离散数学-教案 -第1章1.5范式

课堂教学设计4章节（专题）第1章命题逻辑计划学时2课题（内容）1.4范式教育教学目的1.理解命题公式的简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式。2.理解范式存在定理。3.掌握极小项和主析取范式的求法。4.课程思政目标：通过范式的应用，激发学生的创新思维，提升解决实际问题的能力；通过范式的应用案例，增强学生的社会责任感。结合逻辑范式在信息安全等领域的应用，引导学生认识技术的社会影响，培养职业道德和社会责任感。教学重点及难点1.重点：析取范式和合取范式的区别与联系。2.难点：极小项与主析取范式的求法。教学方法及手段1.讲授法2.互动式教学3.多媒体辅助教学4.练习与反馈教学互动环节设计1.给定命题公式，请同学们写该公式的析取范式和合取范式。2.给定命题公式，请同学们写出该命题的极小项。3.提出逻辑问题，让学生尝试将其转化为范式，并分组讨论4.设计分层次的练习题（从简单到复杂），帮助学生逐步掌握范式转换技巧课后总结与反思命题逻辑1.4范式上次课程学习了命题的等值演算，本节课学习公式的标准型—主析取范式和主合取范式。同一真值函数所对应的所有命题公式具有相同的标准型，这为判断两命题公式是否等值以及判断公式的类型又提供了一种方法。定义1.12仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式.仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式称为简单合取式。例如，p、¬p、p∨q、从定义不难看出以下两点:(1)一个简单析取式是重言式，当且仅当它同时含一个命题变项及其否定;(2)一个简单合取式是矛盾式，当且仅当它同时含一个命题变项及其否定.例如，简单析取式p∨¬p∨q是重言式.简单合取式定义1.13仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。例如：p∨q∨¬r，¬p∧¬q∧r，（p1∧p2∧p3）∨（¬p1∧p2）是析取范式，p∧q∧¬析取范式与合取范式有下列性质:(1)一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式;(2)一个合取范式是重言式，当且仅当它的每个简单析取式都是重言式给定任意的命题公式，都能通过等值演算求出与之等值的析取范式与合取范式.具体步骤如下：消去→和↔。否定号的消去或内移。使用分配率。求析取范式应该使用∧对∨的分配率，求合取范式使用∨对∧的分配率。任给一个命题公式，经过以上三步演算，都可得到与它等值的析取范式或者合取范式。于是，得到下述定理。定理1.2（范式存在定理）任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。不过，命题公式的析取范式和合取范式不是惟一的。例求下面命题公式的合取范式和析取范式。解：（1）求合取范式求析取范式前5步与求合取范式是相同的，在第6步用∧对∨的分配律就可得到析取范式。最后两个式子都是原公式的析取范式。由于与某一命题公式等值的析取范式与合取范式的不唯一性，因而析取范式与合取范式不能作为同一真值函数所对应的命题公式的标准形式。为此，进一步给出主析取范式和主合取范式的概念。定义1.14设有n个命题变项，若在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，则这样的简单合取式称为极小项。在极小项中，命题变项与其否定通常按下角标或字典顺序排列。3个命题变项p、q、r可形成8个极小项。如果将命题变项看成1，命题变项的否定看成0，则每个极小项对应一个二进制数。这个二进制数正好是该极小项的成真赋值。用这个二进制数对应的十进制数作为该极小项符号的角码。8个极小项对应情况如下：一般情况下，n个命题变项共产生2n个极小项。定义1.15如果公式A的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。定理1.3任何命题公式都有唯一的主析取范式。下面给出求主析取范式的步骤，这也就证明了主析取范式的存在性，求给定命题公式A的主析取范式的步骤如下：求A的析取范式A`。若A`的某简单合取式B中不含命题变项pi，也不含否定¬pi，则将若B中不含多个这样的pi，则同时合取所有这样的pi与¬p消去重复出现的命题变项和极小项以及矛盾式。将极小项按下表由小到大的顺序排列。由p,q两个命题变项形成的极小项:由p,q,r三个命题变项形成的极小项:例试由p∨q∨r的真值表（下表）求它的主析取范式。由上表可知，001、011、101、110、111是原公式的成真赋值，因而以对应的十进制1、3、5、6、7为角码的极小项m1、m类似地，每一个真值函数都给出它所对应的命题公式的成真赋值，即使得函数值为1的所有自变量的取值，以这些成真赋值对应的十进制数为角码的极小项的析取正好表示这个真值函数，它也是这个真值函数所对应的所有公式的主析取范式。思政内容：在讲解主析取范式概念时，引导学生有些形式不同的命题公式可以