全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第10讲幂函数、对勾函数与一次分式函数【正文】听课手册

第10讲幂函数、对勾函数与一次分式函数【课标要求】1.通过具体实例,结合y=x,y=1x,y=x2,y=x,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.

2.了解对勾函数的图象与性质.

3.掌握一次分式函数的值域、对称性等性质1.对勾函数的图象(1)当a,b同号时,函数f(x)=ax+bx的图象形状酷似对勾,故称“对勾函数”,其图象如图所示 (2)当a,b异号时,函数f(x)=ax+bx的图象如图所示 2.对勾函数的性质函数f(x)=ax+bx(a,b图象性质定义域(-∞,0)∪(0,+∞)值域(-∞,-2ab]∪[2ab,+∞),当且仅当ax=bx,即x=±b顶点坐标ba,奇偶性奇函数单调性在-ba,0上单调递减,在0,渐近线x=0,y=ax3.幂函数(1)定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y=xy=x2y=x3y=xy=x-1图象性质定义域RRR

值域R

R

奇偶性

函数

函数

函数

函数

函数单调性在R上单调递增在

上单调递减;在上

单调递增在R上单调递增在

上单调递增在

和

上单调递减公共点

4.一次分式函数1.定义:我们把形如y=cx+dax+b(a≠0,2.一次分式函数y=cx+dax+b(a(1)图象 (2)性质①定义域:xx≠-②对称中心:-b③渐近线方程:x=-ba和y=c④单调性:当ad>bc时,函数在区间-∞,-ba和-ba,+∞上单调递减;当ad<常用结论幂函数的性质幂函数在(0,+∞)上都有定义;当α>0时,幂函数的图象都过点(0,0)和(1,1),且在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数;当α取正整数时,定义域为R;当α取零或负整数时,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);当α取分数时,可以化为根式,利用根式的要求求定义域.题组一常识题1.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则函数f(x)=.

2.[教材改编]已知α∈-2,-1,-12,12,1,23.[教材改编]已知函数f(x)=x+ax(0<a≤2)在[-2,-1]上的最大值比最小值大12,则a=题组二常错题◆索引:对勾函数定义域出错;给定区间内忽略函数单调性求最值出错;忽略幂函数的定义域出错.4.已知函数f(x)=x+4x,则f(x)的定义域为,f(x)的值域为5.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),则a幂函数的图象和性质例1(1)已知幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd在第一象限内的图象如图所示,则 ()A.a>b>c>d B.b>c>d>aC.d>b>c>a D.c>b>d>a(2)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是 ()A.m=4 B.f(x)是减函数C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数(3)若(a+1)-2>(3-2a)-2,则a的取值范围是.

总结反思幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0且小于1,等于或小于0而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.变式题(1)已知幂函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1在其定义域上是奇函数,则m= ()A.-23或3 B.C.23 D.-(2)形如y=xα的函数称为幂函数,写出一个满足条件“函数的图象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数:f(x)=.

对勾函数的性质例2(1)已知函数f(x)=2x+42x-1-6,x∈[1,4],求函数(2)对于任意x∈[1,+∞),g(x)=x2+4x+5x+1

总结反思(1)牢记对勾函数解析式的特征及其图象拐点、单调区间、最值等;(2)善于识别并可以将代数式变形转化为对勾函数形式再解决最值、恒成立等有关问题.变式题(1)设f(x)=(x+a)2,x≤0,x+1xA.[-1,0] B.[-1,2]C.[-2,-1] D.[-2,0](2)若对任意x∈R,不等式3x2-2ax≥|x|-34恒成立,则实数a的取值范围是一次分式函数及其应用例3已知函数f(x)=ax+2-ax+1(1)当函数f(x)的图象关于点P(-1,3)对称时,求a的值;(2)若函数f(x)在(-1,+∞)上单调递