高一数学10.1.2　事件的关系和运算

10.1.2事件的关系和运算课标要求了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算.【引入】上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？一、事件的关系探究1在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”.……用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示C1＝{1}，G＝{1，3，5}，{1}{1，3，5}.【知识梳理】两个事件的关系定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等A＝B例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系：(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.答案(1)(2)(3)(4)＝解析因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故BH；同理DJ，EI；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.思维升华判断事件之间的关系，主要判断表示事件的两集合间的包含关系.训练1掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系.解当事件A发生时，事件C一定发生；当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C.当事件A发生时，事件B一定不发生；当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系．综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C.二、事件的运算探究2在探究1的掷骰子试验中：(1)用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？(2)事件C2＝“点数为2”，事件E2＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示(1)D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}，{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1.(2){1，2}∩{2，3}＝{2}，即E1∩E2＝C2.【知识梳理】事件的运算定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.思维升华事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.训练2(1)甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为()A.A∪B B.A∩B C.eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－)) D.eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))答案A解析“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码，而事件A∪B指的就是至少有一人成功破译密码.(2)在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝()A.{(6，6)} B.{(4，6)，(6，6)}C.{(5，6)，(6，6)} D.{(4，6)，(6，4)，(6，6)}答案D解析根据题意，事件M＝{(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)}，事件N＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，所以事件M∩N＝{(4，6)，(6，4)，(6，6)}.三、互斥事件与对立事件探究3在探究1的掷骰子试验中，(1)用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝.(2)用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}，F∪G＝Ω，F∩G＝.【知识梳理】1.互斥事件定义一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B＝∅图形表示2.对立事件定义一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，既A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件为eq\o(A,\s\up6(－))含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B＝∅，A∪B＝Ω图形表示温馨提示(1)对立事件一定互斥；(2)互斥事件不一定对立．例3(1)从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是()A.“至少有1个红球”与“都是黑球”B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D.“都是红球”与“都是黑球”答案D解析从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有以下三种：1红1黑、2红、2黑.“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与“都是黑球”是对立事件，因此A不满足题意；“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球”是同一个事件，因此B不满足题意；“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，因此C不满足题意；“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，因此D满足题意.(2)(链接教材P235练习T1)一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”为对立事件的是()A.两次均击中B.恰有一次击中C.第一次击中D.两次均未击中答案D解析事件“至少有一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，与“两次均未击中”互为对立事件，因此D正确.思维升华判断互斥事件、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断.不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集训练3如果事件A，B互斥，记eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分别为事件A，B的对立事件，那么①A∪B是必然事件；②eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必然事件；③eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))一定互斥；④eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))一定不互斥.其中正确的是________.答案②解析用Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必然事件，则②正确，①③错误.若A与B互斥且对立，则eq\o(A,\s\up6(－))＝B，eq\o(B,\s\up6(－))＝A，则④错误.【课堂达标】1.甲、乙两个元件构成一并联电路，设事件E＝“甲元件故障”，事件F＝“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为()A.E∪F B.E∩F C.E∩eq\o(F,\s\up6(－)) D.eq\o(E∪F,\s\up6(－))答案B解析因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩F.2.在含10件次品的100件产品中，抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品答案B解析至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9个样本点，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.3.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是()A.A与B为对立事件 B.B与C互斥C.C与D为对立事件 D.B与D互斥答案D解析在A中，A和B是互斥但不对立事件，故A错误；在B中，B和C能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，C与D是互斥事件，故C错误；在D中，B与D为互斥事件，故D正确.4.从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为________________________.答案{10，20，30，40，50，32，42，52，54}解析从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数，所有的样本点为10，12，13，14，15，20，21，23，24，25，30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25个，则事件A＝{10，12，14，20，24，30，32，34，40，42，50，52，54}，事件B＝{10，20，30，40，50，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54}，故事件A∩B用样本点表示为{10，20，30，40，50，32，42，52，54}.一、基础巩固1.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A.全部击中 B.至少击中1发C.至少击中2发 D.全部未击中答案B解析A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即至少击中1发.2.抛掷一枚质地均匀的骰子，有随机事件A＝“向上的点数为1或3”，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A与B对立 B.eq\o(A,\s\up6(－))与B对立C.A与B互斥 D.A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥答案C解析∵A＝“向上的点数为1或3”，B＝“向上的点数为偶数”，∴eq\o(A,\s\up6(－))＝“向上的点数为2，4，5，6”，eq\o(B,\s\up6(－))＝“向上的点数为1，3，5”，∴A与B是互斥事件，但不是对立事件.3.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件eq\o(A,\s\up6(－))∩B用样本点表示为()A.{(5，5)} B.{(4，6)，(5，5)}C.{(6，5)，(5，5)} D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}答案D解析事件eq\o(A,\s\up6(－))样本点表示的集合为{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}，事件B样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，所以事件eq\o(A,\s\up6(－))∩B表示两次点数之和大于等于10且两次点数之和能被5整除，用样本点表示为{(4，6)，(6，4)，(5，5)}.4.(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是()A.A＋B＝A B.A＋AB＝AC.eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))A D.A(A＋B)＝A答案BD解析若A＋B＝A，则BA，故A错误；由题意知，ABA，∴A＋AB＝A，B正确；∵当事件A，B都不发生时，eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))发生，但A不发生，∴eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))不是A的子集，C错误；∵A(A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正确.5.设A，B为随机事件，P为事件出现的概率.下列阴影部分中能够表示P(eq\o(A,\s\up6(－))∩B)的是()答案C解析对于A，阴影部分表示P((A∩eq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))∩B))，故A错误；对于B，阴影部分表示P(A∩eq\o(B,\s\up6(－)))，故B错误；对于C，阴影部分表示P(eq\o(A,\s\up6(－))∩B)，故C正确；对于D，阴影部分表示P(A∪B)，故D错误.6.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是________.答案A与C解析A与C互斥但不对立.7.生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝(A∩eq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))∩B)∪(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))表示的含义是________.答案产品不合格解析事件D＝(A∩eq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))∩B)∪(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以事件D表示“产品不合格”.8.给出下列说法：①若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件；②《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.现有四大名著各一本，若甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件；③掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则BA；④10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点，其中正确的是________(填序号).答案②③④解析对于①，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故①不正确；对于②，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得红楼梦”“丁取得红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故②正确；对于③，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故③正确；对于④，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故④正确.9.某城市有甲，乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.解事件A＝“只订甲报纸”；事件B＝“至少订一种报纸”包括“只订甲报纸”“只订乙报纸”和“订甲、乙两种报纸”；事件C＝“至多订一种报纸”包括“一种报纸也不订”“只订甲报纸”和“只订乙报纸”；事件D＝“一种报纸也不订”.(1)事件C包含事件A，所以不是互斥事件；(2)B与D既是互斥事件，也是对立事件；(3)事件B和事件C可以同时发生，所以不是互斥事件；(4)事件C包含事件D，所以不是互斥事件.10.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝“数学书”，B＝“中文版的书”，C＝“2024年后出版的书”，问：(1)A∩B∩eq\o(C,\s\up6(－))表示什么事件？(2)在什么条件下，有A∩B∩C＝A?(3)eq\o(C,\s\up6(－))⊆B表示什么意思？(4)如果eq\o(A,\s\up6(－))＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？解(1)A∩B∩eq\o(C,\s\up6(－))＝“2024年或2024年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中所有数学书都是2024年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C＝A.(3)eq\o(C,\s\up6(－))⊆B表示2024年或2024年前出版的书全是中文版的.(4)是.eq\o(A,\s\up6(－))＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时eq\o(A,\s\up6(－))＝B又可化成eq\o(B,\s\up6(－))＝A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.二、综合运用11.(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则()A.R1R B.R∩G＝C.R∪G＝M D.M＝eq\o(N,\s\up6(－))答案BCD解析从袋中不放回地依次随机摸出2个球的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3).由题意得，R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(3，4)，(4，3)，(1，2)，(2，1)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.由集合间的关系可知BCD正确.12.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________.(用B，C，D间的运算关系式表示)答案B∩(C∪D)解析要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩(C∪D).13.连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A＝“第一次掷出1点”；事件Aj＝“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j＝1，2，3，4，5，6；事件B＝“2次掷出的点数之和为6”；事件C＝“第二次掷出的点数比第一次的大3”.(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；(3)试用事件Aj表示随机事件A.解试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.(1)因为事件A＝“第一次掷出1点”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，