全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第35讲复数【正文】听课手册

第35讲复数【课标要求】1.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.

2.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的概念我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作,a叫作复数的,b叫作复数的.若,则a+bi为实数;若,则a+bi为虚数;若,则a+bi为纯虚数.

(2)复数相等:a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).

(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).

(4)复数的模:向量OZ=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作或,即|z|=|a+bi|=.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=|z|.

2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点(a,b∈R).

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O为坐标原点).3.复数的运算(1)复数的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=.(复数的加法满足交换律、结合律)

②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=.

③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=.(复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律)

④除法:z1z2=a+bic+di=(2)复数加、减运算的几何意义复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z常用结论1.in(n∈N)的周期性:①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.2.复数模的性质:①|z|2=|z|2=z·z;②|z1·z2|=|z1|·|z2|;③z1z2=|z1||z2|(z23.复数模的几何意义:①|z-z0|表示复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.4.实系数一元二次方程虚根成对:若实系数一元二次方程有虚根,则两根互为共轭复数.5.复数z在复平面内对应的点为Z:①若a≤|z|≤b,则点Z的轨迹为以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环.②若|z-(a+bi)|=r(r>0),则点Z的轨迹为以(a,b)为圆心,r为半径的圆.题组一常识题1.[教材改编]若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i为虚数,则实数m的取值集合为.

2.[教材改编]在复平面内,O是原点,向量OA对应的复数是2+i.如果点A关于实轴的对称点为B,点B关于虚轴的对称点为C,则向量OB对应的复数为,点C对应的复数为.

3.[教材改编]复数5i-24.[教材改编]已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p=,q=.

题组二常错题◆索引:将复数a+bi(a,b∈R)的虚部误认为是bi致误;复数相等的充要条件及复数的几何意义掌握不牢致误;错用虚数单位i的幂的性质致误;纯虚数的概念掌握不牢致误;不理解复数模的几何意义致误.5.若复数z=10-3+i(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为6.已知(a-i)(1-2i)=-3+bi,a,b∈R,i是虚数单位,则a+b=;若复数z=a+bi,则z在复平面内对应的点位于第象限.

7.若复数z=2-i2025,则|z|=.

8.已知a∈R,若(3+i)(1-)为纯虚数,则a=.

9.满足1≤|z-1+i|≤3的复数z在复平面内对应的点构成的图形的面积为.

复数的概念1.[2025·全国一卷](1+5i)i的虚部为 ()A.-1 B.0C.1 D.62.[2023·全国甲卷]设a∈R,(a+i)(1-)=2,则a= ()A.-2 B.-1C.1 D.23.[2025·江西鹰潭二模]复数z=a+2i(a∈R),若(2+i)·z为纯虚数,则a= ()A.4 B.-4C.1 D.-14.(多选题)已知复数z=3-i2+i,i为虚数单位,z为z的共轭复数,则下列说法正确的是 A.z=1+iB.|z-i|=5C.z4是实数D.z在复平面上对应的点在第二象限总结反思复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题时要注意将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),根据概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的答案.复数的几何意义1.[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.[2023·北京卷]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),则z的共轭复数z= ()A.1+3i B.1-3iC.-1+3i D.-1-3i3.在复平面内,O为坐标原点,复数1-i,-1+2i对应的向量分别是OM,ON,则MN对应的复数为 ()A.-2+3i B.iC.2-3i D.-i4.[2025·广东广州二模]已知复数z满足|z-2i|=1,则|z|的最小值为 ()A.0 B.1C.2 D.3总结反思(1)复数z在复平面内对应的点Z和向量OZ相互联系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),OZ=(a,b)相互一一对应.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量OZ的坐标,对于复数z=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b),复数的模即为其对应向量的模.复数的四则运算1.[2024·新课标Ⅰ卷]若zz-1=1+i,则z= (A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i2.[2023·全国甲卷]5(1+i3)A.-1 B.1C.1-i D.1+i3.[2025·浙江北斗星盟三模]若复数z满足2z+z=21+i,则z= (A.-1+13i B.1C.1-13i D.-14.(多选题)[2025·汕头一模]已知复数z0=1-i,z=x+yi(x,y∈R),则下列结论正确的是 ()A.若|z-z0|=2,则z在复平面内对应的点的轨迹是圆B.若|z-z0|+|z-z0|=2,则zC.若|z-z0|-|z-z0|=1,则zD.若z+12(z0+z总结反思(1)复数的加减法:在进行复数加减法运算时