全品高考备战2027年数学一轮备用题库05第45讲直线、平面垂直的判定与性质【答案】作业手册

第45讲直线、平面垂直的判定与性质1.C[解析]∵b∥α,∴b平行于α内的某一条直线,设为b',∵a⊥平面α,且b'⊂平面α,∴a⊥b',∴a⊥b,但a与b可能相交,也可能异面.故选C.2.D[解析]如图,对于A选项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,显然BC与B1C不垂直,故AD与B1C不垂直,故A错误;对于B选项,连接A1B,可知△A1BD为等边三角形,故A1D与BD成60°角,故B错误;对于C选项,连接A1C1,AC,易知四边形ACC1A1为矩形,故AC1与A1C不垂直,故C错误;对于D选项,连接C1D,因为AD⊥平面CDD1C1,CD1⊂平面CDD1C1,所以AD⊥CD1,又CD1⊥C1D,C1D∩AD=D,C1D,AD⊂平面ADC1,所以CD1⊥平面ADC1,又AC1⊂平面ADC1,所以AC1⊥CD1,故D正确.故选D.3.A[解析]若a⊥β,由b⊂β可知a⊥b成立;若a⊥b,可能a∥β或a与β相交,故不一定有a⊥β.所以“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.4.C[解析]若m垂直于AB,由平面ABCD⊥平面ABB1A1,得平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直,无法证明AB和n的关系,故A,B错误;若m不垂直于AB,因为BB1⊥m,所以当m⊥n时,BB1∥n,又因为BB1⊥AB,所以n垂直于AB,故C正确,D错误.故选C.5.B[解析]显然,在荡秋千的过程中,秋千绳与墙面始终平行,但与道路所成的角在变化,秋千板与墙面垂直,故也与道路始终垂直.故选B.6.m⊥α,n⊥β,α⊥β⇒m⊥n(或m⊥n,m⊥α,n⊥β⇒α⊥β)[解析]由α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,构造命题:m⊥α,n⊥β,α⊥β⇒m⊥n.由面面垂直的性质定理得m⊥n.构造命题:m⊥n,m⊥α,n⊥β⇒α⊥β,由面面垂直的判定定理得α⊥β.构造命题:α⊥β,n⊥β,m⊥n⇒m⊥α,但这里m与α相交、平行或m⊂α,故得不出m⊥α.构造命题:m⊥n,α⊥β,m⊥α⇒n⊥β,但这里n与β相交、平行或n⊂β,故得不出n⊥β.7.③[解析]对于①,设α∩β=l,当a∥l,a⊄α,a⊄β时,a∥α,a∥β,所以α与β不一定平行,所以①不正确;对于②,若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α,所以②不正确;对于③,由a⊥α,a⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,得α∥β,所以③正确;对于④,若α⊥β,a∥α,则a与β的位置关系不确定,所以④不正确.8.C[解析]因为四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD的所有侧棱长均为2,所以点P,Q在底面ABCD上的射影都是四边形ABCD的外心,所以两射影重合,即有PQ⊥平面ABCD,且四边形ABCD有外接圆.对于选项A,当四边形ABCD是AB=AC=2的菱形时,四边形ABCD没有外接圆,所以选项A错误;对于选项B,当四边形ABCD是矩形时,显然满足题意,所以选项B错误;对于选项C,因为直角梯形没有外接圆,所以选项C正确;对于选项D,因为PQ⊥平面ABCD,又PQ⊂平面APQ,所以平面APQ⊥平面ABCD,所以选项D错误.故选C.9.D[解析]对于A,因为二面角A-BC-D为直二面角,所以平面ABC⊥平面BCD,又因为平面ABC∩平面BCD=BC,CD⊥BC,且CD⊂平面BCD,所以CD⊥平面ABC,所以A中判断正确;对于B,由CD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,可得CD⊥AB,又因为AB⊥AC,且AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B中判断正确;对于C,因为AB⊥平面ACD,且AB⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C中判断正确;对于D,因为CD⊥平面ABC,CD⊂平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,若平面ABD⊥平面BCD,且平面ABC∩平面ABD=AB,则AB⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,可得AB⊥BC,因为AB与BC不垂直,矛盾,所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D中判断不正确.故选D.10.A[解析]如图,过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PD⊥AC于D,则PE=PF=PD,连接OD,OE,OF,∵PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PO⊥AC,PO⊥AB,PO⊥BC,又PO∩PD=P,PO∩PE=P,PO∩PF=P,∴AC⊥平面POD,AB⊥平面POE,BC⊥平面POF,又OD⊂平面POD,OE⊂平面POE,OF⊂平面POF,∴AC⊥OD,AB⊥OE,BC⊥OF.在Rt△POD,Rt△POE,Rt△POF中,OD=PD2-PO2,OE=PE2-PO2,OF=PF2-PO11.ACD[解析]要成为“AC1=A1C”的必要条件,则该条件可由“AC1=A1C”推出.对于A,因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,又AC1=A1C,所以四边形ACC1A1为矩形,故A正确;对于B,假设平面ABB1A1⊥平面ACC1A1,由选项A可知四边形ACC1A1为矩形,则AC⊥AA1,又平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以AC⊥平面ABB1A1,因为AB⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AB,与四边形ABCD为正方形矛盾,故B错误;对于C,因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,因为AC⊥AA1,AA1∥BB1,所以AC⊥BB1,又BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BDD1B1,所以AC⊥平面BDD1B1,又AC⊂平面ABCD,所以平面BDD1B1⊥平面ABCD,故C正确;对于D,因为四边形ACC1A1为矩形,O为A1C1的中点,易得OA=OC,又正方形ABCD中,AD=CD,OD是公共边,所以△OAD≌△OCD,则∠OAD=∠OCD,又BC∥AD,AB∥CD,所以∠OAD,∠OCD分别为直线OA,BC所成的角(或其补角)与直线OC,AB所成的角(或其补角),则直线OA,BC所成的角与直线OC,AB所成的角相等,故D正确.故选ACD.12.6[解析]如图,取CD的中点G,连接MG,NG.因为四边形ABCD,四边形DCEF均为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=2.因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,MG⊂平面ABCD,所以MG⊥平面DCEF,又NG⊂平面DCEF,所以MG⊥NG,所以MN=MG2+13.423[解析]如图,取AB的中点F,连接DF交AE于点H,连接PH,EF.易知四边形DEFA为正方形,则DF⊥AE,由翻折前后的不变性可知,PH⊥AE,当平面PAE⊥平面ABCE时,又平面PAE∩平面ABCE=AE,PH⊂平面PAE,所以PH⊥平面ABCE.由题意可知,S△ABC=4,PH=12DF=12×22+22=2,所以VP-ABC=14.证明:连接OP,BD,如图.由底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,得AD=AB=BD,又因为O为AD的中点,所以OB⊥AD.因为在△APD中,∠APD=90°,O为AD的中点,所以PO=12设AD=PB=2a,则OB=3a,PO=OA=a,即PO2+OB2=4a2=PB2,所以OB⊥OP,又因为OP∩AD=O,OP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以OB⊥平面PAD.15.解:当点G为DE的中点时,平面ABC⊥平面AFG,证明如下:因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥,所以AD=AE,AG⊥DE,又因为在正方形BCDE中,DE∥BC,所以AG⊥BC.在正方形BCDE中,CD⊥BC,因为AF∥CD,所以AF⊥BC,因为AF∩AG=A,AF,AG⊂平面AFG,所以BC⊥平面AFG,因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面AFG.16.解:(1)证明:如图,取BC的中点E,连接B1E,AE,则AE⊥BC,又因为ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以平面ABC⊥平面B1BCC1,又平面ABC∩平面B1BCC1=BC,所以AE⊥平面B1BCC1,又BC1⊂平面B1BCC1,所以AE⊥BC1.又AB=2,BB1=2,所以tan∠EB1B=BEB1B=22,tan∠B1C1B=所以tan∠EB1B=tan∠B1C1B,所以∠EB1B=∠B1C1B,又∠B1C1B+∠B1BC1=90°,所以B1E⊥BC1,又AE∩B1E=E,所以BC1⊥平面AB1E,所以AB1⊥BC1.(2)过点D作DF⊥BC于点F,如图,由(1)知AE⊥平面B1BCC1,所以AE∥DF,所以DF⊥平面B1BCC1.又D为AC的中点,所以AE=2DF