《与方向角、坡角有关的应用问题》课件

第2课时与方向角、坡角有关的应用问题R·九年级下册状元成才路状元成才路新课导入前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知道方位角的概念吗？

从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。

提问今天我们要学习的内容就与方位角有关.状元成才路状元成才路学习目标：1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.

2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.状元成才路状元成才路例1

一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？方向角类型的解直角三角形问题知识点1推进新课思考：根据题意，你能画出示意图吗？状元成才路状元成才路提问结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？PA=80，∠A=65°，∠B=34°.要求的问题是什么？你能写出解答过程吗？PB之间的距离.状元成才路状元成才路解：如图在Rt△APC中，

PC=PA·cos（90°-65°）

=80×cos25°≈72.505．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=，∴PB=

=≈130（nmile）．状元成才路状元成才路

a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.

你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？问状元成才路状元成才路练习1.海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？状元成才路状元成才路60°北南西东BDA30°状元成才路状元成才路E解：过A点作AE⊥BD于E点.易证∠A=∠ABD=30°，∴AD=BD=12nmile.∴AE=AD·sin60°=12×没有触礁危险.状元成才路状元成才路坡度类型的解直角三角形问题知识点2Lhα问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？提问你能根据图示给出坡度的定义吗？状元成才路状元成才路坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为.坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则tanα=.12状元成才路状元成才路练习2.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE=6m，斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1:3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：

（1）坡角α

和β的度数；（2）斜坡AB的长(结果保留小数点后一位)．状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路解：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，

利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m，

∴BF＝9m，由勾股定理得AB≈10.8m.1.已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（）A.南偏东50° B.南偏东40°C.北偏东50° D.北偏东40°D随堂演练基础巩固状元成才路状元成才路2.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5m，则这两棵树在坡面上的距离AB为

m.（结果保留根号）状元成才路状元成才路3.为方便行人横过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).

状元成才路状元成才路解：，AC=5，∴BC=1.5×5=7.5.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路综合应用4.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=,在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，∴AF=CF=5.00，∴AC=CF=5≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF

=+3.40-5.00≈1.29(m).状元成才路状元成才路课堂小结方向角坡度

从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.

坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为.状元成才路状元成才路拓展延伸海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁，一艘轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为32nmile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域?状元成才路状元成才路解：如图，∠PAB=30°，AP=32.∴PB=AP=16（nmile）.

∴PB＜16nmile，轮船有触礁危险.状元成才路状元成才路又∵AP=32，PC=16，∴∠PAC=45°,∴α=15°.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.∴轮船自A处开始至少沿南偏东75°方向航行,才能安全通过这一海域.状元成才路状元成才路1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路习题28.2复习巩固1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）c=8，；（2）b=7，;（3）a=5，b=12.2.如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m，∠B＝36°，求中柱AD（D为底边中点）和上弦AB的长？（结果保留小数点后两位）状元成才路状元成才路解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=5×tan36°≈3.6(m).状元成才路状元成才路3.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝16°31′。求飞机A到指挥台B的距离？（结果保留整数）状元成才路状元成才路解：由题意可知，在Rt△ABC中，因此飞机A到指挥台B的距离约为4221m.状元成才路状元成才路4.从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，帆船距灯塔有多远？（结果保留整数）状元成才路状元成才路解：如图所示，由题意可得∠B=21°，AC=55m.因此帆船距灯塔约143m.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。解：由题意可得：答：斜坡上相邻两树间的距离约为6.0m.状元成才路状元成才路综合运用6.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知∠A，c，写出解Rt△ABC的过程；（2）已知∠A，a，写出解Rt△ABC的过程；（3）已知a，c，写出解Rt△ABC的过程；状元成才路状元成才路(1)∠B=180°-90°-∠A=90°-∠A，

a=c·sinA，b=c·cosA；由sinA=，求出∠A，∠B=90°－∠A.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路7.如图，一座金字塔被发现时，顶部已荡然无存，但底部未曾受损.已知金字塔的下底面是一个边长为130m的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高（结果取整数？）解：设这座金字塔原来高xm，由题意得∴x=65×tan65°≈139.答：这座金字塔原来高约139m.状元成才路状元成才路8.如图，一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°，这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？状元成才路状元成才路解：在Rt△ALR中，AL=AR·sin∠ARL=6×sin43°≈4.092(km),LR=AR·cos∠ARL=6×cos43°≈4.388(km).在Rt△BRL中，BL=RL·tan∠BRL≈4.388×tan45.54°≈4.472(km)，状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路9.为方便行人横过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).解：，AC=5，∴BC=1.5×5=7.5.状元成才路状元成才路10.海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁.一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为32nmile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域?综合运用状元成才路状元成才路解：如图，∠PAB=30°，AP=32.∴PB=AP=16（nmile）.

∴PB＜16nmile，轮船有触礁危险.状元成才路状元成才路又∵AP=32，PC=16，∴∠PAC=45°,∴α=15°.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.∴轮船自A处开始至少沿南偏东75°方向航行,才能安全通过这一海域.状元成才路状元成才路11.根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取整数）.状元成才路状元成才路解：如图，过B作直线分别垂直AD于D，CE于E，在Rt△ABD中，∠BAD=62°，AB=1700km.∴BD=AB·sin∠BAD=1700×sin62°，AD=AB·cos∠BAD=1700×cos62°.状元成才路状元成才路在Rt△BCE中，∠BCE=54°，BC=2720km,∴BE=BC·sin∠BCE=2720×sin54°.CE=BC·cos∠BCE=2720×cos54°.S△ABC=S梯形ADEC-S△ABD-S△BCE状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路1.从下往上看,视线与水平线的夹角叫做

,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做

.

2.在解决实际问题时,可以直接或通过作辅助线,构造出直角三角形,化归为解

的问题来解决.

学前温故新课早知仰角

俯角直角三角形1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:(1)将实际问题抽象为

(画出平面图形,转化为

的问题);

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等

;

(3)得到

的答案;

(4)得到

的答案.

2.如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽为6m,坝高为24m,斜坡AB的坡角A为45°,斜坡CD的坡角D的正切值为,则坡底AD的长为(

)数学问题

解直角三角形

解直角三角形

数学问题

实际问题

C学前温故新课早知3.如图,小明先从A地沿北偏东30°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时小明离A地

m.

100学前温故新课早知1.航海问题【例1】在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处,经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距8km的C处.分析速度=路程÷时间,因此(1)中关键是求出BC间的距离,而由题意易知,∠BAC=90°,故可由勾股定理知BC的长度.(2)中,看轮船能否行至码头,主要是考虑直线BC与直线l的交点所处的位置,若在MN间,则能行至码头MN靠岸,否则不能.(1)求该轮船航行的速度;(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.点拨本题是近年来解直角三角形中较新颖的试题.本题的切入点宽,解法多.如第(2)问,也可以先以A为原点,l为x轴建立平面直角坐标系,再求出直线BC的解析式,最后求BC与x轴交点的坐标.这也是一种方法.2.拦水坝、渠道及修路问题【例2】

水务部门为加强防汛工作,决定对某水库进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示,已知迎水面AB的长为10m,∠B=60°,背水面DC的长度为10m,加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE的长为5m.(1)已知需加固的大坝长为100m,求需要填方多少立方米;(2)求新大坝背水面DE的坡度.分析(1)过点A,D分别作出高AF,DG,在Rt△ABF中,先求出AF的长度,即DG的长度,再求出S△DCE,进而求得需要填方的体积;(2)利用勾股定理依次求得CG,EG的长度,从而求得大坝背水坡的坡度.解:(1)分别过点A,D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为点F,G,如图所示.

点拨当给出的条件是坡面长度或坡度大小时,