全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第16讲导数的概念及其意义、导数的运算【正文】听课手册

第三单元一元函数的导数及其应用第16讲导数的概念及其意义、导数的运算【课标要求】1.导数概念及其意义

(1)通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.

(2)体会极限思想.

(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义.

2.导数运算

(1)能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的导数.

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如y=f(ax+b))的导数.

(3)会使用导数公式表1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数y=f(x),把比值ΔyΔx=叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx几何意义函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的图象的两端点连线的

(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:概念在x0处limΔx→k,我们称常数k为函数y=f(x)在处的导数,记作f'(x0)或y'

|几何意义f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的,其切线方程是

物理意义导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率(3)导函数当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称y=f'(x)为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=limΔ2.导数的运算基本初等函数的导数公式原函数导函数特例或推广常函数c'=0(c为常数)幂函数(xα)'=(α∈R,且α≠0)

1x'=-三角函数(sinx)'=,(cosx)'=

偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)'=(a>0,且a≠1)

(ex)'=ex对数函数(logax)'=(a>0,且a≠1)

(lnx)'=1x,(ln|x|)'=(续表)四则运算法则加减法[f(x)±g(x)]'=

∑i=1nfi(x)乘法[f(x)·g(x)]'=

[cf(x)]'=cf'(x)除法f(xf(g(x)≠0)1g(x复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”

题组一常识题1.[教材改编]已知函数f(x)=3x2,则y=f(x)在[2,6]上的平均变化率为,在x=0处的瞬时变化率为.

2.[教材改编]如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s的单位为m,t的单位为s),那么该物体在1.2s末的瞬时速度为.

3.[教材改编]曲线y=sinxx在点M(π,0)处的切线方程为题组二常错题◆索引:求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆f'(x0)与[f(x0)]';忽视f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.4.已知函数y=sin2x,则y'=.

5.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=.

6.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=,[f(2x+3)]'=.

导数的运算例1求下列函数的导数:(1)y=x2sinx;(2)y=lnx+1x(3)y=cosxex;(4)y=xsin2x+π

总结反思(1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题求下列函数的导数:(1)y=xcosx-lnxx;(2)y=(x2+2x-1)e2-(3)f(x)=5x+4;(4)f(x)=sin

导数的几何意义角度1求切线方程例2已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.

总结反思求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.变式题(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ()A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷]曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,.

角度2求参数的值(范围)例3(1)若曲线y=aex-2+x(a为常数)在点(2,2+a)处的切线方程为y=4x+b,则a+b= A.3 B.-3C.0 D.1(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

总结反思(1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.变式题(1)[2025·大连双基检测]若曲线y=ex-2x在点(0,1)处的切线与曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线的倾斜角互补,则x0= ()A.13 B.C.1 D.2(2)[2025·芜湖期末]若过点(2,t)可以作曲线y=lnx的两条切线,则实数t的取值范围是.

(3)[2025·杭州四中月考]已知函数f(x)=12sin2x.若曲线y=f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线与其在点B(x2,f(x2))处的切线相互垂直,则x1-x2的一个取值为两曲线的公切线例4(1)若直线l既和曲线C1相切,又和曲线C2相切,则称l为曲线C1和C2的公切线.曲线C1:y=x2和曲线C2:y=4ex-2的公切线方程为 ()A.4x-y-4=0 B.x-2y-4=0C.x-y+1=0 D.2x-y-2=0(2)若曲线y=lnx与曲线y=x2+2x+a(a为常数,x<0)有公切线,则实数a的取值范围是.

总结反思既与曲线y=f(x)相切又与曲线y=g(x)相切的直线叫作两曲线的公切线,这类问题的解法步骤是:(1)设直线与曲线y=f(x)相切于点P(x1,f(x1)),与曲线y=g(x)相切于点Q(x2,g(x2));(2)切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),同理切线方程也为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x