平面向量的线性运算及基本定理（精讲）

10.1平面向量的线性运算及基本定理（精讲）

一.向量的有关概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的车零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：长度相等且方向相反的向量.

二.向量的线性运算

向量运算法则（或几何意义）运算律

交换律：a+%=%+a

加法

aa结合律：(a+3)+c=〃+(♦+c)

三角形法则平行四边形法则

——♦—♦—

减法a—b=a+(­b)

儿瑞意义

面=|2而

a)=(4。〃

当2>0时，a］的方向与3的方向相同；

数乘a+〃)a=Xa

当水（）时，2%的方向与］的方向相反；

4a+1)=/.a+4

当2=0时，AU=0

三.向量共线定理

向量；（；W0）与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使

①向量共线定理中规定向量;#6,因为如果;=6,

当8时，6=幺6,2可以是任意实数；

当Er。时，b=;o,无值不存在.

②当向量a,6同向时，z>0,当向量a,E反向时，A<0.

四.平面向量基本定理

条件S，3是同一平面内的两个不共线向量

1ULUL

结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数九，X2»使Q=Mei+22e2

ULULIXHL

基底若与不共线，把｛当，e?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

五.平面向量的坐标运算

IXI1I1

1.设a=(xi,yt)fb=(X2,»)则a+b=(xi+、2,W+竺)a—b=(»—X2,yL”)

I£

2a=(Zti,).y\)|a|=奸+何.

22

2,设力⑶，y\),8(X2，㈤，则成＞=(X2—X|，J^2—^I)|AB|=7(x2-x))+(y2-yj

3.平面向量共线的坐标表示

11111

（1）设a=（xi,y\）,b=（x2,户），其中bW,则a〃b=项以一工2凹=0

xi+》2y\+向

.....................[2,2J

（3）已知△ABC的顶点4a1,户），8（X2,户），C（X3,g）,

Xl+x2+x3yi

[3，

考点一平面向量的概念辨析

【例11】（2022•全国•高三专题练习）给出如下命题：

①向量方的长度与向量现的长度相等；

②向量G与B平行，则G与5的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量方与向量而是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上.

其中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，向量方与向量0,长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量G与5平行时，。或5为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量而与丽是共线向量，点A,B,C,。不一定在同•条直线上，故⑤错误.

综上，正确的命题是①③.

故选：B.

【例12】(2023•全国•高三对口高考)下列各命题中正确的命题是.

①所有的单位向量都相等；

②向量的模是一个正实数：

③中，必有就+0=0：

④若点［均为非零向量,则向+历|与而+3一定相等;

⑤若£与否同向，且|。|>,|,则)>3；

⑥由于。的方向不确定，故。不与任何非零向量平行；

⑦若1/4，则存在唯一实数4,使成立；

⑧设最鼻是平面内两个已知向量，则对平面内的任意向量2,存在唯一实数对x,户使得+成

立；

⑨“"C中，D,E,〃分别是边3CC448的中点，则而+而十孑=6；

【答案】③⑨

【解析】①单位向量都是模长为1的向量，但方向不一定相同，错；

②零向量的模为0,错

③“8C中力力十万^+^3=急一正=6，对；

④若3］均为非零向量,仅当£3同向共线时|句+|司=|£+3|,皓；

⑤若)与否同向，且|。|>|修，由于向量没有大小之分，不存在错；

⑥由于0的方向不确定，故0与任何非零向量平行，错；

⑦若£//九且£为非零向量时存在唯一实数％,使B=成立，错；

⑧设录,最是平面内两个己知向量，仅当为不共线向量时，对平面内的任意向量G,存在唯一实数对》,

产使得4=,叫+歹6，成立，错；

⑨△/出C中，D,E,歹分别是边8C,C44B的中点，则

1一___1___1一_I______一一-

Ab+BE+CF=-(AB+AC)+-(BA+BC)+-(CA+CB)=-(AB^AC^-BA+BC+CA+CB)=Of对；

故答案为：③⑨

【一隅三反】

1.(2023秋•福建厦门•高三福建省厦门第二中学校考开学考试)下列命题不正确的是()

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

故选：C.

3.（2022・全国•高三专题练习）下列说法正确的是（）

①有向线段三要素是始点、方向、长度：

②向量两要素是大小和方向；

③同向且等长的有向线段表示同一向量；

④在平行四边形力中，AB=DC.

A.①B,①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【解析】由有向线段、向量、同•向量的定义可以判断①②③正确，

由平行四边形的性质可知X6=QC,48//OC,显然④正确，故选：D

考点二平面向量的线性运算及基本定理

【例21】（2023秋・广东•高三统考阶段练习）已知△力4c的重心为O,则向量的=（）

2一1一7ULU-1uuu'

A.—ABT—ACB.—ABT—AC

3333

2—1——2—1——

C.—AB—ACD.—AB—AC

3333

【答案】B

【解析】设瓦解。分别是AC,AB.BC的中点,

由于O是三角形A8C的重心，

所以而=1砺=|乂（荏-砌=+（3衣_矶=_|荔+；痈

故选：B.

【例22】（2023秋・云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）在“BC中，点。在边8c所在直线上，碇=2万,

若而=x万+y而，则（）

13

B.x=——,y=-

2-2

31

D.

【答案】B

【解析】

•.•前=2瓦，..・丽=；豆，

QQ__________1_____2

/.AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=——AB「AC,

2222

又4D=x4B+y/iC,所以》=-!，了=].故选：B.

22

【一隅三反】

1.12023•海南海口•海南华侨中学改考二模)如图，在△川?C中，£是力8的中点，BD=2~DC,FC=^AF,EF

与AD交于点M,则而=()

3—3—3—3—2—8—3—4一

A.-AB+-ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

【答案】A

【解析】在“8C中，设戒=2而,/leR,由丽=2友，可得而=§羽+§祝，故

...-1—2—

AM=AAD=-AAB+-ZAC.

33

又E是力8的中点，FC=^~AF,所以布=2荏，就=：万，所以俞=4而=：/1荏+万.

由点及三点共线，可得7(2+竽22=1,解得力=°3，

3914

---3一3一

=-AB+-AC.

147

故选：A.

2.(2022・四川成都•双流中学校考模拟预测)如图，在平行四边形ABC。中，BE=-2BC,DF=3qDE,若

34

万=万，则义一〃=()

3I1

A.-B.——C.—D.0

21212

【答案】D

【解析】在平行四边形43co中，BEy2BC,DF=3：DE,

34

所以"=而+而=而+3瓦=而+?反+国

4

=万+1而T而）=：而+：茄，

若工/二％48+〃/。，贝ij%=〃=（,则4-4=0.

故选：D.

3.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）在△力4c中，点。是8c的中点，点£在4。上，且

BE=^BA+ABC,~AE=xBA+yBC,则义方一歹=.

【答案】［

【解析】依题意而=益+丽=而+；瑟，又点E在4D上，且阮=；丽+说，

所以8E=28彳+28C=lA4+2；15。，所以±+2/1=1,解得4=2,

3333

一1一2一

即BE=-BA+-BD,

33

————1—2-22?--1—

所以4E=48+8E=4B+-ZM+-4O=——BA+-BD=—一BA+-BC,

333333

______2\

y,AE=xBA+yBC»目『以工=一§,»

1<|5

所以亚-y=gx--=

故答案为：-焉

考点三平面向量的共线定理

【例31】（2023•全国•高三专题练习）已知2,B是不共线向量，且而="55,BC=-2a+Sb，CD=3（a-b）,

则（）

A.R,B,。三点共线B.A,8,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

【答案】A

【解析】因为而=d+56，BC=-2a+Sb»CD=3（a-b）,

所以丽=沅+而=一2£+砺+3£—3右=工+5否=而，

所以A,B,。三点共线，故A正确，

因为万，/；是不共线向量，若存在实数%使得赤=7元，则。+55=-2/15+84，

所以4=1",显然方程无解,

5=oZ

所以不存在实数4使得而=义/，所以A,B,C三点不共线，故B错误：

同理8,C,。三点也不共线，故C错误；

又元二刀+册=(G+5®+(-2G+8®=-a+\3b,

所以不存在实数/使得就=/前，故A,C,。三点不共线，故D错误；

故选：A

【例32】(2022秋•四川绵阳•高三盐亭中学校考阶段练习)已知向量薪为平面向量的一组基底，且

AB=e1+mZ~AD=n7}+e^,若4B,D三点共线，则实数应该满足的条件为()

A.〃?+〃=1B.m+n--1

C.inn=-1D.mn-1

【答案】D

【解析】：若4B,。二点共线，.•.赤〃诟.•.万=4而

，■——•,一—•.•—•—•/—•—•\

又AB=备+nie2,AD=nex+e2/.e(+me2=2("q+e2J

___fA/?=1

又卬e,为平面向量的一组基底・•・，・•.小〃=1故选：D.

【例33】(2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习)已知向量而=(百1)，3=(0,-1),h内四,

若;一2：与G共线，则，的值为()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】由向量而=(石」)，/i=(0-l),G=(/,G),可得薪-2G=(石,3),

因为0-2；与A共线，可得，x3="x石，解得/=1.故选：D.

【一隅三反】

1.(2022•四川成都•高三四川省成都市新都一中统考阶段练习)三知丽=£+弦，NP=-2(a-4b),

PQ=3(a-b),则()

A.M,M尸三点共线B.M,N,0三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,。三点共线

【答案】B

【解析】•.•而=一2不+M,夙=3(G-B),

：.NQ=NP+PQ=^.a+Sb+3(a-b)=7+52

-MN=a+5b，：.MN=NQ,

由平面向最共线定理可知，硒与而为共线向量，

又•.•丽与福有公共点N,，时，N,。三点共线，

故选：B.

2.(2023•陕西榆林)在下列各组向展中，可以作为基底的一组是()

A.4=(0,0),&=(1,1)

B.召=(-1,2)4=(5,-10)

C.4=(3,5),&=(-3,-5)

D.召=(2,-3),&=(2,-前

xQ1

【答案】D

【解析】对于A,0xl-0xl=0,所以I，I共线，不能作为基底：

对于B,-lx(-10)-2x5=0,所以1共线，不能作为基底；

对于C,3x(-5)-(-3)x5=0,所以I，1共线，不能作为基底；

3一一

对于D,2X(-；)-(-3)X2H0,所以q,e2不共线，可以作为基底.

故选：D.

3.(2023・全国•高三专题练习)已知S,为数列｛%｝的前〃项和，q=2,%=4,平面内三个不共线的向量

函函反满足反=(>%)方+(%7+%讨用心2,N)若点4SC在同一条直线上，则

〃20：4=.

【答案】4

【解析】:4反。三点共线，...1一%+。1+。〃+|=1,即牝+|=/-。小，

又％=2,出=4,数列｛2｝为：2,4,2,-2,-4,一2,2,4,2,-2,…,

，数列｛凡｝是以6为周期的周期数列，=4x337+2=%=4.故答案为：4.

考点四平面向量的坐标运算

【例41】(2023秋•黑龙江牡丹江)(多选)已知向量1=(2,0),6=(1,1),则()

A.B.45-3^=(5,-3)

C.可以作为平面向量的一个基底D.(a-b)//b

【答案】BC

【解析】选项A,mi=2,i昨应,即解围A错误;

选项B,45-3^=(5,-3),B正确;

选项C,2x1-0x1工0,即25不共线，即I石可以作为平面向量的一个基底，C正确；

选项D,5-d=(l,-l),由lx(_])-lxlw0,即不-r与5不共线，D错误.

故选：BC

【例42】(2023春・江西宜春)(多选)己知平面向量)=(-2,1),3=(4,2),c=(2,/),则下列说法正确的是

()

A.若a"c，则7=—1B.若B_LC，则/=—4

C.若〔=1,则向量£在"上的投影向量为;CD.若/>-4,则向量坂与"的夹角为锐角

【答案】AB

【解析】对于A,若则-2-2=0解得y-1,故A正确；

对于B,若否可得3.)=0，即4x2+2/=。，解得f=-4,或B正确：

对于C,若E=l,e=(2,l),

a-cc3-

则向量1在工上的投影向量为下「后二一三。，故c错误；

klM5

对于D,若/>-4,则选=4x2+2/>0，所以cos佐〉=前>0,

但当"1时，6=(4,2)=2?,此时同向，其夹角为0。，故D错误.

故选:AB.

【一隅三反】

1.(2023秋•山东青岛•高三统考开学考试)设G=(-l,2),5=(4㈤，若万4,则B+k()

A.5B.2亚C.20D.25

【答案】A

【解析】«=(-!,2),B=(4,k),若"，则有小E=-1X4+2攵=0,解得上=2,

则有。+5=(-1,2)+(4,2)=(3,4),得|万+可=正+42=5.

故选:A

2.(2023・全国•高三专题练习)已知向量；=(1,2),力=(-1,1)捻=(肛2