全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第41讲空间几何体【答案】作业手册

第七单元立体几何第41讲空间几何体1.D[解析]因为正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,高为6,所以该正四棱台的体积V=13×(42+22+42×22.B[解析]设正方体的棱长为acm,则a3+6×43π×13=43π×23,解得a=38π33.C[解析]由题易知,圆台上、下底面的半径分别为r=1,R=2,高h=A1A2-(R-r)2=22,所以该圆台的体积V=4.D[解析]如图,PO是正四棱锥的高,所以PO=6,PE是斜高,由各侧面的面积之和是底面积的2倍,可得4×12BC·PE=2BC2,所以BC=PE.在Rt△POE中,PO=6,OE=12BC=12PE,所以6+PE22=PE2,所以PE=22,则底面积S1=BC2=PE2=8,侧面积S2=2S1=16,则表面积S=S1+S5.A[解析]设圆锥底面的半径为r,母线长为l,高为h,则由题意得12×2πr×l12×2r×h=2π,可得l=2h.设圆锥母线与底面所成的角为θ0<θ<π26.BCD[解析]对于A,B,还原平面图如图,则AB=A'B'=4,CD=C'D'=2,AD=2A'D'=22,故A错误,B正确;对于C,过C作CF⊥AB交AB于点F,则AF=DC=2,由勾股定理得CB=22+(22)2=23,故四边形ABCD的周长为4+2+22+23=6+22+23,故C正确;对于D,四边形ABCD的面积为127.281[解析]将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图①)的侧面沿AA1展开,得到展开图(如图②),当A,E,F,G,A1五点共线时,AE+EF+FG+GA1取得最小值,且最小值为(4×4)28.2[解析]设正方形ABCD的边长为a,则这个八面体的表面中所有的正三角形边长均为a,所以其表面积为8×34a2=83,可得a=29.解:(1)设圆锥的母线长为l,由半径r=1,高h'=3,得l=10,∴S侧=πrl=10π,S底=πr2=π,故S表=(10+1)π,V=13·πr2·h'=π(2)如图,连接O1A1,OA,由三角形相似可得3-h3=x1,得h=3(1-x(3)记圆柱的表面积为S,则S=2πx·3(1-x)+2πx2=2π(-2x2+3x)=-4πx-34∵0<x<1,∴当x=34时,Smax=9π10.B[解析]不妨设A4纸的长、宽分别为2,1.当圆柱的高等于A4纸的长时,设其底面圆半径为r1,则2πr1=1,解得r1=12π,则V1=πr12×2=π×12π2×2=24π,S1=2r1×2=2π;当圆柱的高等于A4纸的宽时,设其底面圆半径为r2,则2πr2=2,解得r2=22π,则V2=πr22×1=π×22π2×1=12π,S2=2r2×1=2π.综上所述,11.C[解析]方法一:连接BD,交AC于点O,连接PO,如图,则O为AC,BD的中点.因为底面ABCD是边长为4的正方形,所以AC=BD=42,则DO=CO=22,又PC=PD=3,所以△PDO≌△PCO,则∠PDO=∠PCO,又PC=PD=3,AC=BD=42,所以△PDB≌△PCA,则PA=PB.在△PAC中,PC=3,AC=42,∠PCA=45°,则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos∠PCA=32+9-2×42×3×22=17,故PA=17,则PB=17,故在△PBC中,PC=3,PB=17,BC=4,所以cos∠PCB=PC2+BC2-PB22PC·BC所以△PBC的面积S=12PC·BCsin∠PCB=12×3×4×223=4方法二:连接BD,交AC于点O,连接PO,如图,则O为AC,BD的中点.因为底面ABCD是边长为4的正方形,所以AC=BD=42,在△PAC中,PC=3,∠PCA=45°,则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos∠PCA=32+9-2×42×3×22=17,故PA=17所以cos∠APC=PA2+PC2-AC22PA·PC==17×3×-1717=-3.不妨设PB=m(m>0),∠BPD=θ,因为PO=12(PA+PC)=12(PB+PD),所以(PA+PC)2=(PB+PD)2,即PA2+PC2+2PA·PC=PB2+PD2+2PB·PD,则17+9+2×(-3)=m2+9+2×3×mcosθ,整理得m2+6mcosθ-11=0①.在△PBD中,BD2=PB2+PD2-2PB·PDcos∠BPD,即32=m2+9-6mcosθ,则m2-6mcosθ-23=0②.由①+②得2m2-34=0,可得PB=m=17,故在=PC2+BC2-PB22PC·BC=9+16-172×3×4=13,又0°<∠PCB<180°,所以sin∠PCB=1-cos212.ACD[解析]对于A,取O为AC与BD的交点,易得OA=52cm,SO=SA2-OA2=52(cm),故A正确;对于B,该几何体的表面积为102+4×10×53+4×34×102=100+3003(cm2),故B错误;对于C,该几何体的体积为102×53+13×102×52=5003+50023(cm3),故C正确;对于D,观察图形知,小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路径为沿表面越过棱AB或AD,由对称性,不妨取长方形EFBA及正三角形SAB,将它们置于同一平面内,连接SE,如图,取EF的中点M,连接SM,则SM=53+102-52=10313.CD[解析]设正方形ABCD的边长为2,则ED=2,FB=1,AC=22,∴V1=VE-ACD=13S△ACD·ED=43.∵ED⊥平面ABCD,FB∥ED,∴FB⊥平面ABCD,∴V2=VF-ABC=13S△ABC·FB=23.连接BD交AC于M,连接EM,FM,∵AC⊥ED,AC⊥BD,BD∩ED=D,∴AC⊥平面BDEF.过F作FN⊥DE,垂足为N,则FN∥BD,且FN=BD=22,在Rt△ENF中,EF=EN2+FN2=3.在Rt△MBF中,FM=BF2+BM2=3.在Rt△EDM中,EM=ED2+DM2=6,∴EM2+FM2=EF214.27+9[解析]原正方体石料,如图,因为正方体的棱长为35m,所以石凳的每条边的边长为3102×2=3210(m),石凳上等边三角形的高为3210×32=3620(m),所以石凳的表面积S=32102×6+115.47[解析]依题意可知A1,B1,C1,D1,E1,F1六点共面,连接AD,BE,CF,由正六边形ABCDEF的性质知AD,BE,CF交于一点,设为O,连接A1D1,B1E1,C1F1,由题意知A1D1,B1E1,C1F1交于一点,设为O1,连接OO1,则OO1⊥平面ABCDEF,所以OO1,AA1,BB1,CC1,DD1,EE1,FF1两两平行.连接AC交OB于G,连接A1C1交O1B1于G1,连接GG1,根据正六边形的性质可知四边形ABCO是菱形,所以AC,OB相互平分,则A1C1,O1B1相互平分,根据梯形中位线定理有GG1=AA1+CC12=BB1+OO12,即12+102=9+OO12,可得OO1=13m,在梯形BEE1B1中,O是BE的中点,则O1是B1E1的中点,所以EE1=2OO1-16.32π[解析]由曲线x24-y23=1,y=±32x,y=±4围成的图形为图中实线所围成的图形(关于x轴对称).设直线y=h(0≤h≤4)与直线y=32x,曲线x24-y23=1在第一象限分别交于点A,B,易得A23h,h,B2h23+1,h,截面上底面的小圆面积S1=π23h2=43πh2,大圆面积S17.2[解析]设圆柱O1O的母线长为l,如图,A1在上底面的正投影为点E,可知A1E即为母线且和上底面垂直,所以A1E⊥CD,过E作CD的垂线,垂足记为F,连接A1F,又EF∩A1E