所以，故C正确；选项D：由于，令，则，解得（舍去）或，又，所以时，，所以当时，的最小值为12，故D正确.故选:ACD.11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（）A.若能成立，则的取值范围为B.若，则的面积为C.直线与的斜率之积为D.若，的横坐标是的横坐标的4倍，则【答案】BCD【解析】因为，所以四边形为矩形，设椭圆的上顶点为，若要上存在点，使得，则需，所以，即，，A错误；由对称性可知的面积等于的面积，由焦点三角形的面积公式可知，的面积为，B正确；设，，则，且，，两式相减得，可知，C正确；由，得，因为，且，所以，解得，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.圆：与圆：的公共弦长为________.【答案】【解析】已知圆：，圆：，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为，而圆心到公共弦的距离，圆的半径为，所以公共弦长为.故答案为：.13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为________.【解析】如图，设，则，因为，所以，则.在中，由余弦定理得，即，化简可得，故.故答案为：.14.在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为________.【答案】或【解析】易知平面，平面，因为点到的距离是到距离的两倍，所以.以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，设，由，得，整理得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的圆弧.射线：交圆于点，，，，则，即圆弧所对的圆心角为，弧长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束.（1）若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率；（2）若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率.解：（1）每次都是有放回地摸球，则每次摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为.恰好第4次摸球结束，则前3次中有一次摸到了红球，所以恰好第4次摸球结束的概率为.（2）每次都是不放回地摸球，分三种情况：第1次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为；第2次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为；第3次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为.故若每次都是不放回地摸球，则恰好第4次摸球结束的概率为.16.如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，.，，则，所以.（2）解：在平面中，，，.设平面的法向量为，则即所以令，则，，所以.故直线与平面所成角的正弦值为.17.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求和的通项公式；（2）求.解：（1）因为，所以，所以等差数列的公差，所以，所以（2）令，为数列的前项和，则，，.当时，，当时，.综上，.18.在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）已知经过点的直线与交于，两点，且.（i）求直线的方程；（ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.（1）解：因为直线和之间的距离为1，所以点到直线的距离与到点的距离相等，由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线，设曲线的方程为，得，得，故曲线的方程为;（2）（i）解：设，，的方程为，由，消去得，所以，.因为，所以，即直线的方程为.（ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方，由（i）知，，，设的方程为，，，，由，消去得，所以，.直线的斜率，方程为，直线的斜率，方程为由，消去得，整理得，因此点横坐标恒为，所以点在定直线上.19.如图1，，分别是椭圆：的左、右焦点，过点作直线，与交于，两点.且的周长为，.（1）求的方程；（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为.（i）若直线的斜率为