全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第16讲导数的概念及其意义、导数的运算【答案】作业手册

第三单元一元函数的导数及其应用第16讲导数的概念及其意义、导数的运算1.D[解析]对于A,4'=0,故A错误;对于B,(3x)'=3x·ln3,故B错误;对于C,(lnx)'=1x,故C错误;对于D,(x5)'=5x4,故D正确2.B[解析]函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于f(2)-f(0)2-0=42=2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x3.B[解析]由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f(0)=1,f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.4.B[解析]由导数的定义可知,limΔ-limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=-f'(1),又5.C[解析]设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,则b=2,-2k+b=0,解得k=1,b=2,所以曲线y=f(x)在x6.ABC[解析]对于A,由f(x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx-sinx,则f″(x)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx),因为x∈0,π2,所以sinx>0,cosx>0,所以f″(x)=-(sinx+cosx)<0,所以此函数在0,π2上是凸函数;对于B,由f(x)=lnx-2x,得f'(x)=1x-2,则f″(x)=-1x2,因为x∈0,π2,所以f″(x)=-1x2<0,所以此函数在0,π2上是凸函数;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,则f″(x)=-6x,因为x∈0,π2,所以f″(x)=-6x<0,所以此函数在0,π2上是凸函数;对于D,由f(x)=-xe-x,得f'(x)=-e-x+xe-x,则f″(x)=e-x+e-x-xe-x7.-32[解析]因为f(x)=2xf'π3+sinx,所以f'(x)=2f'π3+cosx,令x=π3,则f'π3=2f'π3+cosπ3,解得f'π3=-12,令x=2π3,则f'2π8.4[解析]方法一:对于y=ex+x+a,其导函数为y'=ex+1,令y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所以切点坐标为(0,5).因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.方法二:对于y=ex+x+a,其导函数为y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标为(x0,y0),则ex0+1=2,9.解:方法一:设直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(x0,y0),由f'(x)=2e2x,得f'(x0)=2e2解得x0=0,则y0=e2则切点坐标为(0,1),所以直线l的方程为y-1=2x,即y=2x+1.由y=2x+1,y=ax,得4x2+(4-a)x+1=0,则Δ=(4-a)2-16=0,解得a=8或a=0(舍去),当a方法二:设直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(x0,y0),由f'(x)=2e2x,得f'(x0)=2e2解得x0=0,则y0=e2则切点坐标为(0,1),所以直线l的方程为y-1=2x,即y=2x+1.当a>0时,函数g(x)=ax的定义域为[0,+∞),设直线l与曲线y=g(x)的切点坐标为(x1,y1),由g'(x)=a2x,得g'(x1)=a2x1=2,得a则直线l的方程为y-ax1=2(x-x1),即y=2x-2x1+则-2x1+ax1=1由①②解得x1=12,a=810.D[解析]设直线l与曲线y=x相切于点(x0,x0)(x0≥0),因为y'=12x,所以直线l的方程是y-x0=12x0(x-x0),即x-2x0y+x0=0,又直线l与圆x2+y2=15相切,所以|x0|1+(211.D[解析]由y=lnx-n+2得y'=1x.由直线y=xe+m+1与曲线y=lnx-n+2相切可得1x=1e,解得x=e,则ee+m+1=lne-n+2,即m+n=1,又m>0,n>0,所以4m+1n=4m+1n(m+n)=5+4nm+mn≥5+24nm12.BC[解析]因为f(x)=x2+2lnx,所以f'(x)=2x+2x,x>0,又f(x)的图象在A,B两点处的切线相互平行,所以f'(x1)=2x1+2x1=f'(x2)=2x2+2x2,整理得(x1-x2)1-1x1x2=0,又x1≠x2,所以x1x2=1,故C正确,D错误;因为x1+x2≥2x1x2=2,当且仅当x1=x2时取等号,但x13.y=2e[解析]由题意可知g(1)=2f(1)=2e,且g'(x)=f'(x)-f'(2-x)=ex(1+x)+e2-x(x-3),故g'(1)=0,故g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为y=2e.14.sinx(答案不唯一)[解析]正弦函数f(x)=sinx的图象是周期为2π的波浪线.因为fπ2=sinπ2=1,f'π2=cosπ2=0,所以f(x)的图象在x=π2处的切线方程为y-1=0×x-π2,即y=1.因为f5π2=sin5π2=1,f'5π2=cos5π2=0,所以f(x)的图象在x=5π2处的切线方程为y-1=0×x-5π2,即y=1.显然f(x15.解:(1)因为f'(x)=6x2-3,所以f'(0)=-3,又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x.(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=6x02-3,所以切线方程为y-y0=(6x02-3)(x将y0=2x03-3x0代入,整理可得y=3(2x02-1)x-4x03,又点P(-1,t)在切线上,所以t=-3(2x02-1)-4x要使过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则方程(*)有3个解.令g(x)=-4x3-6x2+3,则g'(x)=-12x2-12x=-12x(x+1).令g'(x)>0,可得-1<x<0.所以g(x)在(-1,0)上单调递增;令g'(x)<0,可得x<-1或x>0,所以g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减,所以g(x)在x=-1处取得极小值,在x=0处取得极大值,又g(-1)=1,g(0)=3,所以1<t<3.16.解:(1)函数f(x)的定义域为R,当a=1时,f(x)=sinx-x,则f'(x)=cosx-1≤0,所以f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间.(2)(i)因为直线l与曲线y=f(x)相切,且有无穷多个切点,所以不妨设其中任意两个切点为M(x1,sinx1-ax1),N(x2,sinx2-ax2),其中x1≠x2.因为f'(x)=cosx-a,所以曲线y=f(x)在点M,N处的切线方程分别为y=(cosx1-a)x+sinx1-x1cosx1,y=(cosx2-a)x+sinx2-x2cosx2,所以cosx1=cosx2且sinx1-x1cosx1=sinx2-x2cosx2,所以x1=x2+2kπ(k∈Z)或x1+x2=2kπ(k∈Z).①当x1=x2+2kπ(k∈Z)时,sinx1=sinx2,又因为sinx1-x1cosx1=sinx2-x2cosx2,所以(x2-x1)cosx1=0,又x2-x1≠0,所以cosx1=0;②当x1+x2=2kπ(k∈Z)时,sinx1=-sinx2,取异于M,N的另一切点E(x3,sinx3-ax3),则cosx1=cosx2=cosx3,sinx1-x1cosx1=sinx2-x2cosx2=sinx3-x3cosx3,如果sinx1=sinx3,由于x1≠x3,同①可得cosx1=0,如果sinx1=-sinx3,则sinx2=sinx3,同理可得cosx2=0,则cosx1=0.综上,cosx1=0恒成立,所以x1=π2+kπ(k∈Z),此时直线l的方程为y=-ax+sinx1故|OT|=|sinx1|=1.(ii)当直线l的方程为y=-ax+1时,设直线l和曲线y=g(x)相切于点Q(x0,g(x0))(x0>-1).因为g'(x)=(a+1)e(a+1)x-1x+1则(a+1)x0e(a+1)x0-x0x0+1=-ax0,e(a+1)x0+(a构造函数φ(x)=ex+x,因为φ(x)在R上单调递增,且φ[(a+1)x0]=φ[ln(x0+1)],所以(a+1)x0=ln(x0+1),代入(a+1)x0e(a+1)x0-x0x0+1=-ax0得ln(