全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第45讲空间向量及其运算和空间位置关系【正文】听课手册

第45讲空间向量及其运算和空间位置关系【课标要求】1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.

4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题以及平行垂直问题.1.空间向量及其有关概念名称语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线

直线l的方向向量在直线l上任取,与向量a的非零向量

共面向量平行于的向量

共线向量定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在实数λ,使

共面向量定理若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理(1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=.

(2)推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OP=xOA+yOB+zOC,若x+y+z=,则P,A,B,C四点共面

2.两个向量的数量积(1)a·b=(θ为a,b的夹角).

(2)a⊥b⇔(a,b为非零向量).

(3)|a|2=;设a=(x,y,z),则|a|=x2+3.空间向量投影(1)向量在向量上的投影向量如图①所示,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=,向量c称为向量a在向量b上的.

(2)向量在直线上的投影向量如图②所示,类似于向量向向量投影,可以将向量a向直线l投影.(3)向量在平面上的投影向量如图③所示,向量a向平面β投影,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量A'B',向量称为向量a在平面β4.向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=

向量差a-b=

数量积a·b=

共线a∥b⇒

(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b⇔

距离公式已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=

夹角公式cos<a,b>=a5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m=0常用结论1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为x12.在空间中,O为平面ABC外一点,P,A,B,C四点共面的充要条件是OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1).题组一常识题1.[教材改编]若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则下列各组向量中,能构成空间向量的一个基底的共有个.

①a,a+b,a-b;②b,a+b,a-b;③c,a+b,a-b;④a+b,a-b,a+2b.2.[教材改编]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则BM=(用向量a,b,c3.[教材改编]已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m=.

题组二常错题◆索引:忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错;向量平行与向量垂直公式混淆,导致知向量平行或垂直求参数出错.4.给出下列命题:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;④若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.其中为真命题的是.(填序号)

5.已知直线l1,l2的方向向量分别是m=(4,a,b),n=(2,5,4),若l1∥l2,则a+b=.

6.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为.

空间向量的线性运算例1(1)如图,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OM=2MA,BN=NC,则MN= ()A.23a+23b+B.23a+23b-C.-23a+12b+D.12a-23b+(2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a,b),若A,B,C三点共线,则a+b的值为 ()A.-2 B.-1C.0 D.1总结反思在向量的线性运算中,有以下几个关键点:(1)结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱(线段)的几何关系;(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.变式题如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AB,A1C1的中点.设BA=a,BB1=b,BC=c,则EF= (A.12a+b+1B.12a+12bC.a+12b+1D.b+12空间向量基本定理及其应用例2如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,BE=13BB1,DF=23DD(1)求证:A,E,C1,F四点共面;(2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求x+y+z

总结反思(1)证明空间三点P,A,B共线的方法:①PA=λPB(λ∈R);②对空间任意一点O,OP=OA+tAB(t∈R);③对空间任意一点O,OP=xOA+yOB(x+y=1).(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法:①MP=xMA+yMB;②对空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB;③对空间任意一点O(O,M,A,B不共面),OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).变式题(1)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且OM=12OA+2xOB+yOC,若M,A,B,C四点共面,则2x+y的值为 (A.2 B.1C.12 D.(2)设e1,e2是两个不共线的空间向量,若AB=2e1-e2,BC=3e1+3e2,CD=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为.

空间向量数量积及其应用例3(1)如图,已知正四面体ABCD的所有棱长都等于2,E,F分别是AB,AD的中点,则CE·CF= ()A.2 B.5C.3 D.7(2)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两之间的夹角为π3,则|AC1|的值为 A.3 B.23C.5 D.6总结反思空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算,二是利用坐标运算.变式题(1)在空间直角坐标系Oxyz中,向量a=(1,1,t)(t∈R)在平面xOy上的投影向量为m,在向量b=(-1,0,0)上的投影向量为n,则m与n的夹角为 ()A.π4 B.C.3π4 D.与t(2)如图,在正四面体OABC中,AB=1,M为OA的中点,点N在棱BC上,且BN=2NC,则M,N两点之间的距离为 ()A.12 B.C.196 D.利用空间向量证明平行或垂直例4利用空间向量知识完成本题.(1)如图①,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1?(2)如图②,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.

总结反思(1)利用向量证明平行问题①线线平行:方向向量平行.②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直.③面面平行:两平面的法向量平行.(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法.线线垂直问题证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂