全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第54讲直线与椭圆、双曲线的位置关系【正文】听课手册

第54讲直线与椭圆、双曲线的位置关系【课标要求】1.通过椭圆、双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.

2.通过直线与椭圆、双曲线方程联立解决位置关系,增强学生的计算能力.

3.通过方程的学习,进一步体会直线与椭圆、双曲线的位置关系.1.直线与椭圆、双曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系,从几何角度来看有三种:①相离,直线与椭圆公共点;②相切,直线与椭圆有公共点;③相交,直线与椭圆有公共点.

(2)判断直线与椭圆的位置关系时,通常将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程px2+qx+s=0(或py2+qy+s=0)的形式.当判别式时,直线与椭圆相交;

当判别式时,直线与椭圆相切;

当判别式时,直线与椭圆相离.

(3)判断直线与双曲线的位置关系时,通常将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程px2+qx+s=0(或py2+qy+s=0)的形式.若p≠0,则可考虑一元二次方程的判别式Δ,当时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当时,直线与双曲线相离.

若p=0,则当q≠0时,得到一个一次方程,此时直线与双曲线相交,且只有一个交点,此时直线与双曲线的平行;当q=0时,直线与双曲线相离,直线与双曲线没有交点,此时直线与双曲线的渐近线重合.

2.直线与椭圆、双曲线相交所得弦的长设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆、双曲线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2·|x1-x2|=(1+1+1k2·|y1-y2当直线的斜率不存在时,|AB|=.当直线的斜率为0时,|AB|=.

3.直线与椭圆、双曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)根与系数的关系:将直线方程代入椭圆、双曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与椭圆、双曲线有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆、双曲线的方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.常用结论1.椭圆的焦半径公式坐标式:若F1,F2为椭圆的两个焦点,P(x0,y0)为椭圆上任意一点,则①|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦点在x轴上);②|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0(焦点在y轴上).倾斜角式:若椭圆的焦点在x轴,AB是过焦点的弦且直线AB的倾斜角为θ,点A在x轴上方,则①当F是椭圆的左焦点时,|AF|=b2a-ccos②当F是椭圆的右焦点时,|AF|=b2a+ccos③焦点弦长|AB|=2a2.双曲线的焦半径公式坐标式:若F1,F2为双曲线的两个焦点,P(x0,y0)为双曲线上任意一点,则①|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(焦点在x轴上).②|PF1|=|a+ey0|,|PF2|=|a-ey0|(焦点在y轴上).倾斜角式:若双曲线的焦点在x轴上,过焦点的弦所在直线的倾斜角为θ,交双曲线的同一支于A,B两点,点A在x轴上方,则①当F是双曲线的左焦点时,|AF|=b2a+ccos②当F是双曲线的右焦点时,|AF|=b2a-ccos③焦点弦长|AB|=2a3.与第三定理有关的推论(1)AB为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的不垂直于x轴的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x0,y0)(x0y0≠0),O为原点,则kOM(2)过原点的直线交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,则kPA(3)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为b24.与切线有关的结论①点M(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,过点M②点M(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外,过点M作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB③点M(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,过点M④点M(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外,过点M作双曲线的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB题组一常识题1.[教材改编]直线y=x与椭圆x22+y2=1的位置关系是2.[教材改编]已知直线y=33(x-3)与双曲线x23-y26=1相交于A,B3.[教材改编]过点P(0,1)作斜率为-1的直线l与椭圆x28+y26=1相交于A,B两点,则线段题组二常错题◆索引:不能正确判断直线与双曲线的位置关系致误;当直线与双曲线只有一个公共点时忽视直线与双曲线渐近线平行的情况致误.4.“k=±12”是“直线y=k(x-3)与双曲线x24-y2=1只有一个公共点”的5.过点(0,1)作与双曲线x23-y26直线与椭圆、双曲线的位置关系例1已知双曲线C:x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试确定实数k的取值范围,使直线l与双曲线C满足下列条件.(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)有且只有一个公共点.

总结反思(1)直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行两种情况.(2)对于过定点的直线,可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.变式题(1)已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,2)的直线l与双曲线C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有(2)若对任意的实数k,直线kx-y+1=0与椭圆x26+y2n=1恒有公共点,则实数(3)已知P(1,1),过P引双曲线x2-y22=1的两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB的方程为弦长问题例2已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当|MN|=2时,求k的值.

总结反思1.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:①|AB|=1+k2|x1-x2|=②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+12.弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立消元建立一元二次方程,设直线方程也很考究,不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式y=kx+b,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.变式题1[2025·辽南协作体三模]过椭圆C:x25+y24=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,则1|AF|A.54 B.45 C.52 变式题2[2025·山东淄博一模]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=52(1)求双曲线C的标准方程;(2)设F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若△ABF1的周长为12,求直线l的方程.

中点弦问题例3已知椭圆x22+y2(1)过椭圆的左焦点F引椭圆的割线,求截得的弦的中点P的轨迹方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程;(3)求过点M12,12

总结反思1.处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入椭圆方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,y1-(2)联立直线与椭圆的方程,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.2.双曲线中点弦存在性问题的特殊性:平面被双曲线和其渐近线划分为不同区域,只有在特定区域内的点才存在以该点为中点的弦.不妨设双曲线的焦点在x轴上,存在中点弦的区域:当点位于双曲线“张口”内(即双曲线内部)或两条渐近线的上方或下方区域时,存在中点弦;不存在中点弦的区域:当点位于双曲线与渐近线之间的区域(包括双曲线本身和渐近线上的点)时,不存在以该点为中点的弦.变式题(1)[2023·全国乙卷]设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是 (A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)(2)椭圆x24+y23=1上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则(3)[2025·安徽合肥模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于M,N两点,E是线段MN的中点,P是x轴上一点(异于原点O),且|PM|=|PN|,3OP·OE=直线与椭圆、双曲线的综合应用例4(1)(多选题)[2025·长郡中学一模]已知双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,过F2的直线l与双曲线的右支交于P,Q两点(P在第一象限),线段PQ的中点为M,△PF1F2,△QF1F2的内切圆圆心分别为I1,I2,半径分别为r1,r2,则下列结论正确的是 (A.I1,B,I2三点共线B.当直线l的斜率存在时,kPQ·kOM=3C.若r1=2r2,则直线l的斜率为6D.r1+r2的取值范围是2(2)[2022·全国甲卷]椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14A.32 B.22 C.12 变式题(1)(多选题)[2025·山东青岛二模]双曲线C:x2-y2=