全品高考备战2027年数学一轮学生用书06培优专题(五)数列与其他知识交汇融合问题【答案】听课手册

培优专题(五)数列与其他知识交汇融合问题例1B[解析](1)证明:设等差数列{an}的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1.由a2-b2=b4-a4,得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),故a1+2d=5b1,将d=2b1代入上式,整理得a1=b1,得证.(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,得b1·2k-1=a1+(m-1)·d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,即2k-1=2m.因为1≤m≤500,所以2≤2m≤1000,由2≤2k-1≤1000,可得2≤k≤10,k∈N*,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为9.【自测题】解:(1)由题得an+1=n+2n+1an,当n≥2时,an=n+1n×nn-1×…×32×a1=n+12a1=n(2)由题意知M={2,3,4,…,n+1},则M的非空子集共有2n-1个.其中最小元素为2的集合中,含1个元素的集合有1个,含2个元素的集合有Cn-11个,含3个元素的集合有Cn故最小元素为2的子集个数为Cn-10+Cn-11同理最小元素为3的子集个数为Cn-20+Cn-21最小元素为n+1的子集个数为1.∴Sn=2×2n-1+3×2n-2+…+(n+1)20①,∴2Sn=2×2n+3×2n-1+…+(n+1)21②,由②-①得Sn=2×2n+2n-1+…+21-(n+1)=2n+1+2n-n-3=3·2n-n-3.例2解:(1)证明:因为an+1n=ann+1+1n(n+1),所以(n+1)an+1=nan+1,即(n+1)(2)令bn=nan,可得bn+1-bn=1,即{bn}是以1·a1=3为首项,1为公差的等差数列,所以bn=n+2=nan.因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,所以f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1=b1+b2x+b3x2+…+bmxm-1,将x=-2与bn=n+2代入上式,可得f'(-2)=3+4×(-2)+5×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m-1.令Sm=f'(-2)=3+4×(-2)+5×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m-1,则-2×Sm=3×(-2)+4×(-2)2+5×(-2)3+…+(m+2)×(-2)m,所以3Sm=3+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=3+(-2)×1-(-2)m-11-(-2)-(m+2)×(-2)m=73-3m+73【自测题】1.A[解析]由f(x+50)+f(x)=50,得f(x+100)+f(x+50)=50,两式作差得f(x+100)=f(x),所以f(x)的周期为100.设f(x)在[0,100]上的零点为a,则a∈(0,100),易知f(x)在[0,2000]上有20个零点,依次为a,a+100,a+200,…,a+1900.当0<a≤26时,f(x)在[0,2026]上有21个零点,依次为a,a+100,…,a+2000,其和S1=212×(a+a+2000)=21(a+1000)=21a+21000,因为a∈(0,26],所以S1∈(21000,21546];当26<a<100时,f(x)在[0,2026]上有20个零点,依次为a,a+100,…,a+1900,其和S2=10×(a+a+1900)=20a+19000,因为a∈(26,100),所以S2∈(19520,21000).综上,零点之和的取值范围为(19520,21000)∪(21000,21546],故选A2.解:(1)当n=1时,S2=3S1+2,因为S1=a1=4,所以S2=14,所以a2=10,当n≥2时,Sn=3Sn-1-2(n-1)+4,所以an+1=3an-2,所以an+1-1=3(an-1),又a1=4,a2=10,a2-1=3(a1-1)成立,所以an+1-1an所以数列{an-1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an-1=3n,所以an=3n+1.(2)因为f(x)=a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn,所以f'(x)=a1+2a2x+…+(n-1)an-1xn-2+nanxn-1,所以f'(1)=a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan=31+1+2×(32+1)+…+(n-1)×(3n-1+1)+n×(3n+1)=(31+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+3+…+n).令Tn=31+2×32+…+(n-1)×3n-1+n×3n,则3Tn=32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1,两式相减得-2Tn=31+32+…+3n-n×3n+1,所以Tn=(2n-1)×3n+14+34,所以f'(1)=(2n3(当n=1时,f'(1)=8n当n≥2时,2n-1>0,易知3n-(n+2)>0,所以f'(1)>8n综上,f'(1)≥8n例3解:(1)当点M在y轴左侧时,点M在x轴的负半轴上,C的方程为y=0(x<0);当点M在y轴右侧(包括y轴)时,点M的轨迹是以N为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.综上,C的方程为y2=4x和y=0(x<0).(2)证明:因为点P1在C上,所以(t+1)2=4t,可得t=1,依题意得Pn(xn,yn),Qn(xn+1,-yn+1),因为kPnQn=-y所以yn+1-yn=4,所以数列yn所以yn=2+4(n-1)=4n-2,则xn=yn24=(2n因为1xn+yn=1(2n-1)2+4n-2=14n2-1=1212综上,13≤Tn<1(3)由(2)得Pn(4n-2,(2n-1)2),Pn+1(4n+2,(2n+1)2),Pn+2(4n+6,(2n+3)2),所以PnPn+1=(4,8n),因为S△12|PnPn+1||PnPn+2|sin∠所以S△121212121216×64×【自测题】解:(1)证明:由x2=2y,可得y'=x,所以kP1P2=所以y1-y2=xA1(x1-x2)(又因为P2(x2,y2)为P1(x1,y1)关于A1的对称点,所以xA1=所以(*)式可化为y1-y2=x1+x22(x1-x2),即x12-x22=2(y1-y2),即x(2)(i)证明:设过Pn(xn,yn)的切线方程为y-yn=k*(x-xn).由x2=2y,y-yn=k*(x-xn),消去令Δ=0,即(k*)2-2xnk*+2yn=0,得k*=2xn±4xn2-8yn2=xn±xn2-2yn.由(1)可推得x12-2y1=x22-2y2=…=xn2-2yn,不妨设x则xn+1-x