2025年福州二模数学试卷及答案

2025年福州二模数学试卷及答案一、单选题1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=k}，若A∪B=A，则实数k的取值范围是（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}【答案】C【解析】A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A，故k=2，所以实数k的取值范围是{2}。2.函数f(x)=2^x+1/x在区间(0,1]上的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.无穷大【答案】C【解析】f'(x)=2^x·ln2-1/x^2，令f'(x)=0，得2^x·ln2=1/x^2，解得x≈0.5，f(0.5)≈3，又当x→0时，f(x)→+∞，故最小值为3。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，cosC=1/2，则△ABC的面积是（）（2分）A.3√3/2B.3√2/2C.3D.3√3【答案】A【解析】由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-6=7，c=√7，面积S=1/2absinC=1/2×2×3×√3/2=3√3/2。4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】f(2)=f(0)+f(2)，故f(0)=0，f(3)=f(1)+f(2)=1+f(2)，f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)，f(5)=f(3)+f(2)=1+3f(2)，又f(5)=f(3)+f(2)=1+2f(2)，联立解得f(2)=1，f(5)=2。5.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）i=1;s=0;whilei<=5dos=s+i;i=i+1;endA.15B.10C.1D.0【答案】A【解析】循环5次，s=1+2+3+4+5=15。6.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，E是PC的中点，则下列结论中正确的是（）（2分）A.VE-BCB.VE-PDC.VE-ACD.VE-AD【答案】C【解析】取CD中点F，连接EF，则EF∥AC，EF⊥平面PCD，VE⊂平面VEF，故VE⊥AC。7.函数y=lg(3x-2)的图像向右平移2个单位后得到的函数图像的解析式是（）（2分）A.y=lg(3x-8)B.y=lg(3x+4)C.y=lg(3x-4)D.y=lg(3x-10)【答案】C【解析】y=lg[3(x-2)-2]=lg(3x-8)。8.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=9，则a_9的值是（）（2分）A.17B.19C.21D.23【答案】C【解析】设公差为d，a_5=a_1+4d=9，解得d=2，a_9=a_1+8d=1+16=17。9.某校有高三学生300人，其中男生200人，女生100人，现要抽取一个样本容量为30的简单随机样本，采用系统抽样的方法是（）（2分）A.将300名学生随机编号，然后从第1个到第30个依次抽取B.将300名学生随机编号，然后每隔10个抽取1人C.将300名学生随机编号，然后采用分层抽样D.将300名学生随机编号，然后采用整群抽样【答案】B【解析】系统抽样是将总体均分为若干部分，每部分抽取一个，故每隔10个抽取1人。10.已知向量a=(1，2)，b=(3，-1)，则向量a+2b的坐标是（）（1分）A.(4，1)B.(6，1)C.(4，-1)D.(6，-1)【答案】A【解析】a+2b=(1+2×3，2+2×(-1))=(7，0)。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下命题中，正确的是（）A.若a>b，则a^2>b^2B.若f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x∈R成立C.若直线l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3D.若△ABC是等腰三角形，则sinA=sinB【答案】B、C【解析】A不正确，如a=2，b=-3；B正确，偶函数定义；C正确，平行传递性；D不正确，等腰三角形不一定等角。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列结论中正确的是（）A.若a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形B.若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC是钝角三角形C.若△ABC是等边三角形，则a^2+b^2=c^2D.若a>b，则cosA<cosB【答案】A、B【解析】A正确，勾股定理；B正确，最大角为C，sinC=5/3>1不可能，故为钝角；C不正确，等边三角形a=b=c；D不正确，锐角三角形余弦为正，大角对大边。3.关于函数f(x)=x^3-3x+1，下列说法中正确的是（）A.f(x)在(-∞，1)上单调递增B.f(x)在(1，+∞)上单调递减C.f(x)在(-∞，1)上单调递减D.f(x)在(1，+∞)上单调递增【答案】A、D【解析】f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f(x)在(-∞，-1)上递增，(-1，1)上递减，(-1，+∞)上递增，故A、D正确。4.在等比数列{a_n}中，a_2=2，a_4=8，则下列结论中正确的是（）A.a_3=4B.a_5=16C.a_6=32D.a_7=64【答案】A、B、C【解析】设公比为q，a_4=a_2q^2，q=2，a_3=a_2q=4，a_5=a_4q=16，a_6=a_4q^2=32，a_7=a_4q^3=64。5.关于直线l：ax+by+c=0，下列说法中正确的是（）A.若a=0，则l平行于x轴B.若b=0，则l平行于y轴C.若a=b=c=0，则l过原点D.若a≠0且b≠0，则l不过原点【答案】A、B、C【解析】A正确，l:y=-c/b；B正确，l:x=-c/a；C正确，l:0=0；D不正确，l:ax+by=0过原点。三、填空题（每题4分，共20分）1.若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值是2，则实数a的值是__________。【答案】-1或3【解析】f(x)在x=a或x=1处取最小值，|a-1|=2，解得a=-1或3。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是__________。【答案】3/5【解析】由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16+25-9)/(2×4×5)=3/5。3.某校高三年级有6个班级，每个班级要抽取2名学生参加环保活动，采用分层抽样的方法是__________。【答案】将6个班级按1:1:1:1:1:1的比例各抽取2人4.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=8，则数列的前n项和S_n的表达式是__________。【答案】S_n=n(n+1)【解析】设公差为d，a_5=a_1+4d=8，d=1.5，S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[4+1.5(n-1)]=n(n+1)。5.函数f(x)=2^x-1的图像关于直线x=1对称的函数解析式是__________。【答案】f(x)=1/2^(x-2)【解析】y=2^(1-x)-1，令t=1-x，得y=1/2^t-1，即f(x)=1/2^(x-2)。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a>b，则log_a(b)>log_b(a)（）【答案】（×）【解析】如a=2，b=1，log_2(1)=0，log_1(2)无意义。2.若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x)在(-∞，0)上单调递减（）【答案】（×）【解析】f(x)在(-∞，0)上单调递增。3.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形（）【答案】（√）【解析】由勾股定理，3^2+4^2=5^2，故为直角三角形。4.若函数f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在(-∞，1)上单调递减（）【答案】（√）【解析】f'(x)=2x-2，令f'(x)=0，得x=1，f(x)在(-∞，1)上递减。5.在等比数列{a_n}中，若a_1=a，a_2=2a，则公比q=2（）【答案】（√）【解析】q=a_2/a_1=2a/a=2。五、简答题（每题5分，共10分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的极值。【解】f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f''(x)=6x-6，当x=1-√3/3时，f''(x)<0，极小值为f(1-√3/3)=10√3/27-4/3；当x=1+√3/3时，f''(x)>0，极大值为f(1+√3/3)=-10√3/27+4/3。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求△ABC的面积。【解】由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(7+9-4)/(2×√7×3)=√7/7，sinA=√1-(√7/7)^2=2√6/7，面积S=1/2×2×√7×3×2√6/7=6√6。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|，讨论函数的单调性。【解】f(x)在(-∞，a)上递减，(a，1)上递增，(1，+∞)上递增。当x=a或x=1时取最小值。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，求证{a_n}是等比数列。【证明】a_1=S_1=1，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故a_n/a_{n-1}=2，{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosB，并判断△ABC的形状。【解】由余弦定理，cosB