专题03 二次根式的化简求值（举一反三）（解析版）

2/2专题03二次根式的化简求值（举一反三专项训练）【新教材苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1运用二次根式的非负性求值】 1【题型2运用数形结合法化简】 2【题型3运用乘法公式求值】 5【题型4运用分母有理化求值】 8【题型5运用整体代入法化简求值】 9【题型6运用配方法化简双重二次根式】 12【题型1运用二次根式的非负性求值】【例1】（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）已知实数a满足|2025-a|+a-2026=a，那么a-20252的值是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】D【分析】本题考查二次根式有意义的条件、去绝对值运算、利用算术平方根解方程等知识，先由二次根式有意义的条件的得到a≥2026，进而化简绝对值，得到a-2026=2025【详解】解：∵a-2026中a-2026≥0，∴a≥2026，则2025-a<0，∵|2025-a|+a-2026∴a-2025+a-2026=a，即∴a-2026=20252，则故选：D．【变式1-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）化简：x+52【答案】3【分析】本题考查二次根式的性质和有意义的条件；先根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，即可得到x【详解】解：由题可得x+2≥0∴x+5>0∴x+5故答案为：3．【变式1-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）若a，b为实数，且满足a-4+-b2【答案】4【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．根据绝对值和算术平方根的非负性得到a-4=0-b【详解】解：∵a-4+-b2∴a-4=0∴a=4,∴4a故答案为：4．【变式1-3】已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b【答案】14【详解】解：∵a∴(a∴a-1-1=0，b∴a=2，b=6∴a+b+c【题型2运用数形结合法化简】【例2】（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）实数a，b表示的数在数轴上如图所示，化简求值：a2-2ab+【答案】1-5a-【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可．【详解】解：由数轴可知：a<0<b，∴a-∵a=1-5，∴3a∴a===1-5a∴a=1-5，b=【变式2-1】如图，在数轴上点O、B、C所表示的实数分别为0、1、3，若点B到点C的距离与点O到点A的距离相等，设点A表示的实数为x．(1)写出实数x的值；(2)求x-【答案】(1)3(2)1【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，正确表示出线段长是解题的关键．（1）利用点B到点C的距离与点O到点A的距离相等，并结合A，B，C的位置列关于x的一元一次方程求解即可；（2）直接把（1）所得x的值代入进行计算即可．【详解】（1）解：∵点O，B，C所表示的数分别为0，1，3，∴BC=∵点B到点C的距离与点O到点A的距离相等，∴OA=3-1∴x=（2）解：x-【变式2-2】（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：b（2）已知x=5-2【答案】（1）0（2）4【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质、化简与混合运算，准确化简各式是解题的关键．（1）先化简各式，然后再进行计算即可；（2）先计算出x2【详解】解：（1）由数轴知：c<∴a-∴=-=-=0；（2）由x=∴x∴(9+4=(9+4=81-80-(5-4)+4=4．【变式2-3】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a=-(1)则b=_____，c=_____，bc(2)化简：a2【答案】(1)-2+2；2(2)4-【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的混合计算，化简二次根式：（1）根据数轴上两点距离计算公式可得b=a+2=-2+2，再由点C与点B（2）根据（1）所求，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】（1）解；∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，a=-∴b=∵点C与点B关于原点对称，∴c=-∴bc==-=-6+4=42故答案为：-2+2；2-2（2）解：a===4-2【题型3运用乘法公式求值】【例3】已知a=5+2(1)a2(2)a2(3)a-2【答案】(1)2(2)78-30(3)5-4【分析】此题考查二次根式的化简求值，因式分解和整式乘法运算，掌握利用提公因式法因式分解和多项式乘多项式法则是解决此题的关键．（1）先求出ab和a+（2）利用完全平方公式变形得出答案；（3）利用多项式乘多项式法则将原式展开，代入求值即可．【详解】（1）解：∵a∴ab=5∴a2（2）解：a===20-2-30=78-305（3）解：a==1-2×2=5-45【变式3-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知a=11+4，b【答案】49【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先求出a+b，ab【详解】解：∵a=11+4∴a+b=∴a====44+5=49．【变式3-2】已知x=5-2(1)求x2(2)求yx【答案】(1)20(2)8【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出x+（2）根据二次根式的减法法则求出x-y，根据二次根式的乘法法则求出本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．【详解】（1）解：∵x=5∴x∴x（2）解：∵x=5∴x∴xy=(∴yx【变式3-3】已知x1=25+3【答案】16【分析】利用完全平方公式化简求值即可．【详解】∵x1=2∴x1+∴x1【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．【题型4运用分母有理化求值】【例4】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）若x2-x-2=0，则A．1 B．13 C．233 D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，根据题意得到x2-x【详解】解：∵x2∴x2∴x=====2故选：C．【变式4-1】已知x=2+1，则代数式xA．2+1 B．2+2 C．3 D【答案】A【分析】将x的值代入代数式中，然后再分母有理化即可．【详解】解：原式=2故选：A．【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化．【变式4-2】规定a⊗b=a-A．5+45 B．5-45 C．9-45【答案】C【分析】根据新定义a⊗b=【详解】解：∵a⊗∴5===9-45故选：C．【点睛】本题考查新定义运算，涉及代数式求值、分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解决问题的关键．【变式4-3】若x=5+1A．233 B．33 C．3 D．3【答案】A【详解】试题解析：∵x＝5+1∴x2-x=x（x-1），=5+12×=1，∴x2=1+1+23=23故选A．【题型5运用整体代入法化简求值】【例5】已知a+b=-8，ab【答案】4【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答．【详解】解：∵b∴原式=64【变式5-1】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）已知a+b=(1)1(2)a【答案】(1)3(2)5【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．（1）利用分母有理化的求解方法求解即可；（2）利用完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可．【详解】（1）解：∵a+∴1a==3（2）解：∵a+b=∴a==3+2=5．【变式5-2】已知x-y=-2(1)x2(2)yx【答案】(1)13(2)14【分析】（1）将原式整理为x-（2）将原式整理为x-【详解】（1）解：x===12+1=13；（2）解：y====12+2=14．【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【变式5-3】请阅读下列材料：问题：已知x=5+2，求代数式x2-4x-7的值．小敏的做法是：根据x=5+2得x(1)已知x=5-2(2)已知x=5-1【答案】(1)-9(2)5【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出x2（2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算可得x2=3-【详解】（1）解：∵x=∴x+2∴x2∴x2∴x2（2）解：∵x=∴x2∴x3∴x3【题型6运用配方法化简双重二次根式】【例6】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b=m，ab=n，这样例如：化简7+43解：首先把7+43化为7+212，这里m=7由于4+3=7，4×3=12，42+3∴7+43仿照上面例题，解决下列问题．(1)8+215(2)11-230(3)7+40【答案】(1)5+3(2)6-【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键．（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；（2）仿照阅读材料中的方法计算即可；（3）仿照阅读材料中的方法计算即可．【详解】（1）解：8+215（2）解：11-230（3）解：7+40【变式6-1】计算2025-2024的结果是【答案】23【分析】注意到2025=45，故可将原式化为45-2506，然后探寻【详解】解：2025===23故答案为：23-【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到45-2506=【变式6-2】观察、思考、解答：2反之3-2∴3-2∴3-2(1)仿上例，化简：6-25=______，7-(2)若a+2b=m+n，则m、【答案】(1)5-1，2-3(2)【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方