工程力学教学课件753

0绪论1生活中的力学图1原始人狩猎图2河姆渡“干栏式”建筑，类似吊脚楼图3砖混结构

图4框架剪力结构1生活中的力学

图5省力菜刀图6常规菜刀图7省力剪刀

图8常规剪刀2工程中的力学

图11鸟巢图12航天飞船图13动车图14带轮传动图15齿轮传动应该考虑的力学问题如果没有及时检测，将会产生灾难21986年1月28号，美国挑战者号航天飞机升空，仅仅1分12秒发生爆炸。原因何在？经过美国太空总署的调查发现，导致这起事故的罪魁祸首居然是一个小小的橡皮圈，原来在研制这个橡皮圈的时候，没有考虑到温度对材料的力学特性的影响，这个橡皮圈的失效实际上就是它力学性能的失效(材料的力学性能)。应该考虑的力学问题如果没有及时检测，将会产生灾难32012年12月18日，某钢铁公司炼钢厂一炼钢分厂内发生铁水包倾翻，约1600℃的铁水倾倒至车间地面。事故致使两名正在作业的工人当场死亡，另有13人受伤。其中一名保洁人员当场气管被高温空气烫熟。经过调查发现，导致这起事故的罪魁祸首居然是一个小小的螺栓，由于使用过久，磨损严重，在倾倒时断裂，导致该事故。应该考虑的力学问题如果没有及时检测，将会产生灾难1如1998年6月3号，让德国人引以为豪的从慕尼黑开往汉堡的城际特快列车突然出轨，造成102人死亡，88人重伤。为什么会造成这个事故呢?调查发现，防止车轮跑出的卡箍，发生了破坏，当火车穿过高速公路桥梁的时候，破坏的卡箍碰到桥梁，产生一个侧向力引起火车出轨，切断了高速公路的桥的桥墩，导致高速公路下塌，压住车厢，造成惨剧。(卡箍所发生的破坏正是力学中的疲劳断裂)。问题类型第Ⅰ类基本问题——让学生直接看书稍微思考即能解决第Ⅱ类重点问题——得联系其他课程的相关基础知识才能解决

第Ⅲ类难点问题——在彻底解决前面两类问题的基础上，才能准确分析解决工程力学的内容工程力学的内容极其广泛，包含刚体力学，固体力学，流体力学等，其中刚体力学又分为静力学和运动动力学，固体力学一般包括材料力学、弹性力学、塑性力学等部分，工程力学的内容本书主要指静力学和材料力学，其中：静力学（analysisofengineering）——静力学——研究物体平衡的一般规律，包括物体的受力分析、力系的简化方法、力系的平衡条件。材料力学(mechanicsofmaterials)——研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。研究对象本书主要指刚体和变形体。刚体——在受力情况下，尺寸和形状都保持不变的工程构件，如杆、梁、轴、柱、板、壳及块等，见下图所示。这是理想化的情况。变形体——受力时，几何形状和尺寸都发生变化的工程构件。当研究力和变形规律时，变形即使很小也不能忽略，当研究平衡问题时，大部分情形下可将变形体视为刚体进行研究。梁直杆

块

变截面杆柱件

板件

壳体

曲杆轴研究任务具体到工程构件，主要通过静力学分析研究其受力状况，再通过材料力学进行由外而内的分析，确定构件的尺寸、形状及最大载荷等，同时以防其发生失效或破坏。这种失效主要有强度失效、刚度失效、稳定失效和疲劳破坏等。强度失效（failurebyloststrength刚度失效稳定失效疲劳失效因此，从构件功能角度来说，工程力学对工程实践的贡献，在于以下三个方面受力分析，确定构成所受的外部荷载；研究构件在外力作用下引起的内力、变形和失效的规律；确定构件不发生失效，即确保足够强度、刚度和稳定性的准则。失效案例拉断的钢轴过量变形的钢钉压杆失稳机械疲劳裂纹被超高载重车拉断的限高梁失效实例超载事故1超载事故2工程力学对工程实践的贡献从构件功能角度来说，工程力学对工程实践的贡献，在于以下三个方面：受力分析，确定构成所受的外部荷载；研究构件在外力作用下引起的内力、变形和失效的规律；确定构件不发生失效，即确保足够强度、刚度和稳定性的准则。研究方法理论推导——也就是对构件进行受力平衡分析，由外而内，确定其危险面、危险点，再根据失效准则，从理论方面确定许可载荷、截面设计、安全性。实验分析——通过专门的仪器测定材料的性能参数，如弹性模量、泊松比以及物性关系等，进行综合性和研究性实验，以验证基本工程力学的基本理论应用于实际工程问题的正确性，尤其确定适用范围。同时，当工程问题模型非常复杂，基本理论难以解决时，可通过实验建立合适的简化模型，为理论分析提供必要的基础。计算机仿真——借助仿真软件如Matlab、Ansys、Maple以及Mathematic等，对实际工程问题，应用工程力学理论基础，建立仿真模型，以确定微观层次的力学特性，如应力、应变等，为实际带来指导，甚至优化。3工程力学能力的养成

树立工程团队意识用数学建立力学模型勇于尝试、积极应用01静力学基础导学问题桥梁的两端是固定的，还是不固定的，为什么？静力学和动力学一样吗？哪个更难？导学问题是塑料包装袋，一般都会有个小切口，为什么在切口处能把袋子轻易地撕开？为什么双杠的支柱不在两端，而在离端点有一段距离？一张纸用手指很容易挣断，也容易撕裂，但为什么用手指剪不断？拿一支长粉笔，开始时容易拉断成两截，再拉拉断的两截，依次类推，发现越来越难拉断，为什么？（拉断，扭断，拍照成图片）生活中的力学问题小魔术四连环中，四个钢环看似无缝，为什么能连在串在一起？民间艺术飘色，集戏剧、魔术、杂技、音乐、舞蹈于一体，其中天下第一桌，被称为吉尼斯飘色之最。众人不在一个平面上，且由一张桌子支撑，这是怎么实现的？图9魔术套环

图10飘色——天下第一桌第一类基本问题高中是怎么进行受力分析的，需要注意什么？工程力学的研究对象、内容及方法？何谓刚体？哪些公理对刚体、变形体都适用？哪些公理对受力分析最重要？平面汇交力系合成的几何法及其条件如何？合力投影中力的大小和方向如何确定？平面汇交力系的平衡充要条件？力矩计算及其符号？第二类重点知识问题何为二力构件（杆），分析其受力时与其形状有无关系？三力平衡汇交定理是否为刚体平衡的充要条件？作用在刚体上的三力共面且汇交于一点，刚体是否一定平衡？约束反力方向与约束类型有何关系？中间铰链的约束反力方向能否先确定？力矩的矢量积形式？在数值上与何有关？合力矩定理形式与适用范围？第三类难点问题正确进行受力分析的关键是什么？用到哪些定理或公理何谓力偶？组成要素是什么？与力有何不同？作用效果与力有关还是力臂有关？力偶矩与力矩有何不同？力偶等效条件？力偶合成方法是什么，结果是什么？平面力偶系平衡的充要条件？1.1静力学的基本概念力的概念——力是指物体间的相互作用，种作用使物体的运动状态或形状发生变化。力系：若所有力的作用线在同一个平面内!则称为平面力系，否则称为空间力系。汇交力系——若所有力的作用线汇交于同一点；平行力系——而所有力的作用线都相互平行，否则称为任意力系；等效力系——两个力系如果分别作用在同一刚体上，所产生的运动效应是相同的两个力系；平衡力系——作用于刚体上并使之保持平衡的力系。刚体——当物体变形很小时，变形对物体的运动和平衡的影响很小的物体。它是实际物体的一种抽象化模型。在静力学中视物体为刚体，使得所研究的问题大为简化。1.2静力学公理和定理二力平衡公理——最简单力系的平衡条件。作用于刚体上的两个力使刚体平衡的必要与充分条件：该两力的大小相等、方向相反且作用于同一直线上。注意:二力平衡公理适用于刚体!对于变形体则只是必要条件，但不是充分条件。二力构件1.2静力学公理和定理加减平衡力系公理——力系简化的条件。可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。力的可传性原理——作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用。注意：——对于刚体来说，力是滑动矢量。

——力的可传性对于变形体并不适用。1.2静力学公理和定理3、力的平行四边形公理——两个法则力的平行四边形和三角形法则1.2静力学公理和定理3、力的平行四边形公理——三力平衡汇交定理当刚体在三个力作用下平衡时，若其中两力的作用线相交某点，则第三力的作用线必定也通过这个点，且这三个力共面。三力汇交1.2静力学公理和定理4、作用和反作用公理公理4——任何两个物体间相互作用的力，总是大小相等，作用线相同，但指向相反，并同时分别作用于这两个物体上。必须注意——作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的!因此不能把它与公理1混淆.1.3约束和约束力1、柔性约束1.3约束和约束力2、光滑接触面约束3-光滑圆柱铰链约束（固定铰链支座）3-中间铰链约束4、活动铰支座(辊轴约束)5、球铰链6、固定端约束滚动轴承结构简图滚动轴承滚动轴承约束反力7、轴承约束止推轴承止推轴承三个正交分力：限制与轴线垂直x方向的运动和位移限制与轴线垂直y方向的运动和位移又限制轴向z的运动和位移约束反力7、轴承约束1.6：受力分析步骤确定研究对象(受力体)。整体、单个物体，或者几个物体的组合(局部)。画出分离体所受的全部主动力。正确画出约束反力(依据约束类型逐一画出约束力)。活用二力构件的特点与三力平衡汇交定理，可以确定某些约束力的属性特征。两个以上物体相互约束时，特别注意作用力与反作用力的关系。1.4力对点的矩、合力矩定理1、力对点之平面矩1.4力对点的矩、合力矩定理2、力对点之空间矩1.4力对点的矩、合力矩定理3、力对轴的矩1.4力对点的矩、合力矩定理力对点之空间矩等于力对该轴之矩的代数和，称为力矩关系定理1.力对点和力对轴之矩的关系1.4力对点的矩、合力矩定理4、合力矩定理1.5力偶及力偶矩1、力偶所谓力偶，是指大小相等、方向相反且作用线不在一直线上的两个力，它是一个自由矢量。力偶能够改变刚体旋转运动，同时保持其平移运动不变。力偶不会给予刚体质心任何加速度。力偶中两个力所组成的平面称为力偶作用面，力偶中两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂。1.5力偶及力偶矩空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；2、力偶矩矢力偶矩矢（3）作用面：力偶作用面。1.5力偶及力偶矩1.5力偶及力偶矩合力偶矩等于原来各个分力偶的代数和3、力偶等效定理1.5力偶及力偶矩==4、力偶矩矢的合成1.5力偶及力偶矩由平面力偶系的合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零；反过来合力偶矩等于零，则平面力偶系平衡。因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是：5、力偶合成及平衡（1）利用定义直接求解：（2）利用合力矩定理求解：例1-1：求F对点A的矩。（1）F对点A的矩：（2）对轴之矩由力矩关系定理：例1-2：求F对点A的矩及对x，y，z轴之矩。1.6物体受力及变形分析1.6.1三种常见载荷形式按照作用方式的不同，物体所受的力可分为体积力、面积力、集中力。（1）体积力：为连续分布在物体内部各点上的力，为非接触力，如重力、惯性力、电磁力等。（2）面积力：为连续分布在物体一个面上的力，也称为分布载荷，常见的分布载荷主要有均布、三角分布及梯形分布载荷等。（3）集中力：作用在构件上的外力如果作用面面积远远小于构件尺寸，可以简化为集中力。1.6物体受力及变形分析1.6.2物体的受力分析解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。为了便于计算，将研究对象的约束全部解除，将其从周围的物体中分离出来，孤立的考察它，画出其简图，这种被解除了约束的物体称为分离体；将作用于该分离体的所有的主动力和约束力以力矢表示在简图上，这种图形称为分离体的受力图。1.6物体受力及变形分析_分析步骤（1）选研究对象，取分离体。根据问题的已知条件确定研究对象，画出其轮廓图形。几何图形应合理简化，既能反映实际又能分清主次。研究对象可以是一个物体，也可以是由几个物体组成的物体系统。（2）先画主动力，再画约束力。明确研究对象受到周围哪些物体的作用后，可先画主动力，再画约束力。画约束力时要根据约束类型及特性确定约束力的方向和作用点。（3）另外，有时要根据二力平衡共线、三力平衡汇交等平衡条件来确定某些约束力的指向或作用线的位置。例1-3.分别画出球O，杆AB的受力分析图。例1-4.画出图示各物体受力分析图。DAEF（a）（b）（c）（d）1.6.3变形固体的基本假设：Ⅰ.连续性假设——物质不留空隙地充满了整个固体。（可用微积分数学工具，力学量是坐标连续函数。）

Ⅱ.均匀性假设——固体内各点处材料的力学性能相同。（晶粒在统计意义上是平均的）。

Ⅲ.各向同性假设——固体内各点沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各向同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各向异性材料。）Ⅳ、小变形假设最大变形量远小于构件的最小尺寸；1.6.4四种基本变形(1)拉伸或压缩受力：杆受一对大小相等，方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重合；变形：杆件伸长或缩短。(2)剪切受力：受垂直于轴线的横向力作用；变形：相邻截面发生相对错动。(3)扭转

受力：杆受一对大小相等，方向相反的力矩作用，力矩平面垂直于杆轴线；

变形：相邻截面有绕轴线相对转动。（4)弯曲受力：杆受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面是包含轴线的纵向面；或作用与轴线垂直的横向力。变形：轴线弯曲成一条曲线或曲率变化。精选例题例1.2：如图所示三铰拱桥。试分别画出拱AC和CB拱的受力图。例1.3重物重量为P，A和B为固定铰链约束，C为中间铰链，钢丝绳一端拴在点，另一端绕过滑轮和拴在销钉上。试分别画出滑轮、销钉以及整个系统的受力图(各杆及滑轮重量均不计)。整体法【练习1】支架的横梁AB与斜杆CD彼此以铰链C相连接，并以铰链A、D连接于竖直墙上，如图2.3(a)所示。已知；杆DC与水平线成45°；载荷，作用于B处。梁和杆的自重忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。【练习2】刚架如图2.6(a)所示。已知水平力，不计刚架自重，试用解析法求A、B处支座反力。FGFDFCFF’FFFBFE’【练习3】一拱形桥由三个铰拱组成，试求A、B、C和D处各个支座反力。FAFpFEFCFF’FCFFFGFGFDFpFG’FDFAFEFFFBFE’FF’FB【练习4】简支梁AB，如图2.15(a)所示，其上作用一力偶矩m的作用，已知梁长为L，不计自重，求支座反力。FAFB【练习5】铰接四杆机构在图示位置平衡，试求力偶矩m2

的大小和杆AB所受的力，各杆自重均不计。

FOFAB’FBAFABFBA’FO1本次小结重点：常见约束类型及其约束反力二力杆和三力汇交力矩难点力偶概念平面汇交力系、力矩和力偶平衡条件02力系及平衡趣味问答1、图中人物为何能飘在空中？2、用到什么力学知识？3、如何解决平衡问题？吴川飘色始于清代，以儿童乔装各种人物，站或坐在“色板”上面，在游行时手舞足蹈，飘飘如仙，惊险美妙，被誉为“隐蔽艺术”和“东方飘游艺术”。重点回顾正确进行受力分析的关键是什么？用到哪些定理或公理何谓力偶？组成要素是什么？与力有何不同？作用效果与力有关还是力臂有关？力偶矩与力矩有何不同？力偶等效条件？力偶合成方法是什么，结果是什么？平面力偶系平衡的充要条件？补练1简支梁AB，如图2.15(a)所示，其上作用一力偶矩m的作用，已知梁长为L，不计自重，求支座反力。补练2铰接四杆机构在图示位置平衡，试求力偶矩m2

的大小和杆AB所受的力，各杆自重均不计。

第二章力系及平衡2.1主矢•主矩

2.2力系的简化

2.2.1力线平移定理

2.2.2平面力系的简化

2.2.3空间力系简化

2.3力系的平衡

2.3.1平面力系平衡

2.3.2空间力系平衡

2.3.3干摩擦平衡

2.4计算机编程求解平衡问题

2.5小组合作解决工程问题

2.6典型工程案例的编程解决

第一类基本问题物体在什么情况下平动、什么情况下转动？第一类基本问题力在不同作用点的效果是否相同？如果作用点移动，应如何处理？?生活中哪个现象可用到这个？使用螺丝刀力系平移定理与哪个公理有关？平面一般力系的简化所用的思维方式是什么？简化处理与平面汇交力系或平面力偶系有何关系？平面一般力系的简化结果有哪些内容，如何计算？与哪些因素有关，为什么有关？第二类重点问题主矢、主矩分别与什么有关，与什么无关？简化结果有哪几种情况，有何意义？力螺旋属于哪种简化结果？见下图,AB杆受到的主动力是否一样，效果呢lmqN/mABqlNAB第三类难点问题平面一般力系平衡的充要条件是什么？平面一般力系的平衡方程有哪几种形式？在二力矩形式中，投影轴为何不能垂直于两个矩心的连线？三力矩形式的三个矩心为何不能在一条直线上？平面平行力系的平衡方程与一般力系有何异同点？2.1主矢、主矩主矢与简化中心的位置无关主矩与简化中心的位置有关2.1主矢、主矩2.2力系的简化——1、力线平移定理加减平衡力公理可逆性2.2力系的简化——2平面力系的简化1.平面汇交力系的合成结果F1AF2F2xy一个主矢2.2力系的简化——2平面力系的简化2.

平面力偶系的合成结果M1M2M3一个主矩例2-1：固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力F1、F2、F3，各力的方向如图2-2中（

）所示，各力的大小分别是F1=3KN、F2=4KN、F3

=5KN。试求螺钉作用在墙上的力。30°OF1F2F330°OF1F2F3xyFRxFRyFR解：求螺钉作用在墙上的力就是要确定作用在螺钉上所有力的合力。用平行四边形法则？用投影表达式求合力例题2-2：如图2-3所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作用，设

，

，求它们的合力偶矩。F1F′1F2F′2M60°30°0.25m1m解：各力偶矩分别为：2.2力系的简化——2平面力系的简化3.平面一般力系向一点简化一个主矢一个主矩F1F2FnF2′Fn′yxOF1′MnM2OFR′MO==M1

2.2力系的简化——2平面力系的简化原力系处于平衡状态主矩与简化中心的选取有关主矢与简化中心的选取无关4、简化结果分析2.2力系的简化——2平面力系的简化力螺旋反用力线平移定理O′FR′MOOOFR′O′FR″FRd==OO′FRd2.2力系的简化——3空间力系的简化一个主矢一个主矩F1F2FnF2FnyxOF1MnM2OFRMO==M1

z例2-3重力坝受力如图2-7所示。设P1=150kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求该力系的对O点的主矩和主矢。1.5m3mxy3m9m5.7mBAO3.9m解：先将力系向O点简化。（1）求主矢F’R和主矩MO。（2）主矩=-2335KN•m例2-4空间力系如图2-8所示，其中力偶作用在Oxy平面内，力偶矩M=12N•m，试求此力系向O点简化的结果。解：（1）先将已知力和力偶表示为矢量形式,则M=(0,0,12)N•mF1=(0,0,6)N，对应r1=(3,0,0)m，F2=(3,-6,0)N，对应r2=(0,6,4)m，F3=(-3,0,-4)N，对应r3=(3,6,4)m（2）简化点为O，根据主矢和主矩的表达式，可知主矢：FR=F1+F2+F3=(0,-6,2)N主矩：yxz6m3mijk4mM5N6NF1F3F22.3力系的平衡2.3力系的平衡——

1、平面一般力系的平衡条件、平衡方程注意简化便于求解善用矩求二力矩形式ＡＢxFAB连线不能与投影轴垂直特殊情况：F通过A、B，则后两式成立，第一式也成立，但不平衡。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x轴(或y

轴），则力系必平衡。FR′BxA因为如果AB连线与投影轴垂直，则即使力系满足平衡方程，但不能确保该力系为平衡力系。三力矩形式ABC不能共线注意：以上各式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。

由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。例2-5如图2-10a所示，外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10kN/m，集中力F=20kN，力偶矩m=10kN

m，α=arctan2。求A、B支座的约束力。qABFCmqmxyFBCA4m2m4m2m解：（1）选择研究对象：杆AC（2）画AC杆的受力分析图：（3）应用平面力系的一般平衡方程：FB=44.33KN，方向垂直向上，FAx=8.94KN，方向水平向右。FAy=13.56KN，方向垂直向上。例2-6已知梁AB和BC在B处铰接，如图2-11。C为固定端。M=20kN•m，q=15kN/m，试求A、B、C三处的约束力。qCM2m2mB1m1m2mAyxqBA解：（1）首先选择研究对象：杆AB画AB杆的受力分析图：应用平面力系的两力矩一投影形式的平衡方程：则FBx=03FBx-2•2q=0则FA=10KN，方向垂直向上则FBy=20KN，方向垂直向上；例2-6已知梁AB和BC在B处铰接，如图2-11。C为固定端。M=20kN•m，q=15kN/m，试求A、B、C三处的约束力。qCM2m2mB1m1m2mAyxqMCBBA解：（2）然后选择研究对象：杆BC画AB杆的受力分析图：应用平面力系的两力矩一投影形式的平衡方程：则FCx=0顺时针；则FCy=20KN，方向垂直向上。2.3力系的平衡——

1、平面一般力系的平衡条件、平衡方程二力矩形式一般形式OF1F2F3xyAB力的方向和AB连线有何限制？注意：AB连线不能与各力的作用线平行！！！平面平行力系的平衡方程2.3力系的平衡——

1、平面一般力系的平衡条件、平衡方程平面汇交力系的平衡方程2.3力系的平衡——2、空间力系平衡=0=0=0=0=0=0=0=0例2-7如图2-12a所示，三轮小车，自重P=8kN，作用于E点。载荷P1=10kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。A0C0.2m0.2m0.6m1.2m2myzxOBA0ECyzxODBppDE0.6m解：（1）选取研究对象：小车（2）画小车的受力分析图：（3）根据空间平衡力系，，【练习1】已知，三力分别作用在边长为a的正方形的三点上C，B，O如图所示。试将此力系向点Ｏ简化。【练习2】悬臂吊车如图3.7(a)所示，横梁AB长，重量，拉杆CB的倾角为，不计重量。载荷，求在图示位置时，拉杆的拉力和铰链A处的约束反力。FAxFAyFAx二力矩形式FAxFAy【练习3】水平外伸梁如图3.9(a)所示。若均布载荷，，力偶矩，，求A、B点的约束反力。FAFB什么力系？平行力系！本次小结重点：复习力的平移定理及其应用主矢、主矩的计算难点：复习如何利用平衡方程最快求出约束反力2.3.3干摩擦平衡1滑动摩擦定律2摩擦角与摩擦自锁3滑动摩擦平衡问题4滚动摩擦导学问题何谓静摩擦力，能否理解为约束反力，如何确定？Ⅰ最大静摩擦力如何确定？Ⅱ动滑动摩擦力有无范围？与最大静摩擦力有何关系Ⅱ尝试举出摩擦自锁应用的实例，自己动手实践试试。Ⅰ滑动摩擦平衡问题与前述平衡问题有何区别？Ⅲ1、滑动摩擦定律——静滑动摩擦力两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止时，沿接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩擦力。(库仑静摩擦定律)若物体静止，则临界状态则静摩擦因数1、滑动摩擦定律——2动滑动摩擦力f——动滑动摩擦因数

在机器中，往往用降低接触表面的粗糙度或加入润滑剂等方法，使动摩擦因数f降低，以减小摩擦和磨损。

两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向阻力称为动滑动摩擦力。1、滑动摩擦定律——3、摩擦角当时，为摩擦角物体平衡时,FmaxFNFRFsFR2自锁主动力的合力作用线在摩擦锥内,与全约束反力构成二力平衡,物体处于平衡。这种现象称为自锁。主动力的合力作用线在摩擦锥外,与全约束反力不能构成二力平衡。物体将发生滑动自锁条件自锁应用螺纹千斤顶的螺纹杆保证能自锁而车床丝杆避免自锁滚珠丝杠静摩擦系数的测定方法(倾斜法)

两种材料做成物体和可动平面测沿下面滑动时的。p物块不下滑斜面的自锁条件FR也是螺纹的自锁条件对千斤顶而言：3、滑动摩擦平衡问题

滑动摩擦的平衡问题的特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围即所以有摩擦时平衡问题的解也有一定的范围，而不是—个确定的值。

【引例】物块重量1500N，放于倾角为30°的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为，动摩擦因数。物块受水平力F=400N，如图所示。问物块是否静止，并求此时摩擦力的大小与方向。FsFNF解：假设物体静止和摩擦力的方向如图不可能静止向下滑动，动滑动摩擦力方向沿斜面向上，大小为xyP【例2-9】将重为P的物块放在斜面上，斜面倾角α大于接触面的摩擦角，已知静摩擦系数为f，若加一水平力Q使物块平衡，求力Q的范围。FsFNQ解：（1）当物块处于向下滑动的临界平衡状态时xyP【例2-9】将重为P的物块放在斜面上，斜面倾角α大于接触面的摩擦角，已知静摩擦系数为f，若加一水平力Q使物块平衡，求力Q的范围。FsFNQ解：（2）当物块处于向上滑动的临界平衡状态时xyP因此，故力Q应满足的条件为：【例2-10】将梯子AB长为2a，重为P，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为f，问梯子与水平线的夹角α多大时，梯子能处于平衡？【例2-10】将梯子AB长为2a，重为P，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为f，问梯子与水平线的夹角α多大时，梯子能处于平衡？补例】凸轮机构如图所示。已知推杆与滑道间的摩擦因数为，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。abM解：取推杆为研究对象。受力分析如图卡住为平衡状态，则列平衡方程：FFNAFAFNBFBDFFRAFRBF4、滚动摩擦实验证明：最大滚动摩阻力偶矩Mmax与滚子半径无关，而与支撑面的正压力(法向反力)FN的大小成正比，即滚动摩阻系数滚动摩阻系数物理意义滚动比滑动省力【例2-11】卷线轮重W，静止放在粗糙水平面上。绕在轮轴上的线的拉力FT，与水平线成α角，卷线轮尺寸如图示。设卷线轮与水平面间的静滑动摩擦因数为f，滚动摩阻系数为。试求：（1）维持卷线轮静止时线的拉力FT的大小；（2）保持FT力大小不变，改变其方向角α，使卷线轮只匀速滚动而不滑动的条件。FFNMf解：卷线轮失去平衡的情形有两种：开始滑动和开始滚动。考虑卷线轮为非临界平衡状态，FFNMf（1）不滑动条件：（2）不滚动条件：FT

同时满足上面二式，卷线轮将静止不动。（1）不滑动条件：（2）不滚动条件：卷线轮只匀速滚动而不滑动的条件：本章小结重点：静、动滑动摩擦力、摩擦角的概念及计算难点自锁03平面图形的几何性质第3章平面图形的几何性质3.1静矩3.2形心

3.3惯性矩·惯性积·惯性半径3.4转轴公式3.1静矩dAyz面积dA对y轴的一次轴距：面积dA对z轴的一次轴距：zdAydA【例3.1】试计算图示半圆形截面对z轴的静矩Sz。解：3.2形心——1、积分法各分力对某轴(点)的力矩之和=其合力对同一轴（点）之矩.dAyz注意：面积dA对其形心轴yc的一次轴距：平面图形对其形心轴的静矩=0当y轴通过形心C，变为yc轴，则zc=0，3.2形心——2、组合法组合图形的形心【例3.2】截面尺寸如图所示。试确定截面形心C的位置。yz解：将截面看成由两个矩形1和2组成。矩形1的形心对于y、z轴的坐标(0.07+0.01,0)同理，矩形2的形心为(0,0)3.3惯性矩、极惯性矩和惯性积3.3.1惯性矩和极惯性矩dAyz微面积dA对y轴的惯性矩微面积dA对z轴的惯性矩O【例3.3】图3.4所示矩形高为h，宽为b。求矩形对yc轴和对y轴的惯性矩。yczyzc解：1)求极惯性矩

2)求惯性矩【例3.4】计算半径为R的圆形对其形心轴的惯性矩和对圆心的极惯性矩。【例3.5】试计算图所示空心圆形截面对其形心轴的惯性矩。解：大圆去除小圆所得的惯性矩zyOdD3.3.2惯性积微面积dA与两坐标y、z的乘积yzdAzyOdAdAyy当坐标y或z中至少有一个是截面的对称轴时：该对称轴则为主惯性轴主惯性轴过形心，则该轴为形心主惯性轴zy对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。图形具有一对相互正交的对称轴，则这两个对称轴必然是图形的形心主惯性轴。简单图形的形心主惯性矩计算公式(1)矩形截面（2）实心圆截面（3）空心圆环3.3主惯性轴和主惯性矩，

形心主惯性轴和形心主惯性矩如果图形对某一对坐标轴y,z-的惯性积等于零!则这对坐标轴称为图形的主惯性轴。可以证明，在任意平面图形中过任一点，都必然存在一对主惯性轴。通过截面形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，任意平面图形中过任一点，都必然存在一对主惯性轴。显然，若图形具有一个对称轴，则以形心为原点并含有对称轴在内的一对对称轴，必然就是图形的形心主惯性轴。若图形具有一对相互正交的对称轴，则这一对对称轴必然就是图形的形心主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。3.3.4平行移轴公式dAA而同理:平面图形对其形心轴的静矩=0【例3.6】已知直角三角形截面对通过底边的y轴惯性矩是,求对通过顶点并与y轴平行的轴的惯性矩解：形心轴与底边平行，距底边h/3。小结重点静矩形心惯性矩极惯性矩难点平行移轴定理第四章工程常用构件的变形及其内力分析回顾1回顾2受力分析的技巧平衡方程怎么建立摩擦角静矩、惯性矩、平行移轴定理概要4.1工程常用构件14.2求内力的截面平衡法24.3拉压内力——轴力34.4扭转内力——扭矩44.5弯曲内力54.6静定曲杆、刚架及桁架内力6导学问题除了书中列出的之外，请举例说明生活中或工程中常用构件有哪些？构件受力后，不同部分内部的受力情况是否一样？怎么定量确定构件内部的受力情况？4.1工程常用构件4.1.1拉压杆图4-8拖车环

图4-9拉压杆4.1工程常用构件4.1.2剪切件

变形剪切面4.1工程常用构件4.1.3扭转轴变形（a）L形扳手（b）螺旋钻（c）方向盘旋转（d）攻丝锥特征：

1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。4.1工程常用构件4.1.4弯曲梁在垂直于轴线方向的载荷（集中载荷、均布载荷）作用下，其轴线将由原来的直线弯成曲线，所以称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。图4-14滚弯钢筋4.1工程常用构件载荷的简化。集中载荷，均布载荷——呈均匀分布钢梁受到桥面板的均匀作用力。分布于单位长度上的载荷大小，称为载荷集度，通常以q表示。(a)桥式吊车梁的简化模型及弯曲变形(b)钢梁的简化模型及弯曲变形4.1工程常用构件弯曲变形的梁有三种，即简支梁、外伸梁和悬臂梁图4-16梁的常用横截面形状图4-17外伸梁和悬臂梁4.1工程常用构件4.1.5拉弯组合杆变形图4-18单柱压力机、结构简化及其力学模型4.1工程常用构件4.1.6偏心压弯杆

图4-19高铁高架桥图4-20桥梁桁架4.1工程常用构件此时杆件既有压缩变形，又有弯曲变形。而且有单向和双向压缩之分，这种柱状杆件横截面往往以圆形和矩形居多，其中矩形截面为最常用的截面型式。圆形截面主要用于柱式墩台和地基桩。(a)单向偏心压缩(b)双向偏心压缩4.1工程常用构件4.1.7弯扭组合杆图4-22提水的辘轳及其力学模型4.1工程常用构件弯扭组合杆图23a齿轮箱

图23b齿轮轴力学模型及其简化形式4.1工程常用构件4.1.8联接件螺栓、铆钉、键及销钉挤压线剪切线（a）往复式压缩机

（b）

锻钢截止阀

（c）普通螺栓4.1工程常用构件

向右挤压剪切线向左挤压

4.1工程常用构件在齿轮传动、蜗轮蜗杆传动中常用平键、半圆键、花键、楔键以及切向键等联接，对轴上零件实现周向固定，以传递运动和转矩。

Me

4.1工程常用构件至于销钉联接，在生活和工程中应用非常广泛

下销钉上销钉

（a）升降机桁架（b）车轮卡钳及其上、下销钉（c）销钉受力模型及其剪切和挤压变形

4.1.9曲杆·刚架·桁架1、曲杆平面曲杆和空间曲杆之分，二者横截面往往为圆形、椭圆形。轴线和横截面的纵向对称轴在一个平面内的曲杆叫平面曲杆，而在三维空间的叫空间曲杆.（a）电磁吊重器（b）电葫芦（c）吊环、吊链、吊钩

（d）吊环受力模型

4.1.9曲杆·刚架·桁架1、曲杆平面曲杆和空间曲杆之分，二者横截面往往为圆形、椭圆形。轴线和横截面的纵向对称轴在一个平面内的曲杆叫平面曲杆，而在三维空间的叫空间曲杆.

（a）树枝（b）神秘悬空人4.1.9曲杆·刚架·桁架2、刚架

（b）汽车曲轴曲轴飞轮曲轴轴承刚架（a）螺旋夹紧器图4-31空间刚架（央视大楼）4.1.9曲杆·刚架·桁架刚架的形式

(a)简支刚架(b)悬臂刚架(d)三角刚架(c)主从刚架4.1.9曲杆·刚架·桁架3、桁架由杆件通过铰链、焊接、铆接或螺栓联接而成的支撑横梁结构，本教材所研究的桁架主要有铰接而成，载荷只作用于节点。(a)桥梁桁架(b)大跨度厂房(c)平面桁架结构图4.1.9曲杆·刚架·桁架曲杆、桁架与刚架类似，但有很大区别

杆件外形载荷位置节点处内力变形曲杆直线或曲线任意位置无节点轴力、剪力、弯矩、扭矩拉压、剪切、弯曲、扭转刚架直杆任意位置两边不能相互转动轴力、剪力及弯矩拉压、剪切、弯曲桁架直杆节点处两边可互相转动只有轴力拉压4.2求内力的截面平衡法4.2.1内力与外力构件发挥其功能，必然受到外部载荷作用，如前面所示的各类构件。这种作用于构件引起内力的这种载荷，称为外力。从分布角度来说，有集中力、面力、体力，其中集中力作用在一个点上，面力、体力又叫做均布载荷，大小相同，且方向一致。由理化知识可知，物质之所以能形成占据一定空间的形体，是因为组成物质的微粒之间存在相互作用的力，称为内力，又叫固有内力。如果构件受到外部载荷作用，构件内部的固有内力将随之改变，一致对外。这种因外部载荷作用而引起的构件内力的改变量，称为附加内力。4.2求内力的截面平衡法4.2.1内力与外力在材料力学中，附加内力简称内力，其大小和在构件内部的分布规律随外部载荷的改变而变化，并在很大程度上决定了构件的强度、刚度和稳定性等问题，若内力的大小超过一定的限度，则构件将不能正常工作。因此，内力分析是材料力学的基础，必须由外而内进行分析，所用的分析方法叫做截面法。4.2求内力的截面平衡法4.2.2截面法——截、取、代、平

(b)代P2P3P1mmxP2

(c)简化zyFRC

MmmP1P3yxMxP2

(d)轴力、剪力、扭矩、弯矩zFSyCFSzFN

MzMy

mmP1P3

m

mmP1P2P3P4P5(a)截、取4.2求内力的截面平衡法4.2.2截面法——截、取、代、平应用静力学方法求构件外力选取横截面，分解构件在选取的横截面上形心处建立直角坐标系根据平衡要求分析、计算内力4.2求内力的截面平衡法4.2.3直接法求内力

外力正负和内力正负的关系规定一：与外法线方向一致的外力为正，反之为负规定二：与外法线方向一致的力偶矩矢为正，即从外向内看逆时针旋转的矩为正，反之为负。判断原则：正外力引起正的内力，负外力引起负的内力内力叠加：在一个横截面处的内力为各个外力引起相应内力的叠加。正面、上面和右侧面的外法线方向为三个坐标轴的方向。提示：力偶矩矢可用右手螺旋法则来确定，即四指弯曲方向与力偶旋转方向一致，大拇指向则为该力偶矩矢方向。

图4-36单元体外力及其正方向规定4.3拉压内力——轴力4.3.1轴力FN－P=0FN=P习惯上将拉伸时的轴力记为正，压缩时的轴力记为负，简称“拉正压负”。当轴力大于零时，就表示该截面受拉伸；而轴力小于零，则表示该截面受压缩。4.3拉压内力——轴力4.3.2轴力图求出轴内任意一个截面上的轴力以后，就可以用图线来表示轴力与截面位置之间的关系，这个图线称为轴力图，往往用x轴作为横坐标，轴力FN为纵坐标。4.3拉压内力——轴力4.3.2轴力图例4-1.两个力P和Q作用在图4-38所示的飞机接头上，一直接头平衡，P=500N，Q=650N，求作用在AC杆和BD杆的轴力，并作二者轴力图。解法一：（1）受力分析：因为四个力交于C点，以C点建立汇交力系的平衡方程，解得：FA=1303N，FB=420N。（2）求C、D处的约束反力。AC杆、BD杆为二力杆，则：FC

=FA=1303NFD=FB=－420N4.3拉压内力——轴力4.3.2轴力图（3）应用截面法求AC杆的轴力。以截面m-m截取AC杆左端为研究对象(a)(b)(c)(d)(e)(f)4.3拉压内力——轴力4.3.2轴力图解法二：应用直接法求轴力图。(a)(c)(d)(f)4.3拉压内力——轴力4.3.2轴力图例4-2.如图4-40(a)所示的轴，在A、B、C和D处受到轴向力的作用，试用直接法作轴力图。此截面轴力，从右边开始是否简单些？轴力图的特点：突变值=集中载荷

4.4扭转内力——扭矩4.4.1外力偶矩电动机带动轴旋转，通过轴带动负载。如果轴匀速转动，转速是n(r/m)，传递的力偶矩是Me，电动机的功率是P(kW)。传递力偶的功率与电动机的功率相等4.4扭转内力——扭矩4.4.2扭矩截面法来求出轴受的扭转内力MeMeMeTx

扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。Me4.4扭转内力——扭矩4.4.3扭矩图和轴力一样，扭矩也可用图线来表示扭矩与横截面位置之间的关系，这个图线称为扭矩图MeMeMeTxMeT+4.4扭转内力——扭矩4.4.3扭矩图[例4-3]如图4-43，一等截面传动轴，转速n=5r/s，主动轮A的输入功率P1=221kW，从动轮B、C的输出功率分别是P2=148kW和P3=73kW。求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。解：(1)外力偶矩。根据轴的转速和输入与输出功率计算外力偶矩：4.4扭转内力——扭矩4.4.3扭矩图[例4-3]如图4-43，一等截面传动轴，转速n=5r/s，主动轮A的输入功率P1=221kW，从动轮B、C的输出功率分别是P2=148kW和P3=73kW。求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。解：(2)AB段：(3)BC段：(4)扭矩图。4.4扭转内力——扭矩4.4.3扭矩图[例4-3]如图4-43，一等截面传动轴，转速n=5r/s，主动轮A的输入功率P1=221kW，从动轮B、C的输出功率分别是P2=148kW和P3=73kW。求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。若将A轮与B轮相互调换，则轴的左右两段内的扭矩分别是可见，通过改变载荷位置，虽然载荷没变，但轴内的最大扭矩值比原来减小，使轴的承载能力得到改善。总结内力的概念截面法、直接法轴力、轴力图外力偶矩、扭矩、扭矩图注意内力突变与载荷的关系2034.5弯曲内力对称弯曲

在工程实际中，梁的横截面至少有一根对称轴，全梁至少有一个纵向对称面。使杆件产生弯曲变形的载荷一定垂直于杆轴线，而且均作用在梁的纵向对称面内，梁的轴线弯曲后仍然在该对称面内，这种平面弯曲称为对称弯曲。2044.5弯曲内力轴力：杆件在轴线上沿着轴向受到载荷作用，产生拉压变形时引起的内力扭矩：在端面受到力偶矩的作用时，产生扭转变形，引起的内力剪力和弯矩：杆件在垂直于轴向的横截面上受到载荷作用，产生弯曲变形，所引起的内力2054.5弯曲内力4.5.1剪力·弯矩约束力：方法一：以截面法分析一.以一假想平面在距离原点x处的C截面处将梁截开。分析AC段受力。二.求剪力Fs2064.5弯曲内力三.求弯矩注：一般将所求截面的形心C作为力矩平衡方程的矩心。

在上面过程中，选取左段作为研究对象，求得的剪力与弯矩是C处左截面上的弯曲内力。

若选取右段作为研究对象，所求得的弯曲内力则为C处右截面的内力，而左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的。（C截面弯矩的实际方向为逆时针）?2074.5弯曲内力因此，对弯曲内力的符号做如下规定：使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生向上凹变形的弯矩为正，反之为负。

提示：剪刀剪东西时，向刀尖方向看，不就是顺时针旋转吗？故以顺时针为正。提示：对于函数f(x)，当f(x)’’>0时，是不是发生凹变形？故以凹变形为正。2084.5弯曲内力

向上的外力引起的弯曲变形为凹变形（如右图），规定向上的外力为正，引起正弯矩，发生凹变形。由以上可得当采用截面法计算弯曲内力时，以一个假想平面将梁截开后，无论选择哪一段作为研究对象，所计算出的同一位置截面的内力都会具有相同的符号。2094.5弯曲内力（2）以直接法分析一.约束力FAy向上，则为正；均布载荷q向下，则为负。二.求解剪力：顺时针旋转的正剪力来假设Fs，正的外力引起正剪力，反之则为负剪力。三.弯矩的分析：以引起凹变形的正弯矩来假设M，正的外力引起正弯矩，反之则负弯矩。2104.5弯曲内力

综上计算弯曲内力的方法概括：直接法外力正负的判断。剪力的求解，假设截面处的剪力为正；弯矩的分析，假设截面处的弯矩为正，相对所选横截面的形心来求矩。截面法在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开，选其中一段为研究对象（一般选择载荷较少的部分为研究对象，以便于计算）；对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与弯矩；由平衡方程

截面法1）

在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开，选其中一段为研究对象（一般选择载荷较少的部分为研究对象，以便于计算）；2）对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与弯矩；3）由平衡方程

计算剪力Q；4）

以所切截面形心为矩心，由平衡方程

计算弯矩。

截面法在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开，选其中一段为研究对象（一般选择载荷较少的部分为研究对象，以便于计算）；对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与弯矩；由平衡方程2114.5弯曲内力4.5.2剪力图·弯矩图

梁横截面上的剪力与弯矩是随截面的位置而变化的。在计算梁的强度及刚度时，要找出最大剪力与最大弯矩的数值及其所在的截面位置。

因此，我们沿梁轴方向选取坐标x，建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系，即剪力方程弯矩方程2124.5弯曲内力剪力图与弯矩图：以x为横坐标，以Fs或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来例4-4，如对图4-48所示的梁，剪力方程和弯矩方程图4-48根据剪力方程和弯矩方程，可得到剪力图和弯矩图，见图4-48(d)、(e)。2134.5弯曲内力例4-5.一个悬臂梁及其承受载荷情况如图4-49（a）所示，试做出此梁的剪力图和弯矩图。图4-49解:（1）简支梁的约束反力和均布载荷的简化，见4-49（b）所示。

选取距离固定端x处的一段梁为研究对象，见4-49（c），此处截面的三角形分布载荷集度和（a）的集度成比例变化，所以2144.5弯曲内力（2）剪力、弯矩方程。以正向假设剪力Fs和弯矩M见图(c)所示，则：（3）剪力图、弯矩图。见图4-49(d)、(e)所示。2154.5弯曲内力（4）注意:试试对剪力方程和弯矩方程分别求导，能发现什么规律？载荷集度、剪力方程和弯矩方程这三者之间有什么关系？这种方法有什么用途？仔细观察，不难发现：可以利用这种关系判断剪力方程Fs(x)、弯矩方程M(x)正确性。那么为何会有这样关系？是否所有剪力方程和弯矩方程都如此？2164.5弯曲内力例4-6.一个简支梁受均布载荷作用，如图4-50（a）所示，试作此梁的剪力图和弯矩图。解：（1）简支梁的约束反力和均布载荷的简化，见图4-50（b）所示。选取距离固定端x处的一段梁为研究对象，见图4-50（c），此处截面的三角形分布载荷集度和（a）的集度成比例变化，即所以2174.5弯曲内力（2）剪力、弯矩方程。以正向假设剪力Fs和弯矩M见图图4-50(c)所示

2184.5弯曲内力

（3）剪力图、弯矩图。根据剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，见图4-50(d)、(e)所示。

（4）注意，试试对剪力方程和弯矩方程分别求导，发现的规律是不是和上例相同？很明显，本例中仍然满足上例的导数关系。219

例4-7一个简支梁及其承受载荷情况如图4-51（a）所示，试作此梁的剪力图和弯矩图。（1）简支梁的约束反力和均布载荷的简化，见图4-51（a）所示。（2）剪力、弯矩方程。以正向假设剪力Fs和弯矩M见图4-51(b)所示，则：对于AB段，0≤x1<5m，见图4-51（b）：图4-514.5弯曲内力2204.5弯曲内力对于BC段，5m<x2≤10m，见图4-51（c）：（3）剪力图、弯矩图。画出剪力图和弯矩图，见图4-51(e)、(f)所示。（4）为了确定结果正确与否，可将剪力方程、弯矩方程通过用q=dFs/dx，Fs=dM/dx分段检查，经检验和前例一样。图4-512214.5弯曲内力扩展与验证：

代入不同的x到方程中，以检查剪力图和弯矩图。

如x1=0，由方程（1）、（2）可得Fs=0，M=80，满足该点处约束反力的条件；

x2=10，由方程（3）、（4）可得Fs=34.25，M=0，同样满足该点处约束反力的条件。2224.5.3剪力、弯矩和载荷集度、集中载荷的微积分关系及应用一、剪力、弯矩与载荷集度间的微积分关系由平衡方程可得：可见，剪力图上某点处的切线斜率等于该段处荷载集度的大小。如果该点处q>0，Fs为单调增函数，反之，为减函数。4.5弯曲内力223由平衡方程（略去其中的高阶微量）得：

……（2）

可见，弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。如果该点处Fs>0，M为单调增函数，反之，为减函数。4.5弯曲内力224由（1）、（2）两式又可得：根据微分知识可知，如果某段q(x)>0,则该段弯矩图为下凹；q(x)<0，则该段弯矩图为上凸。如例4-4，q<0，弯矩图为上凸，见图4-49(e)；同样，例4-5和4-6也是如此。弯矩、剪力与载荷集度之间的积分关系4.5弯曲内力225剪力和载荷集度存在如下关系：如果该点处q=0，则该点前后Fs没有变化；如果该点处q>0，则该点前后Fs逐渐增加；如果该点处q<0，则该点前后Fs逐渐减小，如例4-4，q<0，Fs逐渐减少见图4-49(d)，同样，例4-5和4-6也是如此；可用载荷集度通过积分求解剪力，即通过求该段载荷集度的面积求剪力Fs的变化量。4.5弯曲内力226根据积分性质，可推知弯矩和剪力存在如下关系：如果该截面处Fs=0，则该点前后弯矩M没有变化，且为极值，但未必为最值；如果该截面处Fs>0，则该点前后弯矩M逐渐增加，如例4-4，Fs>0，M逐渐增加，见图4-49(e)；如果该截面处Fs<0，则该点前后弯矩M逐渐减少；可用剪力通过积分求解弯矩，即通过求该段剪力图像的面积求弯矩变化量。4.5弯曲内力弯矩和剪力存在如下关系：227二、剪力、弯矩与集中载荷的关系当有集中力、集中力偶矩作用时，简支梁有集中力作用的微元段，其剪力和弯矩分析如图所示。4.5弯曲内力228当仅考虑集中力作用时，根据平衡，得：对于剪力Fs当F向上时，F>0，剪力Fs的变化量为正，当F向下时，F<0，剪力Fs的变化量为负。同样，对于弯矩：当F向上时，F>0，弯矩M的变化量为正，当F向下时，F<0，弯矩M的变化量为负。4.5弯曲内力229仅考虑集中力偶矩Mo作用时，同理可得：剪力变化为0，表明集中力偶矩Mo对剪力没有影响，而仅仅影响弯矩，且：当其顺时针旋转，即Mo>0时，弯矩M增加；当其逆时针旋转，即Mo<0时，弯矩M减小。4.5弯曲内力230

综上所述，剪力、弯矩和载荷集度、集中力、集中力偶矩的关系，见下表4-24.5弯曲内力231三、

剪力、弯矩和载荷集度、集中载荷的微积分关系的应用

例4-8试利用剪力、弯矩和载荷集度、集中载荷的微积分关系绘制图4-54(a)所示外伸梁的剪力图与弯矩图。解(1)计算梁的支反力假设支反力FBy

与FCy

的方向如图。4.5弯曲内力232(2)计算梁各段起始截面和终止截面的剪力值与弯矩值。用微积分法计算,结果如下表4-3：分段ABBC截面位置A+B-BB+C-C作用外力(包括大小、正负)A+处集中力向下为负，FA=-qa；B处约束反力向上为正，FB=2qa及集中力偶顺时针为正，M=qa

2均布载荷向下为负，-q约束反力向上为正，FC=qa剪力Fs（从(b)图向右看）FSA+=FA=-qaFSB-=FSA+=-qaFSB=FSB-+FB=qaFSB+FSB=qaFSC-=FSB+–q×2a=-qaFSC=FSC-+FC=0弯矩M（从左向右求(C)图的面积）MA+=FSA+×0=0MB-=FSA+×a=-qa

2MB=MB-+M=0MB+=MB=0MC=MC-=04.5弯曲内力233

例4-9.简支梁受载荷作用如图4-55所示，试绘制该梁的剪切力图和弯矩图。图4-55解：利用微积分关系分析过程见表4-4所示。得到的剪力图和弯矩图见图4-55所示。4.5弯曲内力234剪力分段ACCEEB截面位置AC-CE-EB作用外力(大小、正负)A处约束反力向上为正，FA=16；均布载荷向下为负，-10D处集中力偶顺时针为正，M=20集中力向下为负，FE=-20集中力向上为正，FB=24剪力Fs（从向右看b图）FSA=FA=16FSC-=FSA-10×2=-4FSE-=FSC=FSC-=-4FSE=FSE-+FE=-24FSB=FSE+FB=0弯矩M（剪力图的面积）MA=FSA×0=0MD-=MC+FSC×1=8MD=MD-+M=28MD+=MD=28ME=ME-=MD+FSC×1=24MB=ME+FSE×1=0表4-4用微积分法求弯曲内力4.5弯曲内力总结剪力、弯矩的概念及其正方向的判断以截法求剪力（方程）、弯矩（方程）通过微积分求剪力、弯矩，作剪力图、弯矩图2354.6静定曲杆、刚架及桁架内力

4.6.1曲杆内力1、开口曲杆的内力载荷不在曲杆平面上曲杆轴线为曲线，施加载荷垂直于曲杆轴线所在的平面时，这种曲杆叫做扭转曲杆4.6静定曲杆、刚架及桁架内力

4.6.1曲杆内力注意：利用集中、载荷、均布载荷迅速作出剪力图；(2)再通过求剪力图中相应分段的面积，可得该段的弯矩图。4.6静定曲杆、刚架及桁架内力

曲杆在受力时，内力有轴力、剪力和弯矩，其符号规定如下：123引起拉伸变形的轴力为正使轴线曲率增加的弯矩M为正以剪力Q对所考虑的一段曲杆内任一点取矩，力矩顺时针方向为正，反之为负。注：作弯矩图时，将M画在轴线的法线方向，并画在杆件受压的一侧。4.6静定曲杆、刚架及桁架内力

4.6.1曲杆内力例4-10，试求图4-57（a）中半圆弧曲杆的内力方程，并画出内力图。解：(1)求内力沿截面m-m将曲杆分成两部分，并取右半部分为研究对象，顺着圆弧方向取圆心角为自变量，建立见图b所示，应用平面力系平衡方程，可得：4.6静定曲杆、刚架及桁架内力

4.6.1曲杆内力（2）画内力图根据内力方程，分别得到轴力N、剪力Q及弯矩M随着的曲线，4.6静定曲杆、刚架及桁架内力

4.6.1曲杆内力2、闭口曲杆的内力4.6静定曲杆、刚架及桁架内力

4.6.2静定平面刚架内力平面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩，其其内力图正负规定与曲杆一样，从略。作刚架内力图的规定：弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号；1剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应注明正、负号，正、负规定仍与前面一致。2刚架受力前后，各杆段夹角保持不变。3内力符号：为区分汇交于同一结点的各杆端截面内力，在内力符号下面引用两个下标，如图4-59b的NBD，B表示内力所属某端截面（可能要改成