高一数学第二课时　平面与平面垂直的性质

第二课时平面与平面垂直的性质课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.【引入】我们上一节课学习了平面与平面垂直的判定方法，知道由“线面垂直”可以得到“面面垂直”，那么若已知“面面垂直”是否可以得到“线面垂直”呢？这就是我们本节课要研究的平面与平面垂直的性质.一、平面与平面垂直的性质定理探究教室黑板所在平面与地面垂直.(1)黑板所在平面内的直线是否都垂直于地面？(2)黑板上任意画一条线与地面垂直吗？(3)怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示(1)不都垂直于地面.(2)不一定，也可能平行、相交(不垂直).(3)只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.【知识梳理】平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝c，bα，b⊥cb⊥β图形语言温馨提示(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.例1(链接教材P161例10)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，所以AD⊥PB.思维升华1.面面垂直eq\o(→,\s\up12(其中一平面内的直线),\s\do12(垂直两平面交线))线面垂直→线线垂直.由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.训练1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.二、空间垂直关系的综合应用例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，EF，BE平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.思维升华1.熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.训练2(链接教材P171T14)如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.(1)证明∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，BC平面ABC，∴BC⊥平面ACDE.又AM平面ACDE，∴BC⊥AM.由四边形ACDE是正方形，得AM⊥CE，又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)解取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，EA平面ACDE，∴EA⊥平面ABC，∵CF平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.在Rt△CFE中，CF＝eq\r(2)，FE＝eq\r(6)，tan∠CEF＝eq\f(CF,FE)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3).三、空间位置关系的探索性问题例3已知△A′BC为正三角形，CD是A′B边上的高，E，F分别是A′C，BC的中点，现将△A′DC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示.(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由.(2)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出eq\f(AP,AC)的值；若不存在，请说明理由.解(1)AB∥平面DEF.理由如下：在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF.理由如下：易知△BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作KP∥DA交AC于点P，则点P即为所求，连接BP，如图.∵AD⊥平面BCD，KP∥AD，∴KP⊥平面BCD，∴KP⊥DF.又BK⊥DF，KP∩BK＝K，∴DF⊥平面PKB，∴DF⊥PB.又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝eq\f(1,2)KC.故eq\f(AP,PC)＝eq\f(DK,KC)＝eq\f(1,2)，从而eq\f(AP,AC)＝eq\f(1,3).思维升华解决命题成立条件的探索性问题有三种方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.训练3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，在棱PD上是否存在点E，使得BP∥平面ACE？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.解存在，点E为棱PD的中点.连接BD，交AC于点F，连接EF，如图所示.因为底面ABCD为平行四边形，所以点F为BD的中点.在△PBD中，因为点E，F分别为PD，BD的中点，所以BP∥EF.又因为BP平面ACE，EF平面ACE，所以BP∥平面ACE.【课堂达标】1.已知长方体ABCD－A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则()A.ME⊥平面ABCD B.ME平面ABCDC.ME∥平面ABCD D.以上都有可能答案A解析∵ME平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.2.已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是()A.l∥β或lβ B.l∥mC.m⊥α D.l⊥m答案A解析直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或lβ，A正确；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴B错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交或mα或m∥α，∴C错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴D错误.3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部(不包括边界)答案A解析连接AC1(图略).∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案eq\r(5)解析∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).一、基础巩固1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥l B.m∥nC.n⊥l D.m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l.2.(多选)已知平面α⊥平面β，则下列命题为真命题的是()A.α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线B.在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线C.α内的任意一条直线必垂直于βD.过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α答案AB解析A中，设α∩β＝l，aα，bβ，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；B中，β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；C中，α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；D中，垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()A.PD平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC答案B解析∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，PD平面PAB，∴PD⊥平面ABC.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有()A.1对 B.2对C.3对 D.4对答案C解析因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，AB平面ABD，所以AB⊥平面BCD.又AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.因为CD平面BCD，所以AB⊥CD.又BD⊥CD，AB∩BD＝B，AB，BD平面ABD，所以CD⊥平面ABD.又CD平面ACD，所以平面ABD⊥平面ACD.综上，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面ACD，共有3对.5.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点答案D解析∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是______.答案平行解析∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.7.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形.答案直角解析设P在平面ABC上的射影为O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形.8.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.答案eq\r(6)解析取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，又NG平面DCEF.可得MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).9.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC平面ABC，所以AC⊥平面BCK，又BF平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BD＝B，AB，BD平面ABD，∴CD⊥平面ABD.又∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.二、综合运用11.(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是()A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P－BC－A的大小为45°D.BD⊥平面PAC答案ABC解析如图，取AD的中点M，连接PM，BM，因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，所以三角形ABD是等边三角形，所以AD⊥BM，PM∩BM＝M，所以AD⊥平面PBM，故A正确；因为AD⊥平面PBM，所以AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确；因为平面PAD⊥平面ABCD，PM⊥AD，所以PM⊥平面ABCD，则∠PBM是二面角P－BC－A的平面角.设AB＝1，则BM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A的大小为45°，故C正确；易得选项D错误.12.(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD.下列结论正确的是()A.BD⊥ACB.△ABC是等边三角形C.三棱锥D－ABC是正三棱锥D.平面ACD⊥平面ABC答案ABC解析对于A选项，翻折前，因为AB＝AC，D为BC的中点，则AD⊥BD，翻折后，对应地有AD⊥BD，因为平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD平面ABD，所以BD⊥平面ACD，因为AC平面ACD，故BD⊥AC，A正确；对于B选项，设AD＝a，翻折前，因为△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，则BD＝CD＝AD＝a，且AD⊥BD，AD⊥CD，由勾股定理可得AC＝AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(2)a，翻折后，因为BD⊥平面ACD，CD平面ACD，则BD⊥CD，由勾股定理得BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(2)a，在三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝BC，则△ABC为等边三角形，B正确；对于C选项，在三棱锥D－ABC中，因为△ABC为等边三角形，DA＝DB＝DC，故三棱锥D－ABC为正三棱锥，C正确；对于D选项，假设平面ACD⊥平面ABC，如下图所示，取AC的中点E，连接DE，BE，因为AD＝CD，E为AC的中点，则DE⊥AC，若平面ACD⊥平面ABC，因为平面ACD∩平面ABC＝AC，DE平面ACD，所以DE⊥平面ABC，设等边△ABC的中心为点O，连接DO，由正棱锥的性质可知，DO⊥平面ABC，因为过点D作平面ABC的垂线，有且只有一条，故假设不成立，即平面ACD与平面ABC不垂直，D错误.13.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为棱AD的中点.(1)求证：BG⊥平面PAD.(2)若E为棱BC的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明在底面菱形ABCD中，连接BD，∠DAB＝60°，则△ABD为等边三角形，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：如图，取PC的中点F，连接DE，FE，DF，PG.在△PBC中，FE∥PB，FE平面PG