平行投影和中心投影

中心投影与平行投影

学问点一中心投影与平行投影

I、投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。其投影的大小随物体与投影中心间距

离的变更而变更，所以其投影不能反映物体的实形.

3、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平

行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。在平行

投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形全等；

(1)(2)(3)

4、中心投影与平行投影的区分与联系

（I）中心投影后的图形与原图形相比虽然变更较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果

一样，最像原来的物体，画实际效果图时，一般用中心投影法；

（2）平行投影形成的直观图那么能比拟精确地反映原来物体的形态和特征。画立体几何中

的直观图形时一般用平行投影法。

例1、推断以下命题是否正确

（1）直线的平行投影肯定为直线

（2）一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段

（3）矩形的平行投影肯定是矩形

（4）两条相交直线的平行投影可以平行

学问点二三视图

1、概念:视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。线自物体由前向后投射所

得投影称为主视图或正视图。光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。光线自物

体由左向右投射所得投影称为左视图。

2、三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐;视受――［至普一一I

长对正：主视图与俯视图的长应对正…工齐

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等|-----I

例2、画出以下几何体的三视图

分析：一般先画主视图，其次画俯视图，最终画左视图。画的时候把轮廓线要画出

来，被遮住的轮廓线要画成虚线。解：这二个几何体的三视图如下

例3、如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位：cm)

变式1、如图，E、F分别为正方形的面ADDiAi、BCGBi的中心，那么四边形BFD】E在该

正方体的面上的正投影不行能为

变式2、三视图如下，试推断该几何体的形态

主视图

俯机圉

变式3、个物体由几块一样的正方体组成,其三视图如下图，试据图答复以下问题:

(D该物体有多少层？(2)该物体的最高局部位于哪里？

(3)该物体一共由几个小正方体构成？

【解】(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来.

(2)该物体最高局部位于左侧第一排和其次排.

(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；

其次排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体

构成.

学问点三直观图———斜二测画法

根本步骤如下：

1、建系：在图形中取相互垂直的X轴和y轴，得到直角坐标系xoy,直观图中画成斜

坐标系x'o'y',两轴夹侑为45。.

2、平行不变：图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X,或y'

轴的线段.

3、长度规则：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的

线段，长度为原来的一半.

例4、(1)画水平放置的一个直角二角形的直观图；

(2)画楂长为4cm的正方体的直观图.

解：(1)画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，在的直角三角形4比’中取直角边切所在的直线为A■轴，与比、垂直的直线为y

轴，画出对应的V轴和了轴，使Nx'0y=45.

其次步，在/轴上取OC'=8C,过C作)，，轴的平行线，取

第三步，连接40,即得到该直角三角形的直观图.

(2)画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，作水平放置的正方形的直观图力〃切，使/84)=45,八8=467〃,4)=25!.

其次步，过力作z'轴，使/84z'=90.分别过点反C,。作z'轴的平行线，在z'轴及这

组平行线上分别截取/W=B8'=CC=DE/=4cm.

第三步，连接A'kB'UCTy.OW,所得图形就是正方体的直观图.

点评：直观图的斜二测画法的关键之处在「将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂

直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半〃的方法确定出点，最终连线即得

直观图.留意被遮挡的局部画成虚线.

变式1、以下图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

变式2、如以下图所示，梯形Age。是一平面图形A8CD的直观图.假设

A4=-G4=2,AR=0'R=I•请画出原来的平面几何图形的形态，并求

3

原图形的面积.

解：如图，建立直角坐标系X0,在X轴上截取。。=O刀1=1；OC=O'C,=2.

在过点〃的y轴的平行线上截取D4=2〃A=2.

在过点1的x轴的平行线上截取AB=A,&=2.

连接80,即得到了原图形.

由作法可知，原四边形/!庞〃是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角

腰长度为AD=2,厅以面积为S=2X2=5.

2

变式3、利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图肯定是三角形：

②正方形的直观图肯定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图肯定是菱形.

以上结论正确的选项是

(B)

A.①②B.①C.③④D.①②③④

稳固练习一：

1、两条相交直线的平行投影是()

A、两条相交直线B、一条直线

C、一条折线D、两条相交直线或一条直线

2、假如一个三角形的平行投影仍是一个三角形，那么以下结论中正确的选项是()

A、内心的平行投影还是内心B、重心的平行投影还是重心

C、垂心的平行投影还是垂心D、外心的平行投影还是外心

3、以下说法正确的选项是()

A、矩形的平行投影肯定是矩形B、梯形的平行投影肯定是梯形或线段

C、正方形的平行投影肯定是矩形D、正方形的平行投影肯定是菱形

4、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，以下说法中不正确的选项是()

A、直线或线段的平行投影仍是直线或线段

B、平行直线的平行投影仍是平行的直线

C、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

D、在同始终线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

5、从投影的角度来看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的

空间图形

6、矩形的平行投影肯定是矩形7、梯形的平行投影肯定是梯形

8、平行四边形的投影可能是正方形9、两条相交直线的投影可能平行

10、当直线或线段不平行于投射线时，直线或线段的平行投影仍是直线或线段

11、平行直线的平行投影仍是平行的直线

12、与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

13、在同始终线或平行线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

14、假如一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，肯定是这个三角

形的平行投影的对应的中位线。

15、空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。

16、假如图形所在的平面不平行于投射线，那么以下说法正确的选项是()

A,矩形的平行投影肯定是矩形B,梯形的平行投影肯定是梯形

C、正方形的平行投影肯定是矩形D、正方形的平行投影肯定是菱形

17、投射线与投射面垂直为平行投影叫做o

18、一个点光源把一个图形照耀到一个平面上，就是他在这个平面上的中心

投影。

19、在物体的平行投影中，假如,那么称这样的平行投影为

正投影。

20、___________是做出匚何体三视图的依据。

1.D；2、A；3、B；4.B；

5、对；6、错；7、错；8、对；9、错；1（）、对11、错12、对13、对；14、对；15、对

16、B；17、正投影18、这个图形的影子19、投射线与投射面垂直20、正投影

稳固练习二：

一、选择题：

1.以下投影是中心投影的是（）

A.三视图B.人的视觉C.斜二测画法D.人在中午太阳光下的投影

2.以下投影是平行投影的是（）

A.俯视图B.路灯底下一个变长的身影

C.将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上.D.以•只白炽灯为光源的皮影

3.如右图所示的圆锥的左视图为1）

O<O

A.B.C.D.

4.假设一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，那么该几何体可能是

（）

5.以下几何体中，主视图、左视图、俯视图一样的几何体是（）

A.球和圆柱B.圆柱和圆锥C.正方体的圆柱D.球和正方体

6.一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简洁组合体的三视图中，肯定含有（）

7.以下图（1）、（2）、（3）分别是左图的（）

A.主视图、左视图、俯视图B.主视图、俯视图、左视图

C.左视图、主视图、俯视图I）.俯视图、左视图、主视图

8.假如用□表示一个立方体，用彩表示两个立方体叠加，用■表示三个

立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是

)

10.主视图与左视图的高要保持_____,主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视

图的宽度应。

11.放幻灯是利用投影，进展工程制图或技术图样采纳

投影的方法。

12.假如一个几何体的视图之一是三角形，那么这个几何体可能有

(写出两个几何体即可).

三、解答题：

13.画出以下几何体的三视图.

仔

⑵(3)

如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块

的个数，请画出它的主视图和左视图。

15.画出如图的三视图(单位:mm).

16.右图是一个多面体的绽开图，每个面内都标注了字母，请依据要求答复以下问题:

(1)这个几何体是什么体？

(2)假如面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？

(3)假如面F在前面，从左面看是面B,那么哪一个面会在上面？

(4)从右边看是面C,面D在后面，那么哪一个面会在上面？

17.等腰梯形上底边CQ=1,腰4>=。8=梃，下底AB=3,按平行于上、下底边取x

轴，那么直观图4HC77的面积为.

18.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为.

参考答案

一、选择题：

1.B（由中心投影的定义）2.A（由平行投影的定义）3.C（由左视图画法得）4.C（由圆锥

的定义知）5.D（球和正方体的性质知）6.C（旋转体中含与轴垂直的投影是圆）7.A（组合

体上面是圆锥，下面是圆台俯视图是圆中加一个点）8.B（底部是个十字架，有5个小正方

体）

二、填空题：

9.左（比照三个视图）；1。.平齐，对正，相等（由三视图的作法）11.中心，平行（由两

个投影的定义可知）

12.圆锥、三棱锥、三棱柱（如三棱镜一样的三棱柱）

三、解答题：

13.画三视图之前，先把几何体的构造弄清晰：（1）为正四棱台；（2）是圆台和球组成的几

何体；（3）是六棱柱与圆柱的组合体.绘制三视图时要洛被遮挡的部为用虚线。

14.画主视图时，先看俯视图从左至右共几列：共3列命名为A、B、C（命

名的目的是为了下文表达，详细画图时，可以不命名），并横画连续的三

个正方形（如图1）接着看各列上的最大数字，A、B、C三列上，从上至下

分别画4、3、3个正方形（包括图1中正方形）如图2.而左视图时，假设

视察者站在俯视图的左例，从左至右共4列，命名为M、N、A、B（C）,并画连续的4个正方

形（如图3）,再看M、N航班、A、B列上的最大数字分别是3、3、4、3.并在图3对应位工

上画正方形，使M、N、A、B列上正方形个数为3、3、4、3（如图4）.因此，图2和图4就是

所画的主视图和左视图.

15.三视图如图所在地示（单位:mm）.

/单付mm）

16.（1）长方体;⑵面F;（3）面A.（可用一个长方体的橡皮，按题意标上A,B,C,D,E,F,

旋转到适当位置即可是到答案.）

17.旦18.巫

24

中心投影与平行投影

1.i条直线在平面上的正投影是（）

A.宜线B.点C.线段D.直线或点

【答案】D

2.一个几何体是由上、下两局部构成的一个组合体，其三视图如下图，那么这个组合

体的上、下两局部分别是（）

甘甘

iEwffl侦视图

©

帕视图

A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱

C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱D.上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱

【答案】A

3.4ABC,选定的投影面与△力比所在平面平行，那么经过中心投影后得到的△

A'C与△力成'（）

A.全等B.相像

C.不相像D.以上都不对

【答案】B

4.（2021•济南高一检测）以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图一样的是

（）

【答案】D

5.（2021•湖南高考）某几何体的正视图和侧视图均如图1―2—13所示，那么该几何体

的俯视图不行能是（）

【答案】D

图1一2—14

6.太阳光线与地面成60°的角，照耀在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长

是（如图1一2—14）,那么皮球的直径是.

【解析】设球半径为必由题意得戊=2兆〃£=1岫，/CED=60°,

：.DC=DEs\n60°=15.

【答案】15

7.如图1—2—15所示的三视图表示的几何体是

图1-2-15

【解析】该三视图表示的是一个四棱台.

【答案】四棱台

8.一个几何体的正视图为一个三角形，那么这个几何体可能是以下几何体中的

（填入全部可能的几何体前的编号）.