全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第27讲函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用【正文】听课手册

第27讲函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用【课标要求】1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.

2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如表所示:x

ωx+φ

y=Asin(ωx+φ)0A0-A02.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相AT=

f=1T=

题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin12x-2.[教材改编]用“五点法”作y=2sin13x-3.[教材改编]为了得到函数y=2sin2x-π6的图象,只需把y=2sin2x4.[教材改编]如图,某地一天6~14时的温度变化曲线为函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一部分,则这段曲线的函数解析式为.

题组二常错题◆索引:搞错图象应平移多少个单位长度致误;不能正确理解三角函数图象对称性的特征致误;不能准确确定函数解析式致误.5.为了得到函数y=2cos2x-π3的图象,可以将函数y=2cos2x的图象向平移6.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数x都有fπ8+x=fπ8-x,且f7.已知f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换例1(1)将函数f(x)=sin4x+π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移π6个单位长度,则得到的图象对应的函数解析式为A.y=sin2xB.y=cos2xC.y=sin2xD.y=-sin8x(2)[2025·湖北“新八校”协作体5月联考]将函数f(x)=cosωx+π6(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g(x)=sinωx的图象重合,则ω的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.8总结反思由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x,y而言的,例如左右平移时,依赖于x本身加减多少值,而不是依赖于变式题(1)函数y=sin2x-π3的图象可以由A.y=sinx的图象向右平移π6个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的1B.y=sinx的图象向左平移π3C.y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再把所得图象向右平移πD.y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移π3(2)已知函数f(x)=sin2x+π3,将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则φ的最小值为A.π12 B.C.π4 D.函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式例2(1)[2025·广西玉林重点中学二联]已知f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<πA.2cos3B.2cosxC.2cos2D.2cos3(2)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),如图,点A,B是直线y=12与函数f(x)的图象的两个交点,若|AB|=π3,则fπ3总结反思根据三角函数的图象求解析式,关键在于对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据最小正周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入;②五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.变式题(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,其中A.53 B.43 C.2 D(2)[2025·泉州四校模拟]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,f(x)的图象与y轴交于点C,且D(5,0),B(2,函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合问题例3[2025·陕西西安中学二模]某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0ωx+φ0ππ32πx25Asin(ωx+φ)020-20(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;(2)求f(x)图象的对称中心与f(x)的单调递增区间;(3)当x∈R时,求使f(x)≤1成立的x的取值范围.

总结反思三角函数的图象与性质综合问题的求解思路:(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;(2)把ωx+φ看成一个整体;(3)借助正弦函数y=sinx或余弦函数y=cosx的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.变式题(多选题)已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)-1A>0,ω>0,0<φA.A=10B.ω=πC.f(x)图象的对称轴方程为x=-2+6k,k∈ZD.f(x)在[-5,2]上的取值范围为[-1,5]三角函数模型的简单应用例4摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面的高度为120m,转盘直径为110m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式;(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度;(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1).参考公式与数据:sinθ+sinφ=2sinθ+φ2·cosθ-φ2;cosθ-cosφ=-2sinθ+φ

总结反思三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.变式题(1)时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20℃,气温上升到约30℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温y(℃)随时间x(时)的变化趋势近似满足函数y=10sinπ8x-5π4+25,则在6时~A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时(2)(多选题)如图,水利