全品高考备战2027年数学一轮备用题库02增分微课6与球有关的切、接问题【正文】听课手册

增分微课6与球有关的切、接问题类型一外接球例1(1)[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ()A.100π B.128πC.144π D.192π(2)[2023·全国乙卷]已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=.

总结反思求解多面体的外接球的主要方法:(1)构造模型法:即寻找适合题意的长方体、正方体、圆柱等几何体,借助于这些几何体迅速求得外接球半径;(2)建立直角梯形或直角三角形法:即先找到底面多边形的外心,作出外接球球心,借助于题设中的条件得到多面体的高,构成直角梯形或直角三角形来求解.变式题(1)如图,在四面体P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2,则此四面体的外接球表面积为 ()A.3π B.9πC.36π D.48π(2)[2024·漳州三模]在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P为DC的中点,将△DAP沿AP折起,把△DAP折成△SAP,使平面SAP⊥平面ABCP,则三棱锥S-ABP的外接球的表面积为.

(3)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.

类型二内切球例2已知正三棱锥的高为1,底面边长为23,则该三棱锥的内切球的半径为 ()A.52 B.3-C.12 D.2-总结反思处理与内切球相关的问题:1.解题时常用以下结论确定球心和半径:①球心在过切点且与切面垂直的直线上;②球心到各面距离相等.2.利用体积法求多面体内切球半径,即r=3V变式题[2024·广东梅州一模]某圆锥的底面直径和高均是2,则其内切球(与圆锥的底面和侧面均相切)的半径为.

类型三棱切球例3已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为23,底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切,则球O的体积为.

总结反思1.如果一个球与一个多面体的所有棱都相切,那么这个球就被称为多面体的棱切球.例如,在正方体中,棱切球的直径等于正方体的面对角线长,且球的一部分位于正方体外部,与正方体的每个面都有接触点.2.解决棱切球的基本步骤:找切点、找球心,构造直角三角形解决问题.变式题(1)正四面体P-ABC的棱长为4,若球O与正四面体的每一条棱都相切,则球O的表面积为 ()A.2π B.8πC.823π D(2)有三个球,已知球O1内切于正方体,球O2与这个正方体各棱都相切,球O3过这个正方体的各个顶点,则球O1、球O2、球O3的表面积之比为.

类型四组合体切接问题例4(多选题)某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体(如图),已知BC=AB=1,且三棱锥E-BCD的高大于三棱锥A-BCD的高,则 ()A.AB∥平面DCEB.二面角A-BC-E的余弦值小于-7C.该六面体存在外接球D.该六面体存在内切球变式题清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的全等正四面体组合而成(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).如图,若正四面体的棱长为2,则该组合体的表面积为;该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为.

类型五含动点切接问题(最值问题)例5(1)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是 ()A.18,814 C.274,643 (2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为9,则球O的表面积的最小值是.

总结反思与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点,常见的求解方法主要有以下三种:(1)转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决.(2)转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决.(3)利用不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利