湖南市雅礼中学2026届高三下学期高考模拟（二）（月考十）数学+答案

高三模拟卷(二)数学::注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合AtarER2<2},则AZ的真子集有A.5个B.6个C.7个D.8个3.已知向量a=(m,2),b=(m,m),则"m=2"是"a/b"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4·log2sin15+log2Cos15A.1B.2C.3D.45.从长度为1,3,5,7,9的5根木棒中随机选择3根,则能构成三角形的概率是A.0.3B.0.4C.0.5D.0.66.已知点P(cosa,sina)到点A(4m,3m10)的距离为d,则d的最小值是A.4B.5C.6D.77.某海岛核污水中含有多种放射性物质,其中放射性物质3H含量非常高,它可以进入生物体内,还可以在体内停留,并引起基因突变,但却难以被清除.现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是:M=M,·2o·8t(其中M,为3H的初始质量).则当3H的质量衰减为最初 A.20年B.15年C.12年D.10年数学试题(H10)第1页(共5页)数学试题(H10)第2页(共5页)数学试题(H10)AB=2、a,AFB=120",则双曲线C的离心率为A·2B.J3C.、/5D.、/7二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.·则下列结论正确的有A.x的虚部是iB·之的共轭复数是1iC.x在复平面内对应的点在第二象限D·4=lz4332已知函数f()int2+满足f+f且fftm)9则33211.某商场举办有奖摸球活动,盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球,每次摸球后不放回,直到盒中无球为止,记为一轮活动.规则如下:第1次摸球:从10个球中随机抽取一个;第k次摸球(2k9):若在前k1次摸球中未出现编号为k的球,则本次直接获得k号球;否则,从盒中剩余的球中随机抽取一个;第10次摸球:此时盒中仅剩1个球,直接取出.若第10次摸出的球编号为10,则本轮游戏结束并获奖;否则,本轮未获奖,可继续下一轮活动(每轮独立,每轮开始时球盒恢复为完整的1~10号球).下列说法正确的是A.若第1次摸到1号球,则在该轮必能获奖D.记随机变量X为最终获奖时的活动轮数,则E(X)=2数学试题(H10)第3页(共5页)数学试题(H10)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知数列a满足:对任意的正整数m,n,都有a,a,=+n,且a23,则an=·14.以ABC为底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球,并且正三棱锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为30",记正三棱锥PABC和正三棱锥QABC的四、解答题:本题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且bcosC,acosA,CCOSB成等差数列.求角A的大小;(2)若a=3、2,b+C=6,求AB+ACI的值.16.(本小题满分15分)如图所示的几何体由等高的2圆柱和4圆柱拼接而成点G为弧CD的中点9且CE,D,G四点共面.(1)证明:EC上平面BCG;(2)若直线DF与平面AFB所成角为45",求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.数学试题(H10)第4页(共5页)数学试题(H10)17.(本小题满分15分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性,小于或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(C);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率P(C)=0.5%时,求临界值C和误诊率q(C);(2)设函数f(C)=p(C)+q(C),当CE[95,105]时,求f(C)的解析式,并求f(C)在区间[95,105]的最小值.18.(本小题满分17分)数学试题(H10)第5页(共5页)数学试题(H10)已知函数f(1)=(、+1)lnza(、1).(1)若f"(1)=0,求实数a的值;(2)若0<<1时,f(x)<0恒成立,求实数a的最大值;19.(本小题满分17分)已知抛物线C:2=2PY,过点R(0,4)的动直线l交抛物线C于A,B两点,O为原点,OA上OB.(1)求抛物线C的方程;(2)过动点A作抛物线的切线m,过点O作切线m的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程;(3)在(2)的条件下,设直线OP与直线y=1交于点S,若动点T满足OP=TS,求直线RT的斜率的取值范围.高三模拟卷(二)数学::时量:120分钟满分:150分第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合AR2<2},则AZ的真子集有(C)A.5个B.6个C.7个D.8个【分析】解不等式,求出集合,根据集合交集的概念求出交集,判断真子集个数.【解析】2<2,即2<2<2,解得0<r<4,则A=tz:l0<r<4,可知AZ={1,2,3},真子集个数为231=7·【分析】由分段函数的性质,根据定义域代入求分段函数值即可.则f(f(4))=f(2)=221=3.3.已知向量a=(m,2),b=(m,m),则"m=2"是"a/b"的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据向量平行坐标关系结合充分必要条件定义判断即可.【解析】向量a=(m,2),b=(m,m),若m=2,则a=b,所以ab,若ab,则m22m=0,解得m=0或m=2,综上,"m=2"是"a/b"的充分不必要条件.4·log2in15+log2Cos15"=(B)A.1B.2C.3D.4【分析】根据对数运算结合二倍角的正弦公式化简求值即可.数学试题(H10)13数学试题(H10)145.从长度为1,3,5,7,9的5根木棒中随机选择3根,则能构成三角形的概率是(A)A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6【分析】利用列举法求解基本事件,即可由古典概型的概率公式求解.【解析】从长度为1,3,5,7,9的5根木棒中随机选择3根,所有的可能有(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9),共有10种,能构成三6.已知点P(cosa,sina)到点A(4m,3m10)的距离为d,则d的最小值是(D)A.4B.5C.6D.7【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程,根据直线与圆的位置关系,分析求解,即可得答案.【解析】因为Cos2a+in2a=1,所以点P的轨迹方程为z2十y21,点A的轨迹方程为3z4y40=0·所以d的最小值是81-=7.7.某海岛核污水中含有多种放射性物质,其中放射性物质3H含量非常高,它可以进入生物体内,还可以在体内停留,并引起基因突变,但却难以被清除.现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是:M=M,·2o·o8t(其中M,为3H的初始质量).则当3H的质量衰减为最初的A.20年B.15年C.12年D.10年【分析】由题意列出时间t的方程,解方程即可.【解析】设经过的时间为t年,IAB=2、a,AFB=120",则双曲线C的离心率为(B)A.、2B.、3C.、5D.、数学试题(H10)15【分析】设AFl=z,结合已知条件和双曲线的定义求得BFI,利用余弦定理列方程,解方程求得a,c之间的关系,由此求得离心率.【解析】如图,设双曲线C的右焦点为F1,连接AF1,BF.由双曲线的对称性可得:AFl=IBFI,AFBF1,则四边形AFBF是平行四边形,又因为AFB=120",则FAF=60",设AFl=UZ,由双曲线的定义可得BFl=IAF2a+,在AFB中,由余弦定理可得AB2=IAF2+BF22AFl·lBFl·COSLAFB,整理可得32+6ax24a2=0,解得z:=2a或z=4a(舍去),则IAFl=IBF2a,IBFl=IAFII=4a,在AFF1中,由余弦定理可得FF2AF2+AF122AFl·IAFI·COSLFAF1,整理二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.A.x的虚部是iB.x的共轭复数是1iC·x在复平面内对应的点在第二象限D.IX4=]x4A错误;之1+i的共轭复数x=1i,B正确;之对应复平面内点(1,1),在第一象限,C错误;之4=(1+i)4(2i)2=4,4=4,IXI42)4=4,所以IX144I,D正确.数学试题(H10)-16332o已知函数f(int2满足f+f(T),.且fftm)9则(BC332f【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出即可判断A,B;然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C,D即可判断.33解析因为函数f()int2)满足ff33所以21313x所以f(in(2r卧in=A错误B正确;21313x1212则f(")-sin2o即yf(的图象关于点·对称C正确;121211.某商场举办有奖摸球活动,盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球,每次摸球后不放回,直到盒中无球为止,记为一轮活动.规则如下:第1次摸球:从10个球中随机抽取一个;第k次摸球(2k9):若在前k1次摸球中未出现编号为k的球,则本次直接获得k号球;否则,从盒中剩余的球中随机抽取一个;第10次摸球:此时盒中仅剩1个球,直接取出.若第10次摸出的球编号为10,则本轮游戏结束并获奖;否则,本轮未获奖,可继续下一轮活动(每轮独立,每轮开始时球盒恢复为完整的1~10号球).下列说法正确的是(ABD)数学试题(H10)-17A.若第1次摸到1号球,则在该轮必能获奖3C·在一轮活动中获奖的概率为13D.记随机变量X为最终获奖时的活动轮数,则E(X)=2【解析】对于A选项,第1次抽到1号球,后续2,3,…,"号球全按顺序获得,该轮必能获奖,A正确;对于B选项,若第1次抽到2号球,第2次从1,3,4,…,10}中随机抽取;若第1次没抽到2号球,则第2次获得2号球·第2次抽到球的编号的期望为X×(1+3+4+…+10)+9x1x2=43g:B正确;对于C选项,一轮摸球活动中获得奖品,需要第10次获得10号球.记P,为"个球时编号为"的球留到最后的概率.第1次抽到1号球,后续2,3,…,"号球全按顺序,成功;第1次抽到"号球,失败;第1次抽到k(k=2,3,…,n1)号球,第2至k1次获得相应编号小球,第k次从剩余未摸过的{1,k+1,…,n}这"k+1个球中随机抽取,此子过程等价于规模为"k十1的原问题,且最大编号是"k+1,成功概率为pnk+1.,-t1P+P··1kn1k1k+1一+k=12一+k=122对于D选项,E(x)=limk一+k=12一+k=122选择题答题卡题号2345答案CABABDBCABD数学试题(H10)-18第II卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知数列a满足:对任意的正整数m,n,都有a,a,—amtn,且a23,则ao=243.【分析】赋值直接计算即可.【解析】由题意,令m=n=2,得a4a2·a232,令m=n=4,得as=a4·a434,令m=2,n=8,得a1o=as·a234X3=35=243.【分析】根据条件,化简所给的等式,得到zy、2,然后根据积为常数,和有最小值,进行恒等变形,利用基本不等式求z十2y的最小值.即2y2=2,所以y、2,所以z·2y=2,当且仅当x=2y时取等号,又·、2y=2,所以2,y=1时取到最小值.14.以ABC为底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球,并且正三棱锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为30",记正三棱锥PABC和正三棱锥QABC的体【分析】作图后由二面角的定义与勾股定理,列方程求出正三棱锥的高与外接球的半径之比,再得两个三棱锥的高之比·【解析】如图,数学试题(H10)-19正三棱锥PABC和正三棱锥QABC内接于同一个球,设P到底面ABC的距离为h1,Q到底面ABC的距离为h2,O为球心,由两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球,故PQ一定为球O的直径,由题意可知,R为正三角形ABC的中心,因此,PR,QR分别为正三棱锥PABC和正三棱锥QABC的高h1,h2,由PA=PB,QA=QB,CA=CB,且M为AB的中点,可得PMAB,QMAB,CMAB,则PMR为正三棱锥PABC的侧面与底面ABC所成的角,为30",不妨设h1=1,所以MR=3,RC=2MR=2、3,记球0的半径为r,于是OR=r-1,在RtORC中,由勾股定理可得,OC2=2=OR2+RC2=(r1)2+12, -12.四、解答题:本题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且bcosC,acosA,CCOSB成等差数列.-(2)若a=3、2,b+C=6,求AB+AC的值.【分析】根据已知bcosC,acosA,CcosB成等差数列,利用正弦定理"边转角",注意减元,求出角A,求角时注意角的范围.再利用余弦定理,注意到b+C,bc,b2+C2三者的联系,本考点属于高考高频考点,务必引起高度的注意.【解析】(1)由bcosC,acosA,CcosB成等差数列,可得bcosC+ccosB=2acosA,故sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,所以sin(B+c)=2sinAcosA,…………3分又AB+c=x,所以sin(B+c)=sinA,故sinA=2sinAcosA,23…23(另法:利用bcosC+ccosB=a求解)…数学试题(H10)02…11分所以IAB+AC2=(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·ACAB2AC2+2ABI·IAclCOSA=C2+b2+bc=(b+c)2bc=30,故AB+Acl=、3.……【点睛】利用正、余弦定理解三角形问题,注意使用"边转角、角转边",注意减元,求角时注意角的范围.利用余弦定理时注意到b+c,bc,b2+c2三者的联系,本考点属于高考高频考点,务必引起高度的注意.16.(本小题满分15分)如图所示的几何体由等高的2圆柱和4圆柱拼接而成点G为弧CD的中点9且C,E,DG四点共面.(1)证明:EC上平面BCG;(2)若直线DF与平面AFB所成角为45",求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.【分析(1)则由已知可得GCD=LECD=45,有GC上EC,而BC上EC,所以可由线面垂直的判定定理可证得结论.(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【解析】(1)因为点G为弧CD的中点,DC是直径,DE=DC,DE上DC,所以GCDECD=45",所以GC上EC,…3分又因为BC上平面DCE,EC平面DCE,所以BCEC,…5分又BC,GC平面BCG,BCGC=C.所以EC上平面BCG.………7分(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,数学试题(H10)12因为直线DF与平面AFB所成角为45",所以AD=AF=AB=2,则AB=(0,2,0),AG=(1,1,2),FB=(2,2,0),FD=(2,0,2),……………9分设平面BDF的法向量为n=(x:y,x),-----设平面ABG的法向量为m=(a,b,C),…17.(本小题满分15分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性,小于或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(C);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.数学试题(H10)22(1)当漏诊率P(C)=0.5%时,求临界值C和误诊率q(C);(2)设函数f(C)=p(C)+q(C),当CE[95,105]时,求f(C)的解析式,并求f(C)在区间[95,105]的最小值.【分析】(1)根据题意由第一个图可先求出C,再根据第二个图求出97.5右侧的矩形面积即可解出.(2)根据题意确定分段点100,即可得出f(c)的解析式,再根据分段函数的最值求法即可解出.【解析】(1)依题可知,左边图形第一个小矩所以(C95)XO.002=0.5%,解得C=97.5,………3分…(2)当CE[95,100]时,f(C)=p(C)+q(C)=(C95)XO.002+(100C)XO.01+5XO.002=0.008C+0.82≥0.02;………………当CE(100,105]时,f(C)=p(C)+q(C)=5XO.002+(C100)XO.012+(105C)XO.002=0.o1C0.98>0.02,…………………l2分所以f(c)在区间[95,105]上的最小值为0.02.………15分18.(本小题满分17