2027届新高考数学一轮热点复习二项式定理

2027届新高考数学一轮热点复习二项式定理知识梳理·双基自测二项式系数通项k＋1知识点二二项展开式形式上的特点1．项数为__________.2．各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为____.3．字母a按________排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按________排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.n＋1n降幂升幂知识点三二项式系数的性质归

纳

拓

展双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(

)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(

)(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(

)(6)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×(5)×

(6)×题组二走进教材[答案]

185643．(选择性必修3P38T5(1))(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为________.[答案]

－26x2题组三走向考场A．15 B．6C．－4 D．－13[答案]

B[答案]

－28考点突破·互动探究二项展开式的通项公式的应用——多维探究角度1求二项展开式中的特定项或特定项的系数[答案]

72．(2026·黑龙江新时代高中教育联合体摸底)(2x＋1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，则a3＝________.[答案]

－960[引申]本例1展开式中有理项有________项，第四项是________.角度2二项展开式中的含参问题[答案]

2角度3二项展开式中系数最大项问题[答案]

5名师点拨：1．求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：第一步：利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步：根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步：把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．【变式训练】[答案]

240[答案]

135

[答案]

60

240x6二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研A．n＝6B．只有第3项的二项式系数最大C．x4的系数为－12D．各项系数之和为－1[答案]

AC2．(2026·湖南师大附中月考)若(1－2x)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则下列结论中正确的是(

)A．a0＝1B．a4＝80C．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35[答案]

C[答案]

(1)－810

(2)－1名师点拨：赋值法的应用1．形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．2．对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．3．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，【变式训练】A．8 B．28C．70 D．252[答案]

D二项式定理的应用——多维探究角度1整除问题1．(2025·河南濮阳质检)320被10除的余数为________.[答案]

1[引申]若330＋a(0≤a≤7)被7整除，则a＝______.[答案]

6[答案]

8角度2近似计算1．028的近似值是________.(精确到小数点后三位)[答案]

1.172角度3证明不等式求证：n∈N且n≥3时，2n－1≥n＋1.名师点拨：1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．解题时要注意二项展开式的逆用．2．求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.3．由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．[答案]

9k＋8(k∈Z)2．(角度2)0.9986的近似值为________(精确到0.001)．[答案]

0.988名师讲坛·素养提升多项展开式中特定项、系数问题一、几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题(2026·浙江名校协作体联考)(1－2x)(1＋x)5的展开式中x3的系数为(

)A．－10

B．－15

C．10

D．30[答案]

A名师点拨：对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．二、几个多项式和的展开式中特定项(系数)问题1．(2026·河北衡水质检)已知(1＋2x)5＋(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a3＝________.

[答案]

－802．(2026·江西新余实验中学月考)(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的展开式中x3的系数是________.[答案]

126名师点拨：对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项再求和．或将和式化简后转化为二项展开式问题处理．三、三项展开式中特定项(系数)问题[答案]

－960名师点拨：(a＋b＋c)n展开式中特定项系数的求解方法【变式训练】A．60 B．30C．45 D．15[答案]

A2．(2025·福建百校联盟联考)(x2－x－2)3的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．[答案]

6提能训练练案[63]A组基础巩固

一、单选题A．180 B．270C．360 D．540[答案]

AA．35 B．280C．－35 D．－280[答案]

D[答案]

D4．(2026·山东新高考质检联盟联考)设(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则a2＝(

)A．84 B．56C．36 D．28[答案]

AA．10 B．32C．40 D．80[答案]

CA．4 B．6C．8 D．10[答案]

BA．2 B．8C．－5 D．－17[答案]

D8．(2026·安徽屯溪一中模拟)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是(

)A．a1＋a2＋…＋a8＝1B．f(－1)除以5所得的余数是1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8[答案]

B令x＝0，得到a0＝28，令x＝－1，得到a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，因此C错误；对原表达式的两边同时对x求导，得到－8×(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得到a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，令x＝0，得a1＝－8×27，所以2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，所以选项D错误．故选B.9．(2026·广西示范性高中调研)已知(1＋ax)(x－2)5的展开式中x3项的系数为－80，则实数a的值为(

)[答案]

A二、多选题A．x的系数为10B．第4项的二项式系数为10C．没有常数项D．各项系数的和为32[答案]

BCA．所有项的二项式系数和为128C．系数最大项为第2项D．有理项共有4项[答案]

AD[答案]

20[答案]

6[答案]

－220B组能力提升

1．(2026·湖南永州模拟)(x2－x－2y)5的展开式中，x5y2的系数为(

)A．80 B．40C．－60 D．－120[答案]

D2．(多选题)(2026·江苏如皋调研)已知二项展开式(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，下列说法正确的是(

)A．a1＝－4050B．a1＋a2＋a3＋…＋a2025＝－1D．2a2＋3a3＋4a4＋…＋2025a2025＝0[答案]

ACD对于D选项，f′(x)＝－4050(1－2x)2024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2025a2025x2024，故2a2＋3a3＋4a4＋…＋2025a2025＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋2025a2025－a1＝f′(1)＋4050＝－4050＋4050＝0，D正确．故选ACD.[答案]

－44．(2026·广东惠州调研)在(2x＋1)(3x－2)4的展开式中，含