2024-2025学年北京十三中分校八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京十三中分校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.(2分)下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.5B.8C.1D.0.22.(2分)以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A.2，3，4B.2，2，7C.5，12，13D.2，3，63.(2分)下列计算，正确的是（）A.1B.4C.12D.4×94.(2分)在复习特殊的平行四边形时.某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（）A.①，对角相等B.③，有一组邻边相等C.②，对角线互相垂直D.④，有一个角是直角5.(2分)关于一次函数y=x−1，下列说法不正确的是（）A.函数图象经过第一、三、四象限B.函数图象与y轴交点为(0,1)C.函数值y随x的增大而增大D.函数图象可由直线y=x向下平移1个单位长度得到6.(2分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，点F为AB中点，连接EF，若∠DOC=64∘，则A.26B.32C.42D.587.(2分)2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以《数学之美》为题的纪念邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示)。在探究勾股定理时，我们可以利用图2证得相关结论.如图2，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB<BC，∠A=∠C=90∘，△EAB≌△BCD，连接DE.设AB=a，BC=b，DE=c①a+b<c；②a+b>a2+上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③8.(2分)在学习了函数相关知识后，学习小组的同学借助图形计算器探究函数y=bx(x−a)2的图象.他们输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象.请你借助学习函数的经验，推断输入的aA.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）9.(2分)若二次根式a−2有意义，则实数a的取值范围是.10.(2分)已知正比例函数y=(m+3)x满足y随x增大而减小，则m的取值范围是11.(2分)如图，小亮利用刻度直尺（单位：cm)测量三角形纸片的尺寸.点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8.若点D和点E分别为AB、AC的中点，则DE的长为cm.12.(2分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD=BC；②OB=OD；③AB=CD.其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有(只写序号即可)。13.(2分)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是.14.(2分)作为世界上规模最大、保存最完好的古代皇宫建筑群，故宫历经几百年风雨依旧屹立不倒，这就不得不提到中国古代建筑一个凝聚匠人智慧的重要发明——榫卯结构了，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y与x之间的函数关系式为(x为正整数)。15.(2分)如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示.若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为.16.(2分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=AC=6，点M在线段AC上，且AM=2，点P为线段BD上的一个动点.(1)∠OBC=∘；(2)MP+12PB三、解答题（本大题共10小题，共68分）17.(16分)计算：(1)5−(2)21(3)3×(12+(4)18÷18.(5分)已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点.求证：BE=DF.19.(6分)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O.按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等.20.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4).(1)求直线AB的函数表达式；(2)若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标.21.(5分)放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞.此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系.如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离AB为1.6米，然后测得他与风筝的水平距离AE为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米.(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如果小明想风筝沿CE方向下降12米，则他应该往回收线多少米？22.(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，(1)求证：四边形AEFD是矩形；​(2)连接OE，若AB=5，CE=2，求OE的长.23.(6分)阅读下面材料：我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：17类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：7−请根据上述材料，解决下列问题：(1)把下列各式分子有理化：①3−2=(2)利用分子有理化的方法，比较13−11和(3)当x=______时，代数式x+1−24.(5分)如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.在学习了“三角形中位线定理”后，小明对题设和结论进行重组，得到了以下两个命题：Ⅰ.若D是AB的中点，DE=12BC，则EⅡ.若DE∥BC，DE=12BC，则D，E分别是AB(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.他的思考方法如下：在图2中用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点.小明思考步骤如下，请你在图2中帮他作图，构造反例：①通过尺规作图，找到BC边的中点M，从而BM=1②以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E，E不是AC的中点.(2)小明通过对命题Ⅱ的思考，发现这个命题是真命题，请你借助于图1帮他完成证明.25.(7分)如图，在正方形ABCD外有一点P，满足∠APB=45∘，以AP，AD为邻边作▱(1)如图1，根据题目要求补全图形；(2)连接QC，求∠DQC的度数；(3)连接AQ，猜想线段AQ，PQ和PB之间的数量关系并证明.26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)及两个图形W1和W2，若对于图形W1上任意一点P，在图形W2上总存在点P'，使得点P'是线段PM的中点，则称点P'是点P关于点(1)点P'(−2,2)是点P关于原点O的关联点，则点(2)已知，点A(−4,1)，B(−2,1)，C(−2,−1)①点P为线段BC上一点，点M(3,0).若直线y=2x+b上存在点P关于点M的关联点，求b②在y轴上是否存在点N，使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y=−x分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.2024-2025学年北京十三中分校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1、【答案】A【知识点】最简二次根式2、【答案】C【知识点】平方根,勾股定理的逆定理3、【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简4、【答案】A【知识点】多边形5、【答案】B【知识点】一次函数的性质,一次函数图象与几何变换6、【答案】B【知识点】矩形的性质7、【答案】D【知识点】勾股定理8、【答案】B【知识点】计算器—基础知识,函数的图象二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）9、【答案】a⩾2【知识点】二次根式有意义的条件10、【答案】m<−3【知识点】正比例函数的性质11、【答案】3【知识点】三角形中位线定理12、【答案】①②【知识点】平行四边形的判定13、【答案】4−【知识点】勾股定理14、【答案】y=5x+1【知识点】一次函数的应用-其他问题15、【答案】2【知识点】一元二次方程的应用-几何问题16、【答案】30,2【知识点】菱形的性质三、解答题（本大题共10小题，共68分）17、【解答】解：(1)原式==25(2)原式==−2(3)原式=6+6=6+22(4)原式=3+7−5=5.【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，∴DE=12AD∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF.【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质19、【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；(2)如图2，平行四边形ABCSD即为所求；(3)如图3，正方形ABCD即为所求.【知识点】矩形的性质,作图—应用与设计作图20、【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(2,0)，B(0,4)分别代入得解得&k=−2∴直线AB的解析式为y=−2x+4；(2)设P(t,−2t+4)∵△AOP的面积为6，∴1解得t=−1或t=5，∴P点坐标为(−1,6)或(5,−6).【知识点】点的坐标21、【解答】解：（1）如图，在Rt△CBD中，由勾股定理得，CD=B∴EC=CD+DE=20+1.6=21.6(米)；(2)设他应该往回收线x米，根据勾股定理得，(25−x)2解得x=8，即他应该往回收线8米；【知识点】相似三角形的应用22、【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90∴四边形AEFD是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD=5，∴AD=AB=BC=5，∵EC=2，∴BE=5−2=3，在Rt△ABE中，AE=A∴DF=AE=4，在Rt△AEC中，AC=A∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，∴OE=1【知识点】平方根,二次根式的性质与化简,勾股定理,菱形的性质,矩形的判定与性质23、【解答】解：（1）①3−②5+故答案为：①13+2(2)13−11∵13∴2∴13(3)x+1∵x+1⩾0，x−1⩾0，∴x⩾1，∴当x=1时，2x+1+x−1故答案为：1，大，2.【知识点】分母有理化24、【解答】解：(1)如图，DE即为所求，(2)命题Ⅱ证明如下：过D作DN∥AC，交BC于点N，∵DE∥BC，DN∥AC，∴四边形DECN是平行四边形，∴DE=CN，DN=CE，∵DE=1∴CN=1∴N为BC中点，连接EN，∵DE∥BN，DE=CN=BN，∴四边形BDEN是平行四边形，∴EN=BD，且EN∥BD，又∵DN∥AC，∴四边形ADNE是平行四边形，∴EN=AD=BD，DN=AE=CE，∴D，E分别是AB，AC的中点.【知识点】命题与定理25、【解答】解：（1）如图1，由题意补全图形如下：(2)如图2，∵四边形APQD是平行四边形，∴PQ∥AD，PQ=AD，AP=DQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD=BC,AD∥BC，∴PQ∥BC，PQ=BC，∴四边形PBCQ是平行四边形，∴PB=QC，在△ABP和△DCQ中，&AP=DQ∴△ABP≌△DCQ(SSS)∴∠DQC=∠APB=45(3)猜想线段AQ，PQ和PB之间的数量关系为：AQ如图3，过点A作AH⊥AP，交PB延长线于H，连接AH、DH、AC，AH交DQ于M，∵∠APB=45∴△APH是等腰直角三角形，∴AP=AH，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2AD，AB=AD，∴∠PAB+∠BAH=90∘，∴∠PAB=∠HAD，在△PAB和△HAD中，&AP=AH∴△PAB≌△HAD(SAS)∴∠AHD=∠APB=45∵四边形APQD是平行四边形，∴PQ=AD,AP=DQ,AP∥DQ，∴AH=DQ，∵AH⊥AP，∴AH⊥DQ，∴△DMH是等腰直角三角形，∴MH=DM，∴AH−MH=DQ−DM，即AM=QM，∴△AMQ是等腰直角三角形，∴∠AQD=45∴∠AQC=∠AQD+∠DQC=45由（2）得：PB=QC，∴AQ即线段AQ，PQ和PB之间的数量关系为AQ【知识点】四边形综