2020-2021学年广东河源市源城区高二下开学考试数学试卷

第1页，共7页2021年广东省河源市XX中学高二开学考试数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为(    )A.40 B.20 C.30 D.12我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年全国高中数学联赛(安徽初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列，则1a+4b的最小值为(

A.49 B.2 C.94 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则A.14 B.12 C.2 若x，y满足x−y≤0 ,  x+y≤1 ,  x≥0 ,  则z=x+2y的最大值为(

A.2 B.32 C.1 D.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角α满足cosα=45，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是(    )A.2425 B.1625 C.925已知曲线y=x+1x上一点A(2,52)A.4x−3y+4=0 B.3x+4y+4=0

C.3x−4y+4=0 D.4x+3y+3=0设命题p：函数f(x)=2x−1在R上为单调递增函数；命题q：函数f(x)=cos2x为奇函数，则下列命题中真命题是A.p∧q B.(￢p)∨q C.(￢p)∧(￢q) D.p∧(￢q)正四棱锥的侧棱长为2，底面的边长为3，E是PA的中点，则异面直线BE与PC所成的角为(    )A.π6 B.π4 C.π3设x∈R，则“x>12”是“(1−2x)(x+1)<0”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件某几何体的三视图如下图所示，它的体积为(    )A.192π

B.240π

C.384π

D.576π设P是椭圆x225+y29=1上一点，M、N分别是两圆：(x+4)A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，其中e是自然对数的底，则(    )A.f(2019)<ef(2020) B.ef(2019)<f(2020)

C.ef(2019)>f(2020) D.ef(2019)>f(2020)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）函数f(x)=x3−3x2在集合A={2,3}中随机取一个元素m，在集合B={1,2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m,n)，则点P在圆

x2+y2=9已知椭圆x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F(−1,0)，经过点F且斜率为1的直线l与该椭圆交于C，已知点A是抛物线y=14x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．

(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率；

(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；

(Ⅲ)用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

已知直线l：x−3y+1=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．

(1)求该圆的方程；

(2)若直线：mx+y+12m=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=3，求m的值．

现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x与单位成本y统计数据如表：月份123456产量(千件)234545单位成本(元/件)737271736968(Ⅰ)试确定回归方程y=bx+a；

(Ⅱ)指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？

(Ⅲ)假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？

(参考公式：b=i=1n(xi−x如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=π3，BC=1，AB=C1C=2，点(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为211已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l：y=kx+b(b≠0)与C相交于A，B两点．

(1)记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2=k；

(2)若抛物线C上异于A，B的一点P(x0,2)(x0>0)

已知函数f(x)=ex(sinx−ax2+2a−e)，其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．

(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；

(2)当12≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0,+∞)，

2021年广东省河源市XX中学高二开学考试数学试卷答案和解析1.【答案】：由题意知，1200÷40=30，

所以系统抽样的分段间隔为30．

2.【答案】C甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；

由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+(0+2+y+1+3+6)=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，

若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，

则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a>0，b>0，

则1a+4b=14(a+b)(1a+4b)=14(1+4+ba+4ab)≥14(5+2ba⋅4ab)=14×9=94，

当且仅当b=2a=83时，1a+4b的最小值为94．

3.【答案】A解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴1m=2⇒m=14，

4.【答案】A作出不等式组x−y≤0x+y≤1x≥0表示的平面区域，

将z=x+2y变为y=−12x+z2，将其平移经过点B时，目标函数z达到最大值，

由x+y=1x=0，解得B0,1，∴zmax=0+2×1=2．

5.【答案】D解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，

∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．

6.【答案】C解：y=x+1x的导数为y'=1−1x2，可得切线的斜率为k=1−14=34，

点A处的线方程为y−52=34(x−2)，化为3x−4y+4=0，

7.【答案】D因为函数f(x)=2x−1在R上为单调递增函数；

故命题p为真命题，¬p为假命题；

因为函数f(−x)=cos(−2x)=cos2x=f(x)，故f(x)为偶函数，

故命题q为假命题，¬q为真命题；

所以p∧q为假命题．(￢p)∨q为假命题．(￢p)∧(￢q)为假命题．p∧(￢q)为真命题．

8.【答案】C解：连接AC、BD，交于点O，连接PO，

以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

∵正四棱锥的侧棱长为2，底面的边长为3，E是PA的中点，

∴OA=OB=3+32=62，OP=2−64=22，

∴A(62,0，0)，P(0,0，22)，E(64,0，24)，B(0,62,0)，C(−62,0，0)，

BE=(64,−62,24)，PC=(−62,0，−22)，设异面直线BE与PC所成的角为θ，

则cosθ=|BE⋅PC||BE|⋅|PC|=12×2=12，∴θ=π3，∴异面直线BE与PC所成的角为π3．

9.【答案】A解：(1−2x)(x+1)<0化为：(2x−1)(x+1)>0，解得：x>12，或x<−1．

∴“x>12”是“(1−2x)(x+1)<0”的充分不必要条件．

10.【答案】B解：有三视图可知：该几何体为上半部分为一个半径长度为6的半球，

下半部分为一个底面半径为6，高为8的圆锥组成的组合体．

其体积为V=12×43π×63+13π×62×8=240π．

11.【答案】C解：∵两圆圆心F1(−4,0)，F2(4,0)恰好是椭圆x225+y29=1的焦点，

∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，

∴(|PM|+|PN|)min=|PF1|+|PF2|−2r=10−2=8．

(|PM|+|PN|)max=|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12．

12.【答案】B解：设g(x)=f(x)ex，则g'(x)=f'(x)−f(x)ex，

∵f(x)<f'(x)，即f'(x)−f(x)>0，又ex>0；

∴g'(x)>0，∴g(x)是R上的增函数；∴g(2019)<g(2020)；

∴f(2019)e2019<f(2020)e2020；∴ef(2019)<f(2020)，

13.【答案】2解：f'(x)=3x2−6x

令f'(x)=3x2−6x=0得x1=0，x2=2且x∈(−∞,0)时，f'(x)>0；

x∈(0,2)时，f'(x)<0；x∈(2,+∞)时，f'(x)>0故f(x)在x=2出取得极小值．

14.【答案】13解：由题意可得点P(m,n)的所有结果有(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概率．

记“点P在圆x2+y2=9内部”为事件A，即m2+n2<9，则A包含的结果有(2,1)(2,2)共2种情况．由古典概率的计算公式可得P(A)=26=13

15.【答案】247解：由椭圆的焦点在x轴上，则a2=4，所以椭圆方程：x24+y23=1，

则直线CD的方程为y=x+1，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，

联立方程组y=x+1x24+y23=1，消去y，整理得：7x2+8x−8=0，所以△=288>0，x1+x2=−87，x1x19.【答案】解：(1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元/件)，作散点图如图．

由图知y与x间呈线性相关关系．

设线性回归方程为y=bx+a，其中x−=3.5，y−=71，

由公式可求得b≈−1.818，a≈77.363，

∴回归方程为y=−1.818x+77.363；

(2)由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元．

(3)当y=70时，70=−1.818x+77.363，得x≈4.050千件．

∴单位成本是70元/件时，产量约为4050件．

20.【答案】(1)证明：∵BC=1，CC1=2，∠BCC1=π3，

∴BC1=3，

∴BC2+BC12=CC12，∴BC1⊥BC，

又AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，

又AB∩BC=B，AB、BC⊂平面ABC，

∴C1B⊥平面ABC；

(2)以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则B(0,0设平面A1EB1的法向量为m=(a,b，c)，则m⋅EB1=0m⋅B1A1=0，即−32a+32b=02c=0,

令a=1，求得m=(1,3,0)；

cos<n，m>=n⋅m|n|×|m|=1×1+3×3+1×01+3+1×1+3+0=255，

∴二面角A−EB1−A1的余弦值为255；

(3)假设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，

不妨设CM=λCA，λ∈[0,1]；又CM=(xM−1,yM,zM)，CA=(−1,0，2)；

即xM−1=−λyM=0,zM=2λ，所以M(1−λ,0，2λ)；

所以EM=(12−λ,−32,2λ)，平面A1B1E的法向量为m=(1,3,0)；则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cos<EM，m>|=|EM⋅