全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第41讲空间几何体【正文】听课手册

第七单元立体几何第41讲空间几何体【课标要求】1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.

3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相

且

多边形互相

且

侧棱

相交于,

但不一定相等延长线交于

侧面形状

(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,

于底面相交于

延长线交于

(续表)名称圆柱圆锥圆台球轴截面全等的

全等的

全等的

侧面展开图

2.直观图(1)画法:常用.

(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°,z'轴与x'轴和y'轴所在平面.

②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度,平行于y轴的线段,长度在直观图中变为原来的.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=

S圆锥侧=

S圆台侧=

4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表=S侧+2S底V=

锥体S表=S侧+S底V=

台体S表=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S表=

V=

(其中柱体、锥体、台体的高为h,球的半径为R)常用结论1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).2.直观图与原平面图形面积间的关系:S直观图=24S原图形,S原图形=22S直观图3.球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=R2题组一常识题1.[教材改编]下列说法中错误的是.

①经过不共面的四点的球有且仅有一个;②平行六面体的每个面都是平行四边形;③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直;④棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直;⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫作棱锥.2.[教材改编]如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴、y'轴平行),则原图形△AOB的底边OB的长是,高是.

3.[教材改编]已知圆锥的表面积为12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为cm.

题组二常错题◆索引:对空间几何体的相关公式掌握不牢致误;对空间几何体的结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误.4.已知正四棱台上底面边长为2cm,侧棱和下底面边长都是4cm,则它的体积为cm3.

5.如图所示,将一个长方体用过同一顶点的三条棱中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.

6.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的体积是.

基本立体图形与直观图角度1直观图例1如图,矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图,其中O'A'=4,O'C'=1,那么▱OABC的面积为 ()A.4 B.42 C.8 D.82总结反思(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=24S原图形变式题如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图,若△O'A'B'是边长为3的等边三角形,则△OAB的面积为 ()A.932 B.962 C.93角度2展开图例2如图所示,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为33,则这个圆锥的高为,体积为.

总结反思在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图,将空间问题平面化.变式题(1)[2025·贵州贵阳七校联考]现有一把折扇,其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为23π,上板长为9cm,若把该扇环围成一个圆台,则圆台的高为 (A.3cm B.9cmC.63cm D.62cm(2)某三棱柱的平面展开图如图所示,网格中的小正方形的边长均为1,K是线段DI上的点,则在原三棱柱中,AK+CK的最小值为 ()A.65 B.73C.45 D.89简单几何体的表面积与体积微点1侧面积和表面积例3(1)已知某圆锥的轴截面是正三角形,从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台,则该小圆台与原圆锥的表面积之比为 ()A.11∶12 B.5∶6C.3∶4 D.2∶3(2)[2025·辽宁锦州质检]如图,攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,多见于亭阁式建筑.某个园林建筑为六角攒尖,它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的高为1且侧棱长为2,则该正六棱锥的侧面积为 ()A.372 B.233 C.25总结反思求空间几何体表面积的方法:(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系;(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.注意表面积与底面积、侧面积的区别.微点2体积例4(1)[2024·新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为 ()A.23π B.33π C.63π D.93π(2)[2025·山东烟台三模]如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与A1B1C1D1为两个全等的矩形,且AB∥A1B1,AD∥A1D1,若BC=A1B1=AA1=2,AB=B1C1=4,则该六面体的体积为 ()A.14 B.523 C.623 D总结反思求空间几何体体积的常用方法:(1)公式法:规则几何体的体积,直接利用公式进行求解;(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体;(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65) ()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m32.[2025·重庆七校联盟质检]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AB=2,AA1=22,D为BC的中点,则三棱柱ABC-A1B1C1截去三棱锥C1-ACD后所得几何体的表面积为 ()A.92+33 B.9+33C.12 D.82+333.(多选题)如图,圆锥PO的底面半径为3,高为33,过PO靠近点P的三等分点