高一数学章末检测卷(三)　第八章

章末检测卷(三)第八章(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.多面体至少有3个面B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案D解析一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图所示；选项C错误，反例：上、下底面是全等的菱形(非正方形)，各侧面是全等的正方形的多面体不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确.2.由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()答案A解析根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确.3.设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到m⊥β的是()A.α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γB.α⊥β，α∩β＝l，m⊥lC.n⊥α，n⊥β，m⊥αD.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α答案C解析在选项A中，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，则β和m可能平行或相交，故A错误；在选项B中，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m与β相交或m∥β或m⊂β，故B错误；在选项C中，因为n⊥α，n⊥β，所以α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；在选项D中，由α⊥γ，β⊥γ，不能推出α∥β，所以由m⊥α不能推出m⊥β，故D错误.4.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案A解析过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，则△ABC为直角三角形.5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是()A.正方形 B.平行四边形C.正五边形 D.正六边形答案D解析如图，连接EF，PQ，由EF∥PQ可以确定一个平面，设这个平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N两点，连接ME，MP，NF，NQ.由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝PQ＝MP＝ME，∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形.6.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则下列说法正确的是()A.圆锥的母线长为18B.圆锥的表面积为27πC.圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D.圆锥的体积为18eq\r(2)π答案D解析设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2，圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝3πl，因为圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以πl2＝3×3πl，解得l＝9，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝3×π×9＋π×32＝36π，故选项B错误.因为圆锥的底面周长为2π×3＝6π，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α，则6π＝α·9，解得α＝eq\f(2π,3)，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误.圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(81－9)＝6eq\r(2)，所以圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×32×6eq\r(2)＝18eq\r(2)π，故选项D正确.7.如图，正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上.若VP－ABCD＝eq\f(16,3)，则球O的体积是()A.32π B.16π C.eq\f(32,3)π D.8π答案C解析设球O的半径为R.因为正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，所以PO⊥底面ABCD，PO＝R，正方形ABCD的面积S＝2R2，所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2R2×R＝eq\f(2R3,3)＝eq\f(16,3)，解得R＝2，所以球O的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.8.如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A.A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.三棱锥A′－BCD的体积为eq\f(1,3)答案B解析因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C＝90°，B正确；若A′C⊥BD，因为A′C⊥A′B，BD∩A′B＝B，所以A′C⊥平面A′BD，所以A′C⊥A′D，所以∠A′DC为锐角，而CD⊥平面A′BD，CD⊥A′D，∠A′DC为直角，矛盾，故A错误；因为CD⊥平面A′BD，所以∠CA′D即CA′与平面A′BD所成的角，在Rt△A′DC中，A′D＝CD，所以∠CA′D＝45°，故C错误；S三棱锥A′－BCD＝S三棱锥C－A′BD＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,6)，故D错误.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列四个结论中正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线答案CD解析∵A，M，C，C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故A错误；同理直线AM与BN是异面直线，故B错误；同理BN与MB1异面，AM与DD1异面，C，D正确.10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案CD解析依题意得圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；圆锥的侧面积为πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，∴B错误；球的表面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2，∴D正确.11.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则()A.AF⊥PB B.EF⊥PBC.AF⊥BC D.AE⊥平面PBC答案ABC解析对于A，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；对于B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.如果用半径R＝2eq\r(3)的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________.答案3解析设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2eq\r(3)π，则r＝eq\r(3)，所以圆锥筒的高h＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝3.13.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________.答案eq\f(4\r(3),3)解析如图所示，过A′作A′H⊥CD于H，连接EH，由题意，得A′H⊥平面EBCD.因为直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，所以∠A′DH＝30°.又因为A′D＝2，所以A′H＝1，DH＝eq\r(3)，设A′E＝x，则EH＝eq\r(x2－1).在四边形DAEH中，可得AD2＋(AE－DH)2＝EH2，所以22＋(x－eq\r(3))2＝x2－1，所以x＝eq\f(4\r(3),3).14.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形ADD1A1(包括边界)内运动，且BP∥平面AMN，则PA1的长度范围为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(1,2)))解析如图，连接BC1，分别取AA1，A1D1的中点E，F，连接EF，EC1，FC1，BE，AD1，则AD1∥EF.因为AD1∥BC1，所以BC1∥EF，因为点M，N分别是棱BC，CC1的中点，所以MN∥BC1.因为AE∥C1N，AE＝C1N，所以四边形AEC1N为平行四边形，所以AN∥EC1，因为AN，MN⊂平面AMN，EC1，BC1⊄平面AMN，所以EC1∥平面AMN，BC1∥平面AMN，因为EC1∩BC1＝C1，所以平面BEC1∥平面AMN，因为BC1∥EF，所以平面BEC1∩平面ADD1A1＝EF.因为动点P在正方形ADD1A1(包括边界)内运动，且BP∥平面AMN，所以点P的轨迹为线段EF，所以PA1的最大值为A1E＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(1,2)，最小值为点A1到EF的距离为eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),4)，所以PA1的长度范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(1,2))).四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.解V三棱柱ABC－A1B1C1＝eq\f(1,2)×3×4×6＝36(cm3).设圆柱底面圆的半径为r，则r＝eq\f(2S△ABC,AB＋BC＋AC)＝eq\f(2×\f(1,2)×3×4,3＋4＋5)＝1，V圆柱OO1＝πr2h＝6π(cm)3.所以V＝V三棱柱ABC－A1B1C1－V圆柱OO1＝(36－6π)cm3.16.(15分)在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF.求证：(1)DF∥平面BCE；(2)平面ADF⊥平面BCE.证明(1)因为AB，CD，EF相互平行，且CD＝EF，四边形ABEF是梯形.所以四边形CDFE是平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE.所以DF∥平面BCE.(2)因为AD⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，所以BE⊥AD，因为BE⊥AF，AF∩AD＝A，所以BE⊥平面ADF，因为BE⊂平面BCE，所以平面ADF⊥平面BCE.17.(15分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，CB⊥AB，CB⊥PB，PB⊥AB，AD＝PA＝2BC＝2PB＝4.(1)若F为侧棱PD的中点，求证：CF∥平面PAB；(2)求三棱锥C－PAD的体积.(1)证明如图，取PA的中点M，连接BM，FM.在△PAD中，FM∥DA，FM＝eq\f(1,2)DA，在梯形ABCD中，BC∥DA，BC＝eq\f(1,2)DA，∴FM∥BC，FM＝BC，∴四边形FMBC是平行四边形，∴BM∥CF，而BM⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB.(2)解∵CB⊥PB，AB⊥PB，而AB∩CB＝B，∴PB⊥平面ABCD，即PB为三棱锥P－ACD的高.∵PB⊥AB，PA＝2PB＝4，∴AB＝2eq\r(3).又S△ACD＝eq\f(1,2)DA·AB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，∴VC－PAD＝VP－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PB＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2＝eq\f(8\r(3),3).18.(17分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)解由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，故cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).(2)证明∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴PD⊥平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，如图所示，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝eq\r(CD2＋CF2)＝2eq\r(5).在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq\f(PD,DF)＝eq\f(\r(5),5).∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).19.(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD＝2，∠ABC＝60°.将△ACD沿着AC翻折，使得点D到点P，且AP⊥BC.(1)求证：平面APC⊥平面ABC；(2)求点C到平面APB的距离.(1)证明在△ABC中，AB＝