高一数学培优课　空间距离的求法

培优课空间距离的求法课标要求理解点到平面的距离、平面到平面的距离、直线到平面的距离、异面直线的距离的定义，并掌握上述距离的求法.一、点到平面的距离例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱锥P－ABD的体积V＝eq\f(\r(3),4)，求点A到平面PBC的距离.(1)证明如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点.又点E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解法一V＝eq\f(1,6)AP·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB.由V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离.因为PB＝eq\r(AP2＋AB2)＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(AP·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13)，所以点A到平面PBC的距离为eq\f(3\r(13),13).法二V＝eq\f(1,6)AP·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB.由V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).易得V三棱锥P－ABC＝V三棱锥P－ABD＝eq\f(\r(3),4)，设A到平面PBC的距离为h.由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，PB＝eq\r(AP2＋AB2)＝eq\f(\r(13),2)，因为CB＝eq\r(3)，所以S△PBC＝eq\f(1,2)CB·PB＝eq\f(\r(39),4)，V三棱锥P－ABC＝eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(\r(3),4)，所以h＝eq\f(3\r(13),13).思维升华从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解.训练1已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝eq\r(5)，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离.解法一如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.又E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，AP＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，所以PE＝eq\r(AP2－AE2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，即点P到平面ABC的距离为eq\f(\r(3),2).法二如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.因为AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.所以SD的长即点S到平面ABC的距离，在Rt△SAD中，易得SD＝eq\r(3).因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为eq\f(1,2)SD＝eq\f(\r(3),2).二、直线到平面的距离例2如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离.解因为BD∥平面GB1D1，所以BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，连接AC交BD于点O，以下求点O到平面GB1D1的距离.因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，所以B1D1⊥平面A1ACC1.又因为B1D1平面GB1D1，所以平面A1ACC1⊥平面GB1D1，两个平面的交线是O1G.作OH⊥O1G于H，则有OH⊥平面GB1D1，即OH是点O到平面GB1D1的距离.在△O1OG中，S△O1OG＝eq\f(1,2)·O1O·AO＝eq\f(1,2)·2·eq\r(2)＝eq\r(2).又S△O1OG＝eq\f(1,2)·OH·O1G＝eq\f(1,2)·eq\r(3)·OH＝eq\r(2)，所以OH＝eq\f(2\r(6),3).即BD到平面GB1D1的距离等于eq\f(2\r(6),3).思维升华1.求直线到平面的距离的关键是找到或作出垂线，一般利用过已知直线与已知平面垂直的平面求解.2.线面距一般转化为点面距求解.训练2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为()A.eq\r(5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D.2eq\r(5)答案C解析因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，如图，过A作AE⊥BD于E，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AE平面ABCD，则AE⊥平面BDD1B1，所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE.在Rt△ABD中，由等面积法可得AE＝eq\f(AD×AB,BD)＝eq\f(BC×AB,BD)＝eq\f(1×2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5).三、平面到平面的距离例3已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为eq\r(2)，求平面AB1D1到平面BC1D的距离.解由题意可得，原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得，V三棱锥C1－AB1D1＝V三棱锥A－B1C1D1，即h·eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×sin60°＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)，解得h＝eq\f(\r(6),3)，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为eq\f(\r(6),3).思维升华1.平面到平面的距离一般转化为点面距或线面距求解.2.当两平面平行时，其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，就是两个平行平面间的距离.训练3如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点，则平面MNR与平面OCD的距离为________.答案eq\f(\r(2),2)解析因为OA⊥平面ABCD，且ABCD是正方形，易得BA⊥平面AOD，设OD的中点P，连接AP，则BA⊥AP，又AB∥CD，故AP⊥CD，又易知AP⊥OD，所以AP⊥平面OCD，易得平面MNR∥平面OCD，且MR綉eq\f(1,2)OD，所以平面MNR与平面OCD之间的距离为eq\f(1,2)AP＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\r(AO2＋AD2)＝eq\f(\r(2),2).四、异面直线的距离例4如图，已知正方体的棱长为a.(1)求异面直线A1B与C1C的距离；(2)求异面直线A1B与B1C1的距离.解(1)由BC⊥A1B，CC1⊥BC得，BC即为异面直线A1B与C1C的公垂线，所以异面直线A1B与C1C的距离为a.(2)连接B1A交BA1于O点(图略)，则B1O⊥A1B且B1C1⊥B1O，所以B1O即为异面直线A1B与B1C1的公垂线，所以异面直线A1B与B1C1的距离为eq\f(\r(2),2)a.思维升华求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法.训练4空间四边形A－BCD的边长都为10，对角线BD＝8，AC＝16，E，F分别是AC，BD的中点.(1)求证：EF是AC，BD的公垂线段；(2)求异面直线AC，BD的距离.(1)证明如图，连接AF，FC.∵空间四边形A－BCD的边长都为10，AF，CF是△ABD和△CBD对应边上的中线，∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形.∵EF是底边上的中线，∴EF⊥AC.同理EF⊥BD，∴EF是AC，BD的公垂线段.(2)解在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，E为AC的中点，∴BE＝6，在Rt△BEF中，BF＝4，∴异面直线AC，BD的距离为EF＝2eq\r(5).【课堂达标】1.两条异面直线的距离是()A.和两条异面直线都垂直相交的直线B.和两条异面直线都垂直的线段C.它们的公垂线夹在垂足间的线段长D.两条直线上任意两点间的距离答案C2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1到平面BCD1的距离为()A.1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)答案C解析设B1到平面BCD1的距离为h，则由VB1－BCD1＝VD1－BB1C可得eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1，即h＝eq\f(\r(2),2).3.已知平面α∥平面β，mα，nβ，且直线m与n不平行.记平面α，β的距离为d1，直线m，n的距离为d2，则()A.d1＜d2B.d1＝d2C.d1>d2D.d1与d2大小不确定答案B解析因为平面α∥平面β，mα，nβ，且直线m与n不平行，所以平面α，β的距离等于直线m，n的距离，所以d1＝d2.4.已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，且该四棱锥的体积为96，则点P到平面ABCD的距离是________.答案8解析由体积公式V＝eq\f(1,3)Sh，得96＝eq\f(1,3)×36h，∴h＝8，即点P到平面ABCD的距离是8.一、基础巩固1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，则点A1到平面AB1D1的距离为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(3\r(5),10)C.eq\f(3\r(10),20) D.eq\f(\r(3),2)答案A解析设点A1到平面AB1D1的距离是h，则由等体积法得VA1－AD1B1＝VA－A1D1B1，如图，因为VA1－AD1B1＝eq\f(1,3)S△AB1D1×h，又S△AB1D1＝eq\f(1,2)×ABeq\o\al(2,1)×sin60°＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，V三棱锥A－A1D1B1＝eq\f(1,3)×S△A1B1D1×AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,6).所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(\r(3),3).2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)答案B解析由正方体的性质可知，A1B1∥平面ABC1D1，因为E是A1B1的中点，所以点E到平面ABC1D1的距离等于点A1到平面ABC1D1的距离，设为h，显然有V三棱锥A1－ABD1＝V三棱锥D1－AA1B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然A1D1⊥平面ABB1A1，AD1⊥AB，正方体的棱长为1，所以AD1＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋A1Deq\o\al(2,1))＝eq\r(2)，由V三棱锥A1－ABD1＝V三棱锥D1－AA1B可得，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1h＝eq\f(\r(2),2).3.在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于()A.eq\f(12,5) B.eq\f(9,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(3,5)答案C解析如图，过D作DE⊥SB于E，过A作AF⊥SB于F，因为SA⊥底面ABC，BC平面ABC，所以SA⊥BC，因为AB⊥BC，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，又BC平面SBC，所以平面SBC⊥平面SAB，又平面SAB∩平面SBC＝SB，DE⊥SB，所以DE⊥平面SBC，所以DE为点D到平面SBC的距离，又AF⊥SB，所以DE＝eq\f(AF,2)，在Rt△ABS中，AF＝eq\f(SA·AB,\r(SA2＋AB2))＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)，所以DE＝eq\f(6,5).4.如图，在四面体A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝1，DB＝3，DC＝4，则点A到直线BC的距离为()A.eq\f(13,5) B.eq\f(14,5)C.eq\f(7,5) D.eq\f(7,3)答案A解析如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE.因为DA⊥DB，DA⊥DC，DB∩DC＝D，DB，DC平面BCD，所以DA⊥平面BCD.因为BC，DE平面BCD，所以DA⊥BC，DA⊥DE.又DE⊥BC，DA∩DE＝D，DA，DE平面ADE，所以BC⊥平面ADE.因为AE平面ADE，所以BC⊥AE，所以点A到直线BC的距离为AE.因为DB＝3，DC＝4，DB⊥DC，所以BC＝5.又DE×BC＝DB×DC，所以DE＝eq\f(12,5).又DA＝1，DA⊥DE，所以AE＝eq\r(DA2＋AE2)＝eq\f(13,5).5.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.eq\f(\r(3),3) B.1C.2 D.eq\r(3)答案D解析由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝eq\r(3)，即正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱长为eq\r(3).又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝eq\r(3).6.平面α∥β，点A，C∈α，点B，D∈β，如果AB＋CD＝28，且AB，CD在β内射影长分别为5和9，则平面α与β间的距离为________.答案12解析如图，AE⊥β，CF⊥β，由题意可知，BE＝5，DF＝9，设AB＝x，CD＝28－x，则x2－25＝(28－x)2－81，解得x＝13，∴平面α与平面β间的距离AE＝eq\r(133－52)＝12.7.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则异面直线BD1与AC之间的距离为________.答案eq\f(\r(6),3)解析连接BD交AC于点O，过O作BD1的垂线，交BD1于E，则OE的长就是所求异面直线的距离.∵Rt△DD1B∽Rt△EOB，DD1＝2，BD1＝2eq\r(3)，OB＝eq\r(2)，∴eq\f(OE,2)＝eq\f(\r(2),2\r(3))，∴OE＝eq\f(\r(6),3).8.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为________.答案eq\r(2)解析因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，过点A作PB的垂线，交PB于E，则AE⊥BP，BC⊥AE，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC，即AE的长就是点A到平面PBC的距离，在等腰直角△PAB中，AE＝ABsin45°＝eq\r(2)，即AD到平面PBC的距离为eq\r(2).9.如图，在几何体A－BCDE中，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5.(1)求证：DC∥平面ABE；(2)求直线DC到平面ABE的距离.(1)证明由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，可得DC⊥BC，EB⊥BC，则在平面BCDE中，DC∥BE，又DC平面ABE，BE平面ABE，则DC∥平面ABE.(2)解由DC∥平面ABE，可知直线DC到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5，则BC＝eq\r(52－22)＝eq\r(21)，由EB⊥平面ABC，可得EB⊥BC，又AB⊥BC，AB∩EB＝B，则BC⊥平面ABE，即BC为点C到平面ABE的距离，又BC＝eq\r(21)，故直线DC到平面ABE的距离为eq\r(21).10.如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF＝2eq\r(5).(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离.(1)证明连接EF(图略)，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.易得EF＝eq\r(62＋（12－3－4）2)＝eq\r(61)，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.又BF∩EF＝F，BF平面ABED，EF平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)解由(1)知，PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，则PF为三棱锥P－ABE的高.设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得VA－PBE＝VP－ABE，即eq\f(1,3)×S△PBE×h＝eq\f(1,3)×S△ABE×PF.又S△PBE＝eq\f(1,2)×6×9＝27，S△ABE＝eq\f(1,2)×12×6＝36，所以h＝eq\f(S△ABE·PF,S△PBE)＝eq\f(36×2\r(5),27)＝eq\f(8\r(5),3)，即点A到平面PBE的距离为eq\f(8\r(5),3).二、综合运用11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝eq\r(2)，AD＝1，点E是棱PB的中点，则直线AB与平面ECD的距离为()A.1 B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(8,3) D.eq\r(2)答案B解析如图所示：取PA的中点F，连接EF，FD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为底面ABCD为矩形，所以AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD平面EFDC，所以平面EFDC⊥平面PAD，且平面EFDC∩平面PAD＝FD，所以点A到FD的距离，即为点A到平面EFDC的距离，因为AB∥CD，AB平面EFDC，CD平面EFDC，所以AB∥平面EFDC，所以点A到平面EFDC的距离，即为直线AB到平面EFDC的距离，在Rt△AFD中，AF＝eq\f(\r(2),2)，AD＝1，DF＝eq\f(\r(6),2)，所以点A到FD的距离为d＝eq\f(AF·AD,DF)＝eq\f(\r(3),3).故直线AB与平面CED的距离为eq\f(\r(3),3).12.已知菱形ABCD的边长为a，∠A＝eq\f(π,3)，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为θ的二面角，若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，则折后异面直线AC与BD距离的最大值为()A.eq\f(3,2)a B.eq\f(\r(3),4)aC.eq\f(3,4)a D.eq\f(\r(3),2)a答案C解析如图，在菱形ABCD中，AC∩BD＝O，AC⊥BD，OA＝OC＝eq\f(\r(3)a,2)，OB＝OD＝eq\f(a,2)，当沿对角线BD折成平面角为θ的二面角时，显然OA⊥BD，OC⊥BD，于是得∠AOC＝θ，取AC中点E，连接OE，如图，则OE⊥AC，而BD⊥平面AOC，OE平面AOC，即有OE⊥BD，因此，线段OE长为异面直线AC与BD距离.OE＝OAcoseq\f(θ,2)，而θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，即eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，函数y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递减，于是当θ＝eq\f(π,3)时，(OE)max＝eq\f(\r(3),2)acoseq\f(π,6)＝eq\f(3,4)a.13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于H.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EFG∥平面ABD；(3)求平面EFG与平面ABD的距离.(1)证明∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，交线为CB，而∠ABC＝90°，∴AB⊥平面BCC1B1，∵B1D平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，根据已知条件可得，D为CC1的中点，B1D＝DB＝2eq\r(2)，B1B＝4，结合勾股定理可得BD⊥B1D，又BD∩AB＝B，所以B1D⊥平面ABD.(2)证明如图所示，取BB1的中点T，连接TC1，∵B1B＝4，EB1＝1，∴E为TB1的中点，而F为B1C1的中点，∴EF为△B1TC1的中位线，∴EF∥TC1，又∵C1D∥TB，且C1D＝TB，∴四边形TBDC1为平行四边形，∴BD∥TC1，∴EF∥BD，∵EF平面ABD，BD平面ABD，∴EF∥平面ABD，∵F，G分别是B1C1，A1C1的中点，∴GF是△C1A1B1的中位线，∴GF∥A1B1，∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∴GF∥AB，∵GF平面ABD，AB平面ABD，∴GF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，∴平面EFG∥平面ABD.(3)解由平面EFG∥平面ABD，EF与B1D相交于H，又∵B1D⊥平面ABD，∴HD⊥平面ABD，∴两平面之间的距离即为H到平面ABD的距离，即HD，∵EF∥BD，∴△B1EH∽△B1BD，∴eq\f(B1E,BB1)＝eq\f(B1H,DB1)，∴B1H＝eq\f(\r(2),2)，∴HD＝eq\f(3\r(2),2)，故平面EFG与平面ABD的距离为eq\f(3\r(2),2).三、创新拓展14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝eq\f(3,2)，AA1＝2，点D在棱BB1上，BD＝eq\f(1,3)BB1，B1E⊥A1D，垂足为E.求：(1)求异面直