山东省济南市历下区2024-2025学年七下期末数学试卷（解析版）

-2025学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.8的立方根为（）A.2 B.±2 C.－2 D.4【答案】A【解析】【详解】解：因为，则8的立方根为2.2.下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选：3.2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了概率公式，计算在单词“”中随机选一个字母为“e”的概率，需统计字母“e”的出现次数和总字母数．【详解】解：∵单词“”中共有8个字母，其中字母“e”出现4次，∴选到“e”的概率是：．故选：B．4.在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，则，∴，故选：A．5.如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，不能证明的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可．【详解】解：平分，，，当添加时，不能判定，A选项符合题意；当添加时，，B选项不符合题意；当添加时，，C选项不符合题意；当添加时，判定，D选项不符合题意．6.宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（）A.0到之间 B.到1之间 C.1到之间 D.到2之间【答案】B【解析】【分析】先由得到，再由不等式的性质求解即可．【详解】解：∵∴，，．7.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解：连接，，，，，∵，，，，，是直角三角形，，∴四边形的面积的面积的面积，，这块菜地的面积为，故选：B．8.涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（）A.该地当日时潮水高度最大，高度为B.该地当日时和时潮水高度相同C.该地当日到适合赶海D.该地当日到适合赶海【答案】D【解析】【分析】根据图象信息逐项判断即可．【详解】解：由图象可知，该地当日时潮水高度最大，高度为，故选项A说法正确，不符合题意；该地当日时和时潮水高度相同，均为3.5m，故选项B说法正确，不符合题意；该地当日到适合赶海，故选项C说法正确，不符合题意；该地当日到，夜间不安全，不适合赶海，故原说法错误，故选项D符合题意．9.如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（）A. B. C. D.9【答案】C【解析】【分析】过点E作于点，由题意易得平分，根据角平分线性质得，根据勾股定理得，再由等腰三角形三线合一得．【详解】解：过点E作于点，由题意得平分，，，，，，，，故选：C．10.如图，，，，E，F分别是射线，上动点，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.13【答案】D【解析】【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果．【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，∴，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，根据对称的性质可知：，，，，，∴，，∴是直角三角形，∴，∴的最小值为．二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．11.正数的两个平方根分别是和，则______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：．【详解】解：正数的两个平方根分别是和，．故答案为：．12.在中，，，则______．【答案】55【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．【详解】∵在中，，，∴．故答案为：55．13.如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____．【答案】【解析】【分析】根据题意可以得到，然后根据勾股定理即可求得的长，然后根据、，即可表示出点C表示的数．【详解】解：点A表示的数为，，于点O，是等腰直角三角形，，由题意得，，数轴上点C表示数为，故答案为：．14.如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______．【答案】【解析】【分析】求出的长和的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵，的长为，∴，且，∵线段是底边上的高，，∴的面积为，综上，与之间的关系式为．15.长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_____．【答案】或【解析】【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质，正方形的性质与判定以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想．【详解】如图，当共线时，，∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠性质可知：，，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，如图，当落在上时，，此时四边形为正方形，∴，综上可知：的长为或，故答案为：或．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先运算二次根式的除法，再化简二次根式即可；（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则运算即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．17.如图，在中，点D为上一点，且，点E为外一点，且，连接当时，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【解析】【分析】由可得，由判定即可求解．【详解】解：与的数量关系是：，理由如下：，，在和中，，，，即．18.已知，．（1）求代数式的值；（2）求代数式的值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根据平方差公式：求解即可；（2）根据完全平方公式：求解即可．【小问1详解】解：∵，，∴．【小问2详解】解：∵，，∴．19.如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏：①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个；②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中；③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”；④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜．通过游戏经验的积累，小颖发现：（1）在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率；（2）为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中．【答案】（1）（2）十位【解析】【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为；（2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上．小问1详解】解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，她下一次转出的数字大于的概率为；【小问2详解】解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为，转盘上小于的数字有个，小颖下一次转出的数字小于的概率为，，小颖下一次转出的数字小于的概率大，在十位上应该填入一个较大的数，数字应该放在十位上．20.如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一性质，可求得．【详解】，．，点为边的中点，平分，．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线．（1）标出点A关于直线l的对称点；（2）在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）；（3）若在网格中有一点Q，点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等，则______．【答案】（1）画图见解析（2）画图见解析（3）5【解析】【分析】（1）根据对称的性质作图即可；（2）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点P，即可求解；（3）取格点和，连接，，，则为线段的垂直平分线，延长交直线为，即可求解．【小问1详解】解：如图，点即为所求．【小问2详解】解：如上图，连接交直线l于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求．【小问3详解】解：如上图，取格点和，连接，，，则为线段的垂直平分线，延长交直线为，由题意知，直线l为线段的垂直平分线，此时点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等，．22.综合与实践【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层．【相关素材】素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系：购物车数量辆12345车身总长米素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．【问题解决】（1）根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为______；（2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．【答案】（1）（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据增加1辆购物车，车身总长增加米，列出表达式即可；（2）利用勾股定理求出的长，再把代入求出的值，再进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米，则，∴车身总长与购物车数量之间的关系式为【小问2详解】该超市员工不能通过一次转运就将全部购物车转运完毕．理由如下：在中利用勾股定理得：（米），当时，，∵，∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．23.在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入口处进入活动区进行清扫请根据以下信息解决问题：房间示意图及相关尺寸说明相关尺寸说明：房间的平面图为长方形，其中，；衣柜底面为长方形，其中，；书柜底面为长方形，其中，．扫地机器人相关信息某型号扫地机器人的底面是直径为的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区域时，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为．请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从入口处进入活动区．【答案】能顺利地从入口处进入活动区，见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再结合扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点E和点G的安全距离均至少为，可推出结论．【详解】解：如图：，，由勾股定理得，，扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为，，，该型号的扫地机器人能顺利地从入口处进入活动区．24.某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭．小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示．景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示．（1）图2中的自变量是______，因变量是______．（2）小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______（3）游览车的平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔．【答案】（1）出发时间，小明到小石潭的距离（2）300，20（3）400，【解析】【分析】（1）根据题意即可解题；（2）根据图2求出小明从小石潭到花圃的