2020-2021学年北京市通州区高二下期末数学试卷

北京市通州区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合A={x|−1<x<3}，B={x|0<x≤4}，则A∪B=（

）A.

( 0,3 )

B.

(−1,42.命题“∀x∈R，x2A.

∀x∈R，x2−2x+3>0

B.

∀x∈R，x2−2x+3≤0

C.

∃x∈R，x2−2x+3<0

3.在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（

）A.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

②④4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A.

r2<r4<r3<r1

B.

5.A，B，C，D，E五个人站成一排，A和C分别站在B的两边（可以与B相邻，也可以与B不相邻）的不同站法共有（

）A.

12种

B.

16种

C.

28种

D.

40种6.在(x−1A.

15

B.

-15

C.

30

D.

-307.学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是34，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是14，若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是A.

38

B.

58

C.

716

D.

98.“|x|<|y|”是“lnx<A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件9.已知指数函数f(x)=ax，将函数f(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则A.

±3

B.

3

C.

±3

D.

310.已知f(x)={(12)xA.

(−∞,0)

B.

[0,2)

C.

[0,4)

D.

[2,4)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.函数f（x）=lnx+1−x的定义域为________．12.已知变量x和变量y的一组随机观测数据(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70).如果y关于x的经验回归方程是y=6.5x+17.5，那么当x=513.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X≤0)=0.214.袋中有4个红球和1个白球，每次从袋中不放回地随机摸出一球，一旦摸出白球即停止摸球，并记此时摸球次数为X，则E(X)=________.15.已知x>0，y>0，x24+三、解答题（本大题共85分）16.已知函数y=f(x)是图象经过点(2,4)的幂函数，函数y=g(x)是定义域为R的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，g(x)=f(x)−2x.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求当x∈(−∞,0)时函数y=g(x)的解析式，并在给定的坐标系中画出y=g(x)（x∈R）的图象（Ⅲ）写出函数y=g(x)（x∈R）的单调区间.17.已知函数f(x)=x2+ax−2（1）当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥(2a−1)x−6在(0,2]上恒成立，求a的最大值.18.已知函数f(x)=3x，g(x)=|x+a|−2（（Ⅰ）若函数y=f(g(x))是偶函数，求a；（Ⅱ）若函数y=g(f(x))存在两个零点，求a的取值范围.19.某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销量y吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图.xyti=1i=1i=1i=10.331030.16410068350表中t=1（Ⅰ）根据散点图判断，y=bx+a与y=（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；（Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？（经验回归方程y=bx+a中，20.为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm表1单位：人性别身高合计<170≥170女811697男2875103合计10991200表2单位：人性别身高合计<170≥170女15621男91019合计241640（1）利用表1，通过比较不低于170cm（2）利用表2，依据α=0.05的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义：（3）以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原因是什么？（χ2=n21.设函数f(x)的定义域为I，集合M={f(x)|f(x+1)>2f(x),∀x∈I}.（1）若I=R，f(x)=3x，求证：（2）若I=(0,1]，g(x)=a+log2x，若g(x)∈M（3）设I=[−1,1]，h(x)=−x2+ax+a−5，a∈R.讨论函数h(x)

答案解析一、单选题1.已知集合A={x|−1<x<3}，B={x|0<x≤4}，则A∪B=（

）A.

( 0,3 )

B.

(−1,4【答案】D【考点】并集及其运算【解析】【解答】因为集合A={x|−1<x<3}，B={x|0<x≤4}，所以A∪B=(−1,4].故答案为：D.

【分析】根据并集的定义即可求出答案。2.命题“∀x∈R，x2A.

∀x∈R，x2−2x+3>0

B.

∀x∈R，x2−2x+3≤0

C.

∃x∈R，x2−2x+3<0

【答案】D【考点】命题的否定【解析】【解答】因为命题“∀x∈R，x2则该题命题的否定是：∃x∈R，x2故答案为：D．

【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定.3.在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（

）A.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

②④【答案】C【考点】两个变量的线性相关【解析】【解答】解：由图可知，②③中的点集中在一条直线的附近，所以图②③中的两个变量具有线性相关关系，故答案为：C

【分析】由图可知，②③中的点集中在一条直线的附近，所以图②③中的两个变量具有线性相关关系，可得答案。4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A.

r2<r4<r3<r1

B.

【答案】A【考点】散点图【解析】【解答】解：由散点图可知，图1和图3是正相关，图2和图4是负相关，所以r1从散点图可知，图1和图2中的点比图3和图4中点更加集中，所以图1和图2的相关性较强，所以r1>r故答案为：A

【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小.5.A，B，C，D，E五个人站成一排，A和C分别站在B的两边（可以与B相邻，也可以与B不相邻）的不同站法共有（

）A.

12种

B.

16种

C.

28种

D.

40种【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】按A和C中间人数分以下三种情况：（1）A和C中间1人，必是B，则A和C排法A22，三人捆绑，与其他2人全排A3（2）A和C中间2人，一人是B，B选位置C21，再选一人放中间C21，A和C排法（3）A和C中间3人，则A和C排法A22，其他三人在中间全排A3综上，不同站法有12+16+12=40种.故答案为：D.

【分析】只考虑A、B、C三个人的排列情况即可，求出ABC站成一排以及A和C站在B的两边的情况，计算可得答案。6.在(x−1A.

15

B.

-15

C.

30

D.

-30【答案】A【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】Tr+1令6−3r=0，得r=2，所以常数项是T3故答案为：A

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，再由已知条件令6−3r=0，得r=2，代入数值计算出结果即可。7.学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是34，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是14，若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是A.

38

B.

58

C.

716

D.

9【答案】B【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】设A1表示早餐去A餐厅用餐，B1表示早餐去B餐厅用餐，A2表示午餐去A餐厅用餐，且P(由全概率公式可得P(P(A故答案为：B.

【分析】设A1表示早餐去A餐厅用餐，B1表示早餐去B餐厅用餐，A28.“|x|<|y|”是“lnx<A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由题意，利用对数函数性质可知：lnx<lny⇒0<x<y⇒|x|<|y|，故必要性成立，而|x|<|y|⇒ln|x|<ln|y|，但不能确定x,y是否小于0，小于0时函数无意义，故|x|<|y|故答案为：B.

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．9.已知指数函数f(x)=ax，将函数f(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则A.

±3

B.

3

C.

±3

D.

3【答案】D【考点】指数函数的图象变换【解析】【解答】解：将函数f(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，则g(x)=3a再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为y=3a因为所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，所以3a2=1，a2=3故答案为：D

【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可.10.已知f(x)={(12)xA.

(−∞,0)

B.

[0,2)

C.

[0,4)

D.

[2,4)【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】【解答】解：当a<0时，f(x)={(12)x,x≤a,x当a=0时，f(x)={(12)x,x≤0x2,x>0，则f(−x)=当a>0时，当0<x≤a时，f(x)=(12)x由f(x)=f(−x)，得(12)当x>a时，f(x)=x2，−x<−a<0<a，则由f(x)=f(−x)，得x2=(12)−x=2综上，0≤a<2，故答案为：B

【分析】由a>0，分类写出f(x)

,f(-x)

,由f(x)=f(-x)有两解，画图可得正数a的取值范围.二、填空题11.函数f（x）=lnx+1−x的定义域为________．【答案】{x｜0＜x≤1}【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】解：∵函数f（x）=lnx+1−x，∴{x>01−x≥0，

解得0＜x≤1；

∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．

故答案为：{x|0＜x≤1}．12.已知变量x和变量y的一组随机观测数据(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70).如果y关于x的经验回归方程是y=6.5x+17.5，那么当x=5【答案】10【考点】线性回归方程【解析】【解答】由已知条件可知：当x=5时，观测值为60，将x=5代入回归方程y=6.5x+17.5可得y所以残差等于60−50=10，故答案为：10.

【分析】根据回归直线方程经过样本数据中心点求解即可。13.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X≤0)=0.2【答案】0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为随机变量X服从正态分布N(1,σ2所以P(0≤X≤1)=0.5−0.2=0.3，所以P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.3，所以P(X<2)=0.5+0.3=0.8故答案为：0.8.

【分析】根据正态分布的性质进行求解即可。14.袋中有4个红球和1个白球，每次从袋中不放回地随机摸出一球，一旦摸出白球即停止摸球，并记此时摸球次数为X，则E(X)=________.【答案】3【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5，则P(X=1)=15，P(X=2)=4P(X=4)=45×所以E(X)=1×1故答案为：3

【分析】由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5，求出对应的概率，然后求解期望即可.15.已知x>0，y>0，x24+【答案】2【考点】柯西不等式的几何意义【解析】【解答】由柯西不等式得(所以1×2⩾(x2+y)2所以x2+y⩽2

【分析】由柯西不等式得(x24+y三、解答题16.已知函数y=f(x)是图象经过点(2,4)的幂函数，函数y=g(x)是定义域为R的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，g(x)=f(x)−2x.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求当x∈(−∞,0)时函数y=g(x)的解析式，并在给定的坐标系中画出y=g(x)（x∈R）的图象（Ⅲ）写出函数y=g(x)（x∈R）的单调区间.【答案】（Ⅰ）设y=f(x)=x则4=（Ⅱ）∵f(x)=x∴当x≥0时g(x)=设x<0,则−x>0，∵y=g(x)是R上的奇函数∴g(x)=−g(−x)=−[即当x<0时，∴g(x)=−图象如下图所示：（Ⅲ）由y=g(x)在R上的图象可知：y=g(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1,+∞)，递减区间为(−1,1)【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的单调性及单调区间，函数的图象【解析】【分析】(1)利用待定系数法,设设

y=f(x)=xα

,代入点(2,4)，解指数方程即可得a值;

(2)利用偶函数的定义，设x<0,则-x>0,f(x)=f(-x)

,再代入已知解析式即可得x<0时，函数y=g

(x)的解析式，最后利用对称性画出函数图象即可;17.已知函数f(x)=x2+ax−2（1）当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥(2a−1)x−6在(0,2]上恒成立，求a的最大值.【答案】（1）解：当a=1时，由f(x)<0得，x2+x−2<0，即(x−1)(x+2)<0，解得所以不等式的解集为(−2,1)

（2）由f(x)≥(2a−1)x−6，得x2所以问题转化为x2+(1−a)x+4≥0在即a≤x+4x+1因为x∈(0,2]，所以x+4x+1≥2x⋅4所以x+4所以a≤5，所以a的最大值为5【考点】函数恒成立问题，一元二次不等式的解法，基本不等式【解析】【分析】（1）当

a=1

时，由

f(x)<0

得，x2+x−2<0

，解一元二次不等式可得不等式

f(x)<0（2）问题转化为

x2+(1−a)x+4≥0

在

(0,2]

上恒成立，即

a≤x+4x+1

在

(0,2]

上恒成立，

再根据基本不等式即可求出

18.已知函数f(x)=3x，g(x)=|x+a|−2（（Ⅰ）若函数y=f(g(x))是偶函数，求a；（Ⅱ）若函数y=g(f(x))存在两个零点，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）y=f(g(x))=3则f(g(−x))=3|−x+a|−2=f(g(x))可得|x+a|=|−x+a|，所以(x+a)可得2ax=0对于x∈R恒成立，所以a=0，（Ⅱ）g(f(x))=|f(x)+a|−2=|3若a≥0时，g(f(x))=3x+a−2当a<0时，g(f(x))=|3则g(f(x))在(−∞,log3(−a))所以g(f(x))当x<log3(−a)时，−3【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质【解析】【分析】（Ⅰ）

写出函数y=f(g(x))

的解析式，利用偶函数定义求解即可；

（Ⅱ）由方程

g(f(x))=0有两个根，分析求出a的范围而得解。19.某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销量y吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图.xyti=1i=1i=1i=10.331030.16410068350表中t=1（Ⅰ）根据散点图判断，y=bx+a与y=（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；（Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？（经验回归方程y=bx+a中，【答案】（Ⅰ）根据散点图可知，y=cx−1+（Ⅱ）令t=1x，则所以c=i=1所以d=y所以y=故y关于x的经验回归方程为y=（Ⅲ）一天的利润为W=y(x−0.25)=(≤6.25−5×2x×当且仅当x=0.25x即所以预计每吨定价为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元.【考点】基本不等式，散点图，线性回归方程【解析】【分析】(1)直接由散点图的形状进行判断即可；

(2)令t=1x，则

y=ct+d,先利用公式求出c和d的值，从而得到y关于x的回归方程；20.为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm表1单位：人性别身高合计<170≥170女811697男2875103合计10991200表2单位：人性别身高合计<170≥170女15621男91019合计241640（1）利用表1，通过比较不低于170cm（2）利用表2，依据α=0.05的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义：（3）以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原因是什么？（χ2=n【答案】（1）女学生身高低于170cm,不低于170cm男学生身高低于