全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第22讲任意角和弧度制、三角函数的概念【正文】听课手册

第四单元三角函数、解三角形第22讲任意角和弧度制、三角函数的概念【课标要求】1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.

2.借助单位圆理解三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义.1.任意角(1)定义:一条射线绕着它的旋转所成的图形.

(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.

(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角.角α的相反角记为.

(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=.

2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.

(2)公式:角α的弧度数的绝对值|α|=lr(弧长用l角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180弧长公式弧长l=

扇形的面积公式S=12lr=3.任意角的三角函数任意角的三角函数的定义(1)单位圆定义法:如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=yx(x≠0).(2)终边上任意点定义法:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,点P到原点O的距离r=|OP|=x2+y2,则sinα=,cosα=(x≠0).

常用结论(1)象限角(2)轴线角(3)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图所示).(4)若x∈0,π2,则tanx>题组一常识题1.[教材改编]下列四个说法中正确的是.(填序号)

①锐角一定是第一象限角;②终边相同的角一定相等;③小于90°的角一定是锐角;④钝角一定是第二象限角.2.[教材改编]在0到2π范围内,与角-4π3终边相同的角是3.[教材改编]已知角θ的终边经过点P(-12,5),则sinθ+cosθ=.

题组二常错题◆索引:忽视角的旋转方向致误;扇形的弧长和面积公式记忆不牢致误;不熟悉角的终边在不同象限时对应的三角函数值的符号致误.4.某次考试时间为120分钟,则从考试开始到结束,时钟的分针旋转了弧度.

5.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角(正角)的弧度数为.

6.若sinθ>0且tanθ<0,则|sinθ-cosθ|+cosθ的化简结果为.

象限角及终边相同的角例1(1)(多选题)下面与-2026°终边相同的角有 ()A.-584° B.134°C.494° D.-226°(2)(多选题)已知α是第一象限角,那么α2可能是 (A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(3)如图所示,终边落在阴影部分内的角α的集合为.

(4)终边在直线y=3x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.

总结反思1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.2.已知角α的终边所在的象限,确定kα,αk(k∈N*)的终边所在位置的方法:先写出kα或αk的取值范围,然后根据k的可能取值确定kα或α扇形的弧长、面积公式例2已知一扇形的圆心角的弧度数为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=π3,R=10,求扇形的弧长l及该弧所在的弓形的面积S(2)若扇形的周长为20,则当α等于多少时,这个扇形的面积最大?

总结反思(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.(3)解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解决.变式题(1)从半径为r的圆中剪下圆心角为α(α>0),半径为r的扇形,此扇形的周长为l1,剩余部分扇形的周长为l2,若l1l2=3+π3+2π,则(2)[2025·河南新乡二中适应性考试]如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是由两条不同的曲线构成的,其中一条是△ABC的外接圆的圆弧,另一条是以AB为直径的圆的一部分圆弧,已知∠ACB=2π3,AC=BC=1,则该“月牙形”阴影部分的面积为 (A.34+π24 B.34-π24 C.14+π24 三角函数的概念角度1三角函数定义的应用例3(1)[2025·湖北部分学校考前压轴卷]已知角α的终边经过点P(-1,2),则cos2α-sin2α的值为 ()A.45 B.-45 C.35 D(2)(多选题)[2026·唐山五校联考]以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角α的终边落在直线y=x上,则下列说法正确的是 ()A.sinα=-2B.cosα=±2C.sinα+cosα=±2D.tanα=1总结反思三角函数的定义主要应用于两方面:(1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,则一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.变式题若角α的终边落在直线y=3x上,角β的终边与单位圆交于点12,m,且sinαcosβ<0,则cosαsinβ角度2三角函数值的符号判定例4(1)(多选题)[人教A版必修第一册P185第8题改编]下列式子正确的是 ()A.sin2cos3>0B.tan125°+sin273°<0C.tan108°D.sin660°+cos198°<0(2)已知α是第二象限角,则点(cos(sinα),sin(cosα))所在的象限是 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限总结反思判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴